2.2.3独立重复试验与二项分布

1.有10门炮同时各向目标各发一枚炮弹,如果每门炮的命中率都是0.1,则目标被击中的概率约是()A0.55B0.45C0.75D0.65D109.012、假使在即将到来的2008年北京奥运会上，我国乒乓球健儿克服规则上的种种困难，技术上不断开拓创新，在乒乓球团体比赛项目中，我们的中国女队夺冠的概率是0.9,中国男队夺冠的概率是0.7,那么男女两队双双夺冠的概率是多少?变式一只有女队夺冠的概率有多大？变式二恰有一队夺冠的概率有多大？变式三至少有一队夺冠的概率有多大？3.一个元件能正常工作的概率r称为该元件的可靠性。由多个元件组成的系统能正常工作的概率称为系统的可靠性。今设所用元件的可靠性都为r(0r1)，且各元件能否正常工作是互相独立的。试求各系统的可靠性。(1)12(2)12(3)1212(4)2211P1=r2P2=1－(1－r)2P3=1－(1－r2)2P4=[1－(1－r)2]2JCJBJA(5)3511pr2.2.3独立重复试验与二项分布复习引入前面我们学习了互斥事件、条件概率、相互独立事件的意义，这些都是我们在具体求概率时需要考虑的一些模型，吻合模型用公式去求概率简便.⑴()()()PABPAPB（当AB与互斥时）；⑵()(|)()PABPBAPA⑶()()()PABPAPB（当AB与相互独立时）那么求概率还有什么模型呢？共同特点是:多次重复地做同一个试验.分析下面的试验，它们有什么共同特点？投掷一个骰子投掷5次;某人射击1次，击中目标的概率是0.8，他射击10次;实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5局3胜制（即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛）;一个盒子中装有5个球（3个红球和2个黑球），有放回地依次从中抽取5个球;生产一种零件，出现次品的概率是0.04,生产这种零件4件.1.独立重复试验定义：一般地，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验1、每次试验是在同样条件下进行；2、每次试验都只有两种结果:发生与不发生；3、各次试验中的事件是相互独立的；4、每次试验,某事件发生的概率是相同的。注：独立重复试验的基本特征：基本概念判断下列试验是不是独立重复试验：1).依次投掷四枚质地不同的硬币,3次正面向上;2).某射击手每次击中目标的概率是0.9，他进行了4次射击，只命中一次；3).口袋装有5个白球,3个红球,2个黑球,从中依次抽取5个球,恰好抽出4个白球;4).口袋装有5个白球,3个红球,2个黑球,从中有放回的抽取5个球,恰好抽出4个白球不是是不是是注：独立重复试验的实际原型是有放回的抽样试验探究投掷一枚图钉，设针尖向上的概率为p，则针尖向下的概率为q=1-p.连续掷一枚图钉3次，仅出现1次针尖向上的概率是多少？所以，连续掷一枚图钉3次，仅出现1次针尖向上的概率是23.qp思考？上面我们利用掷1次图钉，针尖向上的概率为p，求出了连续掷3次图钉，仅出现次1针尖向上的概率。类似地，连续掷3次图钉，出现次针尖向上的概率是多少？你能发现其中的规律吗？(03)kk33(),0,1,2,3.kkkkPBCpqk仔细观察上述等式，可以发现：30123()(),PBPAAAq21123123123()()()()3,PBPAAAPAAAPAAAqp22123123123()()()()3,PBPAAAPAAAPAAAqp33123()().PBPAAAp基本概念2、二项分布：一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为()(1),0,1,2,...,.kknknPXkCppkn此时称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n,p),并称p为成功概率。注:展开式中的第项.()()kknknnnPkcpqpq是1kknkknppCkXP)1()(（其中k=0，1，2，···，n）试验总次数事件A发生的次数一次试验中事件A发生的概率发生的概率一次试验中事件A公式理解二项分布与两点分布有什么内在联系？两点分布与二项分布的随机变量都只有两个可能结果.例1.某射手每次射击击中目标的概率是0.8.求这名射手在10次射击中。（1）恰有8次击中目标的概率；（2）至少有8次击中目标的概率。（结果保留两个有效数字）解：设X为击中目标的次数，则X~B(10,0.8)(1)在10次射击中，恰有8次击中目标的概率为30.0)8.01(8.0)8(8108810CXP(2)在10次射击中，至少有8次击中目标的概率为)10()9()8()8(XPXPXPXP68.0)8.01(8.0)8.01(8.0)8.01(8.0101010101091099108108810CCC解:记事件“第i次击中目标”为iA,则123AAA、、相互独立.且123()()()0.8PAPAPA.练1.某射手射击1次，击中目标的概率是0.8，现连续射击3次.⑴第一次命中，后面两次不中的概率；⑵恰有一次命中的概率;⑶恰有两次命中的概率.⑴第一次命中，后面两次不中的事件即123AAA∴123123()()1()1()PAAAPAPAPA=0.032⑵恰有一次命中的事件即123AAA+123AAA+123AAA∴恰有一次命中的事件的概率230.80.20.20.096P⑶恰有两次命中的事件即123AAA+123AAA+123AAA∴恰有两次命中的事件的概率330.80.80.20.384P练2.设一射手平均每射击10次中靶4次，求在五次射击中①击中一次，②恰在第二次击中，③击中两次，④第二、三两次击中，⑤至少击中一次的概率．由题设，此射手射击1次，中靶的概率为0.4．①n＝5，k＝1，应用公式得②事件“第二次击中”表示第一、三、四、五次击中或击不中都可，它不同于“击中一次”，也不同于“第二次击中，其他各次都不中”，不能用公式．