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1.理解n次独立重复试验的模型和二项分布,并能利用它们解决一些简单的实际问题.2.通过本节课的学习,认真体会模型化思想在解决问题中的作用,感受概率在生活中的应用,提高数学的应用意识.121.独立重复试验在相同的条件下,重复地做n次试验,各次试验的结果相互独立,那么称它们为n次独立重复试验.如果在一次试验中事件A发生的概率是p,那么在n次独立重复试验中,事件A恰好发生k次的概率名师点拨(1)独立重复试验中,每次试验都只有两种结果(即某事件要么发生,要么不发生),并且在任何一次试验中,事件发生的概率均相等.(2)独立重复试验是相互独立事件的特例,只要有“恰好”“恰有”字样的用独立重复试验的概率公式计算更简单.要弄清n,p,k的意义.Pn(k)=C𝑛𝑘𝑝𝑘·(1−𝑝)𝑛−𝑘(𝑘=0,1,2,…,𝑛).12【做一做1-1】一名学生通过某种外语听力测试的概率为13,如果他连续测试3次,那么其中恰有1次获得通过的概率是()A.49B.29C.427D.227解析:一名学生测试1次有两种结果:要么通过,要么不通过.他连续测试3次,相当于做3次独立重复试验,根据n次独立重复试验事件A发生k次的概率公式知,连续测试3次恰有1次获得通过的概率为答案:AP=C311311-132=49.故选A.12【做一做1-2】某处有供水龙头5个,调查显示每个水龙头被打开的可能性为,3个水龙头同时被打开的概率为.解析:对5个水龙头的处理可视为做5次试验,每次试验有2种可能结果即“打开”或“不打开”,相应的概率为0.1和1-0.1=0.9,根据题意得P5(3)=(0.1)3×(1-0.1)5-3=0.0081.答案:0.0081110C53122.二项分布如果随机变量X的分布列为(q=1-p)X01…k…nP𝐶n0p0qn𝐶n1p1qn-1…𝐶nkpkqn-k…𝐶nnpnq0由于表中第二行恰好是二项式展开式(q+p)n=C𝑛0p0qn+C𝑛1p1qn-1+…+C𝑛𝑘pkqn-k+…+C𝑛𝑛pnq0各对应项的值,所以称这样的离散型随机变量X服从参数为n,p的二项分布,记作X~B(n,p).名师点拨二项式(q+p)n的展开式中,第k+1项为Tk+1=C𝑛𝑘pkqn-k,可见P(X=k)就是二项式(q+p)n的展开式中的第k+1项,故此公式称为二项分布公式,并称p为成功概率.12【做一做2-1】下面三个随机变量:①随机变量ξ表示重复抛掷一枚硬币n次中正面向上的次数;②有一批产品共有N件,其中M件是次品,采用有放回抽取的方法,则η表示n次抽取中出现次品的件数;③随机变量ξ为n次射击中命中目标的次数.上述三个随机变量中服从二项分布的是.(填序号)解析:二项分布是一种重要的离散型随机变量分布列,随机变量必须是从0至n的取值.答案:①②③12【做一做2-2】已知X~B6,13,则P(X=2)=()A.316B.4243C.13243D.80243解析:P(X=2)=C621321-134=15×19×1681=80243.答案:D1.如何理解n次独立重复试验?剖析(1)独立重复试验满足的条件:①每次试验是在同样条件下进行的;②各次试验中的事件是相互独立的;③每次试验都只有两种结果,即事件要么发生,要么不发生.(2)独立重复试验的实际原型是有放回地抽样检验问题,但在实际应用中,从大批产品中抽取少量样品的不放回检验,可以近似地看作此类型,因此独立重复试验在实际问题中应用广泛.2.如何理解二项分布?剖析(1)二项分布实际上只是对n次独立重复试验从概率分布的角度作了进一步的阐述,与n次独立重复试验恰有k次发生的概率呼应,是概率论中最重要的几种分布之一.(2)判断一个随机变量是否服从二项分布,关键有二:其一是对立性,即一次试验中,事件发生与否,二者必居其一;其二是重复性,即试验是独立重复地进行了n次.(3)由二项分布的定义,若X~B(n,p),则P(X=k)=C𝑛𝑘pk(1-p)n-k.