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3、线段的垂直平分线（第2课时）第一章三角形的证明北师大版八年级数学下册：1.能够证明三角形三条边的垂直平分线相交于一点.(重点)2.已知底边及底边上的高,能够利用直尺和圆规作出等腰三角形.(难点)3.能应用三角形三边中垂线的性质解决问题.(重点)一、三角形三条边的垂直平分线的性质如图,在△ABC中,边AB,BC的垂直平分线交于点P,连接AP,BP,CP.【思考】1.PA与PB有什么关系?为什么?PB与PC呢?提示:PA=PB,∵点P在线段AB的垂直平分线上,由线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等可知PA=PB.同理:PB=PC.2.点P在线段AC的垂直平分线上吗?为什么?提示:点P在线段AC的垂直平分线上,∵PA=PB,PC=PB,∴PA=PC,∴点P在线段AC的垂直平分线上.【总结】1.三角形三条边的垂直平分线的交点情况:三角形三条边的垂直平分线相交于___点.2.三角形三条边的垂直平分线的交点性质:三角形三条边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离_____.一相等二、等腰三角形的作图已知:线段a,h.求作:△ABC,使AB=AC,且BC=a,高AD=h.作法:(1)作线段___=a(如图).(2)作线段___的垂直平分线l,交BC于点D.(3)在l上截取线段DA,使DA=__.(4)连接AB,AC.△ABC即为所求作的等腰三角形.BCBCh(1)三角形三条边的垂直平分线的交点到三角形三边距离相等.()(2)到三角形三个顶点距离相等的点有无数个.()(3)三角形三边垂直平分线的交点与三边高(或其所在直线)的交点是同一个点.()(4)已知三角形的一条边及这条边上的高,能作无数个三角形.()×××√知识点1三角形三边垂直平分线的性质与应用【例1】如图,△ABC的边AB,AC的垂直平分线相交于点P.连接PB,PC,若∠ABP=40°,∠ACP=35°,求∠BPC的度数.【解题探究】(1)如图,连接PA,那么PA,PB,PC的关系是_________.(2)∠1与∠2的度数分别是多少?为什么?提示:∠1=40°,∠2=35°,∵∠1=∠3,∠2=∠4,∴∠1=∠3=40°,∠2=∠4=35°.PA=PB=PC(3)由(2)可知∠1+∠2+∠3+∠4=______.(4)∠5与∠6的和是多少?为什么?提示:∠5+∠6=30°,因为∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=180°,所以∠5+∠6=180°-(∠1+∠2+∠3+∠4)=30°.(5)在△BPC中,由三角形的内角和定理得出结论:∠BPC=180°-(____+____)=180°-_____=______.150°∠5∠630°150°【互动探究】如果把题目的条件改为∠BAC=70°,那么∠BPC的度数是多少?提示:∠BPC=140°.【总结提升】三角形三边垂直平分线的性质与应用性质交点个数1个交点位置锐角三角形:在三角形内部直角三角形:为斜边的中点钝角三角形:在三角形外部交点性质交点到三角形三个顶点的距离相等应用求角度、证明线段相等或作图知识点2线段垂直平分线与等腰三角形【例2】如图,在平面直角坐标系中,点A在第一象限,点P在x轴上,若以P,O,A为顶点的三角形是等腰三角形,则满足条件的点P共有()A.2个B.3个C.4个D.5个【思路点拨】根据等腰三角形的性质及已知点A,P的特点分情况分别求出即可.【自主解答】选C.(1)以O为圆心,以OA为半径画弧交x轴于点P和P′,此时三角形是等腰三角形,即2个.(2)以A为圆心,以OA为半径画弧交x轴于点P″(O除外),此时三角形是等腰三角形,即1个.(3)作OA的垂直平分线交x轴于一点P1,则AP1=OP1,此时三角形是等腰三角形,即1个.综上共有2+1+1=4个.【总结提升】线段垂直平分线与等腰三角形的关系(1)由线段垂直平分线的性质得线段垂直平分线上的点和线段两个端点所连的线段,与这条线段围成的三角形就是等腰三角形.(2)等腰三角形底边上的高线、底边上的中线、顶角的平分线是底边的垂直平分线,这也是已知底边长和底边上高画等腰三角形的依据.题组一:三角形三边垂直平分线的性质与应用1.在锐角△ABC内一点P满足PA=PB=PC,则点P是△ABC()A.三条角平分线的交点B.三条中线的交点C.三条高的交点D.