它的概率就是0.4．③n＝5，k＝2，④“第二、三两次击中”表示第一次、第四次及第五次可中可不中，所以概率为0.4×0.4＝0.16．⑤设“至少击中一次”为事件B，则B包括“击中一次”，“击中两次”，“击中三次”，“击中四次”，“击中五次”，所以概率为P(B)＝P(1)＋P(2)＋P(3)＋P(4)＋P(5)＝0.2592＋0.3456＋0.2304＋0.0768＋0.01024＝0.92224．1－P(0)练2：设一射手平均每射击10次中靶4次，求在五次射击中①击中一次，②第二次击中，③恰好击中两次，④刚好在第二、三两次击中，⑤至少击中一次的概率．例2、某人参加一次考试，若五道题中解对四题则为及格，已知他的解题正确率为3/5，试求他能及格的概率例3、加工某种零件经过三道工序，设第一、二、三道工序的合格率分别为9/10,8/9,7/8，且各道工序互不影响。(1)、求这种零件合格的概率(2)、从该种零件中任取3件，求恰好取到一件合格品的概率和至少取到一件合格品的概率例4、某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为0.6，且各次射击的结果互不影响(1)、求射手在3次射击中，至少有两次连续击中目标的概率(2)、求射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率例5.设3次独立重复试验中，事件A发生的概率相等，若已知A至少发生一次的概率等于19/27，求事件A在一次试验中发生的概率。33198211112727313APPPPP解：设事件在一次试验中发生的概率为，则：（），（），变式.一射手对同一目标独立地进行4次射击,已知至少命中一次的概率为,则此射手射击一次的命中率是()ABCD8180313241528180)p1(14B6.2.533..例甲、乙两队排球比赛，已知在一局比赛中，甲队胜的概率为，没有平局若采用局胜制比赛，先胜三局者为胜，甲获胜的概率是多少？，）（（甲用三局取胜）解：278323P，））（（（甲用四局取胜）2783231331CP，）（）（（甲用五局取胜）811632313242CP81648116278278（甲胜）P.32..变式实力相当的甲、乙两队参加乒乓球团队比赛，规定局胜制试求甲获胜的概率例7.甲、乙两个篮球运动员投篮命中率为0.7及0.6,若每人各投3次,试求甲至少胜乙2个进球的概率33(3)0.710.60.021952P甲胜乙个球（）（）31232233(2)0.70.610.60.7(10.7)(10.6)0.0998840.0256640.125548PCC甲胜乙个球（）（）例8．某车间有5台车床，每台车床的停车或开车是相互独立的，若每台车床在任一时刻处于停车状态的概率为31，求：⑴在任一时刻车间有3台车床处于停车的概率；⑵至少有一台处于停车的概率奎屯王新敞新疆简答：⑴323551240333243PC⑵5552211113243PBPBC变式：某车间有5台机床，在1小时内每台机床需要工人照管的概率都是0.25，求在1小时内这5台机床中至少有2台需要工人照管的概率.（结果保留两个有效数字）0.37例9．某人对一目标进行射击，每次命中率都是0.25，若使至少命中1次的概率不小于0.75，至少应射击几次？（lg20.3010,lg30.4771）解：设要使至少命中1次的概率不小于0.75，应射击n次奎屯王新敞新疆记事件A＝“射击一次，击中目标”，则()0.25PA．∵射击n次相当于n次独立重复试验，∴事件A至少发生1次的概率为1(0)10.75nnPP．由题意，令10.750.75n≥，∴31()44n≤，∴1lg44.823lg4n≥，∴n至少取5．答：要使至少命中1次的概率不小于0.75，至少应射击5次奎屯王新敞新疆变式.有译电员若干员,每人独立破译密码的概率均为,若要达到译出密码的概率为0.99,至少要配备多少人?(lg2=0.3010,lg3=0.4771)31例10、一批玉米种子，其发芽率是0.8.⑴问每穴至少种几粒，才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于98%？⑵若每穴种3粒，求恰好两粒发芽的概率．（lg20.3010）解：记事件A＝“种一粒种子，发芽”，则()0.8PA，()10.80.2PA，（1）设每穴至少种n粒，才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于98%．∵每穴种n粒相当于n次独立重复试验，记事件B＝“每穴至少有一粒发芽”，则00()(0)0.8(10.8)0.2nnnnPBPC．∴()1()10.2nPBPB．由题意，令()98%PB，所以0.20.02n，两边取常用对数得，lg0.2lg0.02n．即(lg21)lg22n，∴lg221.69902.43lg210.6990n，且nN，所以取3n．答：每穴至少种3粒，才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于98%．（2）∵每穴种3粒相当于3次独立重复试验，∴每穴种3粒，恰好两粒发芽的概率为2230.80.20.384PC，答：每穴种3粒，恰好两粒发芽的概率为0.384奎屯王新敞新疆例11、已知诸葛亮解出问题的概率为0.8，三个臭皮匠解出题目的概率都为0.1，且每个人必须独立解题，问三个臭皮匠至少一个解出题目的概率与诸葛亮解出的概率比较。探究：这种情况下至少有几个臭皮匠才能顶个诸葛亮呢？3181831)32()31(2224C①求恰好摸5次就停止的概率。②记五次之内（含5次）摸到红球的次数为X，求随机变量X的分布列。例12袋A中装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出一个红球的概率是，从A中有放回的摸球，每次摸出1个，有3次摸到红球就停止。解：①恰好摸5次就停止的概率为②随机变量X的取值为0，1，2，324332)311()0(505