题型一题型二题型三题型四题型一独立重复试验的概率【例1】甲足球队与乙足球队举行对抗赛,甲队获胜的概率为0.6,现双方商量对抗赛的方式,提出了两种方案:①双方进行3场比赛;②双方进行5场比赛.两种方案中均以比赛中得胜场数多的一方为胜利,问对乙队来说,哪一种方案更有利?分析因为每进行一次对抗赛都可以看作是一次独立的重复性试验,所以比赛的场次都可以看作是独立重复试验,故选用n次独立重复试验恰好发生k次的概率模型作为解决问题的最基本的数学模型.题型一题型二题型三题型四解:由题意可知,双方进行n场比赛相当于n次独立重复试验,由n次独立重复试验中事件发生k次的概率公式,对乙队而言在3场比赛中获胜的概率为乙队在5场比赛中获胜的概率为P2=P5(3)+P5(4)+P5(5)=0.2304+0.0768+0.01024=0.31744.∵P1P2,∴对乙队而言,采用方案①获胜的可能性要大一些.P1=P3(2)+P3(3)=C32×(1-0.6)2×0.6+C33(1-0.6)3×0.60=0.352;=C53×(1-0.6)3×0.62+C54×(1-0.6)4×0.6+C55×(1-0.6)5×0.60题型一题型二题型三题型四反思(1)解决实际问题的首要工作就是根据实际问题的特点和所学概型的特点进行比对,找到二者之间的一致性,从而确定其数学模型,进而使问题获解.(2)利用独立重复试验概率公式可以简化求概率的过程,但需要注意检查该概率模型是否满足公式P(X=k)=的三个条件.C𝑛𝑘pk(1-p)n-k题型一题型二题型三题型四题型二二项分布问题【例2】一名学生每天骑车上学,从他家到学校的途中有6个交通岗,假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是(1)设X为这名学生在途中遇到红灯的次数,求X的分布列;(2)设Y为这名学生在首次停车时经过的路口数,求Y的分布列;(3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.分析本题主要考查独立重复试验的概率和二项分布等知识.13.题型一题型二题型三题型四解:(1)将通过每个交通岗看作一次试验,则遇到红灯的概率为13,且每次试验结果是相互独立的,故X~B6,13,以此为基础求X的分布列.由X~B6,13,得X的分布列为X0123P𝐶60130·236𝐶61131·235𝐶62132·234𝐶63133·233X456P𝐶64134232𝐶65135231𝐶66136230题型一题型二题型三题型四(2)由于Y表示这名学生在首次停车时经过的路口数,显然Y是随机变量,其取值为0,1,2,3,4,5,6.其中:{Y=k}(k=0,1,2,3,4,5)表示前k个路口没有遇上红灯,但在第(k+1)个路口遇上红灯,故各概率应按独立事件同时发生计算,P(Y=k)=23𝑘×13(k=0,1,2,3,4,5).而{Y=6}表示一路没有遇上红灯,故其概率为P(Y=6)=236.因此Y的分布列为题型一题型二题型三题型四Y0123456P1313×2313×23213×23313×23413×235236(3)这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率为P(X≥1)=∑𝑘=16P(X=k)=1-P(X=0)=1-236=665729≈0.912.题型一题型二题型三题型四反思解决离散型随机变量分布列问题时,主要依靠概率的有关概念和运算,其关键是要识别题中的离散型随机变量服从什么分布,像本例中随机变量X表示遇到红灯次数,而每次遇到红灯是相互独立的,因此这是一个独立重复事件,符合二项分布,即X~B(n,p).分布列能完整地刻画随机变量X与相应概率的变化情况,在分布列中第一行表示X的所有可能取值,第二行对应的各个值(概率值)必须都是非负实数且满足其和为1.题型一题型二题型三题型四题型三综合应用【例3】某人抛掷一枚硬币,出现正面与反面的概率都是12,构造数列{an},使an=1,当第𝑛次出现正面时,-1,当第𝑛次出现反面时.