三边垂直平分线的交点【解析】选D.由PA=PC得点P在AC的垂直平分线上,由PA=PB得点P在AB的垂直平分线上,由PB=PC得点P在BC的垂直平分线上,所以点P是△ABC三边垂直平分线的交点.2.下列说法正确的是()A.三角形三边垂直平分线必过三角形的一个顶点B.三角形三边垂直平分线的交点一定在三角形的内部C.三角形三边垂直平分线的交点与三边中线的交点是同一点D.三角形三边垂直平分线交于同一点【解析】选D.三角形三边垂直平分线不一定过三角形的顶点,A选项错误;直角三角形和钝角三角形的三边垂直平分线的交点不在三角形的内部,B选项错误;三角形三边垂直平分线的交点与三边中线的交点不一定是同一点,选项C错误.3.如图,△ABC中,AB=AC,BC=10,AB的垂直平分线与AC的垂直平分线分别交BC于点D,E且DE=4,则AD+AE的值为()A.6B.10C.6或14D.6或10【解析】选A.∵D在AB的垂直平分线上,E在AC的垂直平分线上,∴BD=AD,CE=AE,∵BC=10,DE=4,∴BD+CE=10-4=6,∴AD+AE=6.4.如图,∠A=52°,O是AB,AC的垂直平分线的交点,那么∠OCB=.【解析】连接BO,AO.∵O是AB,AC的垂直平分线的交点,∴AO=BO=CO.∴∠BAO=∠ABO,∠OAC=∠OCA,∠OBC=∠OCB.∴2∠OCB=180°-∠A-∠ABO-∠ACO=180°-2∠A=76°,∴∠OCB=38°.答案:38°5.如图,在锐角三角形ABC中,∠A=50°,AC,BC的垂直平分线交于点O,则∠1∠2,∠3___∠4,∠5∠6,∠2+∠3=度,∠1+∠4=度,∠5+∠6=度,∠BOC=度.【解析】∵AC,BC的垂直平分线交于点O,∴OA=OB=OC,∴∠1=∠2,∠3=∠4,∠5=∠6,∵∠A=50°,∴∠2+∠3=50°,∠1+∠4=50°,∴∠5+∠6=180°-(∠2+∠3)-(∠1+∠4)=180°-50°-50°=80°,∴∠BOC=180°-(∠5+∠6)=180°-80°=100°.答案:===5050801006.在△ABC中,AB=5,BC=4,AC=3,点O是△ABC三边垂直平分线的交点,那么BO的长为.【解析】因为AC2+BC2=25=AB2,所以∠C=90°,所以点O是AB的中点,所以BO=AB=.答案:1252527.如图,已知:AD平分∠BAC,EF垂直平分AD,交BC的延长线于F,连接AF.求证:∠B=∠CAF.【证明】∵EF垂直平分AD,∴FA=FD.∴∠FAD=∠ADF.∵∠B=∠ADF-∠BAD,∠CAF=∠FAD-∠CAD,又∠BAD=∠CAD,∴∠B=∠CAF.题组二:线段垂直平分线与等腰三角形1.在如图的网格上,能找出几个格点,使每一个格点与A,B两点构成以AB为底边的等腰三角形有()A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】选D.作AB的垂直平分线,与网格的5个格点相交,其中符合要求的有4个.2.如图,已知△ABC中,AB=AC,AB边上的垂直平分线DE交AB于点D,交AC于点E.若AB=8cm,△BCE的周长是14cm,则BC=;若∠ABE∶∠EBC=2∶1,则∠A=.【解析】∵DE是AB边上的垂直平分线,∴AE=BE,∵AB=8cm,△BCE的周长是14cm,∴AC=8cm,BC+BE+EC=BC+AE+EC=BC+AC=14(cm),∴BC=6cm.设∠ABE=2x°,∠EBC=x°,∵AE=BE,∴∠A=∠ABE=2x°,∵AB=AC,∴∠C=∠ABC=∠ABE+∠EBC=3x°,∵∠ABC+∠A+∠C=180°,∴3x+2x+3x=180,解得:x=22.5,∴∠A=45°.答案:6cm45°3.已知:线段a,求作:等腰△ABC,使底边BC=a,高AD=a.(保留作图痕迹,不写作法)【解析】144.已知:如图所示,AB=AC,DB=DC,E是AD上一点,求证:BE=CE.【证明】连接BC,∵AB=AC,DB=DC,∴点A,D在线段BC的垂直平分线上,∴AD是线段BC的垂直平分线.∵点E在AD上,∴BE=CE.5.为了推进农村新型合作医疗制度改革,准备在某镇新建一个医疗点P,使P到该镇所属A村、B村、C村的距离都相等(A,B,C不在同一直线上,地理位置如图所示),请你用尺规作图的方法确定点P的位置.要求:不写已知、求作、作法,只保留作图痕迹.【解析】如图所示:【想一想错在哪？】在平面内,到A,B,C三点距离相等的点有几个?提示:忽略了A,B,C三点在同一条直线上时的情况.