自动控制原理-胡寿松-第四章ppt

第四章线性系统的根轨迹法2第四章线性系统的根轨迹法4-1根轨迹法的基本概念控制系统的稳定性及动态性能与系统的闭环极点和零点在s平面的位置密切相关，因此可根据闭环零极点的分布来间接地研究系统的性能。但当特征方程的阶数高于四阶时，求解零极点的过程比较复杂。如果要研究系统参数变化对闭环特征方程根的影响，那么就需要进行大量的反复计算，同时还不能直观看出影响趋势。因此对于高阶系统的求根问题来说，解析法就显得很不方便。3第四章线性系统的根轨迹法4-1根轨迹法的基本概念1948年，W·R·伊凡思在他的一篇论文“控制系统的图解分析”中提出了在复平面上由系统的开环传递函数求取闭环特征根的方法，这就是根轨迹法。当开环增益或其它参数改变时，其全部数值对应的闭环极点均可在根轨迹图上简便地确定，因此在工程实践中得到了广泛的应用。4第四章线性系统的根轨迹法4-1根轨迹法的基本概念根轨迹：系统某一参数在规定范围内变化时，闭环系统特征方程的根在s平面上的位置也随之变化移动，一个根形成一条轨迹。广义根轨迹:系统的任意一个参数变化所形成的根轨迹。常规（狭义）根轨迹（通常情况）：变化参数为开环增益K，且其变化取值范围为0到∞。5第四章线性系统的根轨迹法4-1根轨迹法的基本概念根轨迹法是分析和设计线性定常控制系统，求解特征方程的根的图解方法，使用十分简便。特别是对于多回路系统的研究，应用根轨迹法比用其它方法更为方便。借助于根轨迹法，可以方便直观地分析系统特征根与系统参数之间的关系。6第四章线性系统的根轨迹法4-1根轨迹法的基本概念本节主要介绍根轨迹的基本概念，根轨迹与系统性能之间的关系，并从闭环零、极点与开环零、极点之间的关系推导出根轨迹方程，然后将向量形式的根轨迹方程转化为常用的相角条件和模值条件形式，最后应用这些条件绘制简单系统的根轨迹。74-1根轨迹法的基本概念1.根轨迹概念例：设控制系统的结构图如图所示：051()(.)KGsss2222()KsssK0222KssKs2112,1特征方程：特征根：K/s(0.5s+1)C(s)R(s)-84-1根轨迹法的基本概念1.根轨迹概念令开环增益K从零变到无穷，粗实线为系统的根轨迹。箭头表示随着K值的增加，根轨迹的变化趋势，而标注的数值为与闭环极点位置相对应的开环增益K的数值。94-1根轨迹法的基本概念2.根轨迹与系统性能（1）稳定性：当开环增益从零变到无穷时，如果根轨迹没有越过虚轴进入s右半平面，则系统对所有的K值都是稳定的，如果系统的根轨迹越过虚轴进入s右半平面，此时根轨迹与虚轴交点处的K值，就是临界开环增益。104-1根轨迹法的基本概念2.根轨迹与系统性能（2）稳态性能：由开环系统在坐标原点处的极点数可判断出系统的型别，而此时的K值就是相应的静态误差系数。如果给定系统的稳态误差要求，则由根轨迹图可以确定闭环极点位置的容许范围。051()(.)KGsss114-1根轨迹法的基本概念2.根轨迹与系统性能（3）动态性能：当0＜K＜0.5时：过阻尼系统；当K＝0.5时：临界阻尼系统；当K＞0.5时：欠阻尼系统。2222()KsssK124-1根轨迹法的基本概念2.根轨迹与系统性能上述分析表明：根轨迹与系统性能之间有着比较密切的联系。对于高阶系统而言，用解析的方法绘制系统的根轨迹图，显然是不适用的。希望能有简便的图解方法，可根据已知的开环传递函数迅速绘出闭环系统的根轨迹。为此，需要研究闭环零、极点与开环零、极点之间的关系。133.闭环零、极点与开环零、极点之间的关系22121212212221121121*()()()()()()()fiGiGqviiszKsssGsKsTsTsTssp一般情况下，前向通路传递函数G(s)可表示为：为前向通路增益；为前向通路根轨迹增益。GK*GK212212*GGKKTT143.闭环零、极点与开环零、极点之间的关系11*()()()ljjHhjjszHsKsp反馈通路传递函数H(s)可表示为：为反馈通路根轨迹增益。*HK则系统的开环传递函数可表示为：1111*()()()()()()flijijqhijijszszGsHsKspsp称为开环系统根轨迹增益。***GHKKK153.闭环零、极点与开环零、极点之间的关系11*()()()ljjHhjjszHsKsp对于有m个开环零点和n个开环极点的系统，必有f+l=m和q+h=n。则：11111**()()()()()()()()fhGijijnmijijKszspGssGsHsspKszqjjfiiGpszsKsG11*)()()(163.闭环零、极点与开环零、极点之间的关系结论：1)闭环系统的根轨迹增益等于开环系统前向通路根轨迹增益。对单位反馈系统而言，闭环系统根轨迹增益就等于开环系统根轨迹增益。2)闭环零点由开环前向通路零点与反馈通路极点组成。对于单位反馈系统，闭环零点就是开环零点。3)闭环极点与开环零点、开环极点以及根轨迹增益K*均有关。173.闭环零、极点与开环零、极点之间的关系根轨迹法的基本任务在于：如何由已知的开环零、极点的分布及根轨迹增益，通过图解的方法找出闭环极点。184-1根轨迹法的基本概念4.根轨迹方程根轨迹是系统所有闭环极点的集合，闭环系统特征方程为：10()()GsHs1()()GsHs111*()()mjjniiszKsp即：等价为：上式称为根轨迹方程。194-1根轨迹法的基本概念4.