记Sn=a1+a2+…+an(n∈N+).(1)求S8=2时的概率;(2)求S2≠0且S8=2时的概率.分析弄清“S8=2”及“S2≠0且S8=2”对应的事件再根据相应公式求解.题型一题型二题型三题型四解:(1)S8=2,需8次中有5次正面3次反面,设其概率为P1,则P1=C85125123=8×7×63×2×128=732.(2)S2≠0即前两次同时出现正面或同时出现反面.①当前两次同时出现正面时,S2=2,要使S8=2,需后6次中有3次正面3次反面.设其概率为P2,则P2=12×12×C63×123123=128×6×5×43×2=564.题型一题型二题型三题型四②当前两次同时出现反面时,S2=-2,要使S8=2,需后6次中有5次正面1次反面.设其概率为P3,则P3=12×12×C65×12512=128×6=3128.所以利用互斥事件概率公式,当S2≠0且S8=2时的概率:P=P2+P3=564+3128=13128.题型一题型二题型三题型四题型四易错辨析【例4】假定人在一年365天中的任一天出生的概率是一样的,某班级有50名学生,其中至少有两人生于元旦的概率是多少?错解:由于每个人在每天出生的概率为1365,一个人在365天内的生日相当于做了365次独立重复试验.设50名学生中生于元旦的人数为X,则P(X=0)=C3650×13650×36436550,P(X=1)=C3651×13651×36436549,所以至少有两人生于元旦的概率为P(X≥2)=1-P(X2)=1-P(X=0)-P(X=1)=1-C3650×13650×36436550−C3651×13651×36436549.题型一题型二题型三题型四错因分析上述错解:没有弄清所解的问题是否是独立重复试验,每次试验指的是什么.由于每个人在一年中生于元旦的概率为1365,50名同学的生日相当于进行50次试验,各次互不影响,从而考虑重复试验问题.题型一题型二题型三题型四正解由题意,记“有一个人生日是元旦”为事件A,则50名学生的生日相当于进行50次试验,显然各人的生日是随机的、互不影响的,所以属于50次独立重复试验,P(A)=1365.设50名学生中生于元旦的人数为X,则P(X=0)=C5001365036436550,P(X=1)=C5011365136436549,所以至少有两人生于元旦的概率为P(X≥2)=1-P(X2)=1-P(X=0)-P(X=1)=1-C5001365036436550−C5011365136436549≈0.0084.123451.独立重复试验应满足的条件是()①每次试验之间是相互独立的;②每次试验只有发生与不发生两种结果;③每次试验中发生的机会是均等的;④每次试验发生的事件是互斥的.A.①②B.②③C.①②③D.①②④答案:C123452.下面随机变量X的分布列不属于二项分布的是()A.据报道,下周内在某网站下载一次数据,电脑被感染某种病毒的概率是0.65.设在这一周内,某电脑从该网站下载数据n次中被感染这种病毒的次数为XB.某射手射击击中目标的概率为p,设每次射击是相互独立的,从开始射击到击中目标所需要的射击次数为XC.某射手射击击中目标的概率为p,设每次射击是相互独立的,射击n次恰好命中目标的次数为XD.位于某汽车站附近有一个加油站,汽车每次出站后到这个加油站加油的概率为0.6,某天有50辆汽车开出该站,假设一天里汽车去该加油站加油是相互独立的,去该加油站加油的汽车数为X答案:B123453.箱中装有标号为1,2,3,4,5,6且大小相同的6个球.从箱中一次摸出两个球,记下号码并放回,如果两球号码之积是4的倍数,则获奖.现有4人参与摸奖,恰好有3人获奖的概率是()A.16625B.96625C.624625D.4625解析:若摸出的两球中含有4,必获奖,有5种情况;若摸出的两球是2,6,也能获奖.故获奖的情况共有6种,获奖概率为6C62=25.现有4人参与摸奖,恰有3人获奖的概率是C43253·1-25=966