根轨迹方程2111012();,,,jkek由于模值条件：11*||||niinijspKsz相角条件：1121012()()(),,,mnjijiszspkk204-1根轨迹法的基本概念4.根轨迹方程根据相角条件和模值条件，可以完全确定s平面上的根轨迹和根轨迹上对应的K*值。其中：1、相角条件是s平面上根轨迹所要满足的充要条件；2、模值条件可确定s平面上的根轨迹各点所对应的根轨迹增益K*。21例单位反馈系统的开环传递函数sKsG)(一个开环极点P1=0负实轴上点s1niimiipspszs111111180)()()(s2=-1-jniimiipspszs1121135)()(负实轴上的点都是根轨迹上的点！负实轴外的点都不是根轨迹上的点！第四章线性系统的根轨迹法23第四章线性系统的根轨迹法4-2根轨迹绘制的基本法则当可变参数为系统的开环增益(根轨迹增益K*)时，所绘制的根轨迹为常规根轨迹。其相角遵循1800+2kπ条件，因此称为1800根轨迹，相应的绘制法则也就可以叫做1800根轨迹的绘制法则。244-2根轨迹绘制的基本法则1.绘制根轨迹的基本法则法则1：根轨迹的起点和终点。根轨迹起于开环极点，终于开环零点。25证明：设有m个零点,n个极点的开环系统传递函数为：11*()()()()mjjniiszGsHsKsp110*()()nmijijspKsz0*K0*K10()niisp则由其组成的闭环系统特征方程为：式中：起点：特征方程为：2612(,)ispin*K12(,)jszim终点：特征方程为：nms11*||limlim||||ninminssijspKssz实际系统中，有m个零点,n个极点的开环系统传递函数一般满足，因此有n-m条根轨迹的终点在无穷远处，这是因为当时，根据模值条件有：10()mjjsz27如果把有限数值的零点称作有限零点，则把无穷远处的零点称为无限零点，那么根轨迹必终止于开环零点。在无限零点的意义下，系统的开环零极点数目相等。在绘制其它参数根轨迹时，可能有mn的情况，则有m-n条根轨迹的起点在无穷远处，称为无限极点，此时系统的开环零极点数也是相等的。根轨迹起于开环极点，终于开环零点。284-2根轨迹绘制的基本法则1.绘制根轨迹的基本法则法则2：根轨迹的分支数、对称性和连续性。根轨迹的分支数与开环有限零点m和有限极点n中的大者相等，它们是连续的且对称于实轴。29证明：根轨迹是开环系统某一参数在规定范围内变化时，闭环特征方程的根在s平面上的变化轨迹。因此根轨迹的分支数必与闭环特征方程根的数目相一致。闭环特征方程根的数目就等于m和n中的大者，所以根轨迹的分支数必与开环有限零、极点数中的大者相同。30由于根轨迹增益K*是连续变化的，特征方程的某些系数也随之而连续变化，因而特征根也会连续变化，故根轨迹具有连续性。因为闭环特征方程的系数为实数，闭环特征方程的根只有实根和复根两种。实根位于实轴上，复根必共轭，而根轨迹是闭环特征根的集合，因此根轨迹对称于实轴。314-2根轨迹绘制的基本法则1.绘制根轨迹的基本法则法则3：根轨迹的渐近线：当nm时，有n-m条根轨迹分支沿着与实轴交角φa，交点为σa的一组渐近线趋向无穷远处，且有：210121()(,,,,)akknmnmmnzpmjjniia1132证明：渐近线可以理解为|s|很大时的根轨迹，故其必对称于实轴。11111111**()()()()mjmmjmmnnnnniiszsbsbsbGsHsKKsasasasp11niiap11mjjbzsK,*()()GsHs111*()()()nmnmKGsHssabs由于：式中：当时有近似为：331()()GsHs111*()nmabsKs11111*()()nmnmabsKs1111()nmabs121111111111112()()()()!nmabababsnmsnmnms1111111()()nmababsnms由根轨迹方程：得：或根据二项式定理将展开在s值很大时：341111*()()()nmabsKnmsjsmnkKmn)12(sin*112121*()()cossinnmabkkjKjnmnmnm代入渐近线方程，得：令：有：0121(,,,)knm则：1121*()cosnmabkKnmnm3521()aknm1111nmijijapzabnmnm解得：*sincosnmaaaK()aatg式中：进而有：0ajsa在s复平面上()aatga表示一条直线：与实轴的交与实轴的夹角为a点为，361）当k取不同值时，φa有（n－m）个值，而a不变；mnka180)12(2）根轨迹在s∞时的渐近线为（n－m）条与实轴交点为a、相角为a的一组射线。mnzpmiiniia11＝说明37例：设，试求出由上面三个基本法则所确定的数据并绘制相应图形。21422*()()()()KsGsssss4,1nm解：由开环传递函数可得：1234104111,pppjpjz，，，C(s)R(s)-21422*()()()Ksssss38法则1：起点：p1=0,p2=-4,p3=-1+j,p4=-1-j终点：z1=-1和三个无穷远零点法则2：四条分支法则3：渐近线与实轴的交点及夹角为：3/531141144111jjzpjiija2,1,0,14)12(kka0-1-4-2-3-110-1-2-3-113/5a渐近线渐近线060a渐近线渐近线060a0300a394-2根轨迹绘