自适应天线第二章

12.1LMS自适应阵图2.1LMS自适应阵2其中:误差信号为()()()trtst反馈系统调节(WI1,WQ1,····WIN,WQN)使得2[()]Et最小.[]E•表示期望值(均值)——LMS准则注:2.1.1选定LMS准则的依据设天线阵用于通信系统,且阵的输出包括需要信号、干扰和热噪音,即:()()()()distststnt(2.1)(),(),()diststnt式中分别为需要信号,干扰信号,热噪声。假设参考信号是需要信号的复制信号:()()drtst(2.2)3则:()(1)()()()ditststnt(2.3)而均方误差为:2222222[()](1)[()][()][()]diEtEstEstEnt(2.4)当1,0,0时,2[()]Et最小;2[()]Et反之,若最小,则对应于阵列输出端需要信号功率固定,干扰和热噪声功率最小。2.1.2最佳加权先来确定为了得到最小2[()]Et应设置的加权.对于任意一组加权,阵列输出为:1,()()NPjPjjPIQstwxt(2.5)所以,误差信号为:1,()()()NPjPjjPIQtrtwxt(2.6)4均方误差为:221,[()][()]2[()()]NPjPjjPIQEtErtwErtxt11,,[()()]NNPjLiPjLijiPIQLIQwwExtxt(2.7)写成矩阵形式得到下式:22[()][()]2TTrrrrrEtErtWSWW(2.8)式中rW和rS分别为下列矩阵:1122[,,,,...]WTrIQIQ(2.9)1Q12Q2()()()()()()()()...IrIxtrtxtrtSExtrtxtrt(2.10)5的二次函数(呈碗形曲面).那么而r为2N×2N矩阵:1111121211111212212122222121222()()()()()()()()...()()()()()()()()...()()()()()()()()...()()()()()()()IIIQIIIQQIQQQIQQIIIQIIIQrQIQQQIQxtxtxtxtxtxtxtxtxtxtxtxtxtxtxtxtxtxtxtxtxtxtxtxtExtxtxtxtxtxtxtx222()............QNNt(2.11)可以看出:2[()]Et是关于rW该碗形曲面有且只有一个极小值.得到2[()]Et极小值的加权矢量用roptW表示,它可由下式确定:2{[()]}0rWEt(2.12)6由于:2{[()]}22rWrrrEtSW1roptrrWS222minmin[()][()]2rTTroptrroptrroptWEtErtS(2.13)从而可得:(2.15)此时可以得到2[()]Et其极小值:(2.16)代入式(2.15),可以得到:22min[()]TroptrroptErtWW(2.18)对于任意加权的均方误差可改写成更为有用的形式:22min[()]2TTTroptrroptrrroptrrrEt(2.19)因为对称矩阵,可以由下式代替r2TrrroptWW2TTTrrroptrrroptroptrr(2.20)7从上式可看出的二次型性质.整理式(2.19)的各项可以得出:22min[()]()()TrroptrrroptEtWW2[()]Et(2.21)当时:222min[()]min[()]EtEtrroptWW当时:22min[()]Et因为的非对角线一般不为零,碗形的主轴不与加权平行.r利用以下变换可得到轴平行于碗型的主轴的坐标系统:rrrWRV(2.22)式中为的坐标旋转矩阵,rR22NNrV为元列矩阵.2N12[,,...]TrvvV(2.23)将式(2.22)代入式(2.21)之中得到:22min[()]()()TTrroptrrrrroptEtVVRRVV(2.24)8因的极值为极小值，所以特征值非负，而且为非负正定的(半正定).则便是碗形的正规坐标。12300...00...00...............rrr若选择使为对角阵,亦即：rR122(,,...,)TrrrrrrNRRdiagTrrrRR2[()]Etrrjrjjvr式中为的特征值，(2.25)9因为曲面上的梯度是指向最陡上坡方向,且k0,这个方程便迫使加权最陡下坡,或最陡下降方向移动.并且,这个方程使的时间变化率正比于曲面的斜率.因为二次型曲面的斜率随离开其极小点的距离而线性增加,所以当加权远离碗底时,式(2.26)使加权迅速变化,仅当加权接近碗底时变化才缓慢.2.1.3LMS算法对于任何给定的阵元排列,曲面的形状,位置和取向与入射到阵列的信号有关.若这些信号的个数,到达角或功率电平随时间变化,则碗形曲面及相应的将在加权平面上移动.自适应阵的任务就是在于控制加权矢量使之对碗形底进行跟踪.2[()]EtroptW2{[()]}rWrdWkEtdt(0)k2[()]EtrW2[()]Et在LMS阵中,加权是根据梯度算法进行调整的,控制方程为:(2.26)rW10利用求导公式可得:221;,[()]{[()]}0NPjjPIQPjdwdEtEtdtwdt(2.27)可选:2[()]PjPjdwEtkdtw(2.28)这样,就有:2221;,[()][()]{}0NjPIQPjdEtEtkdtw(2.29)222,[()][()]{[()]}PjTWrrjPPjdwdEtEtEtdtwdtW因为:(2.31)所以,对于给定的,若,很明显:2{[()]}rWrkEtWrW将取得最小的负值.2[()]/dEtdt11利用2[()]Et的表达式,即式(2.7),可以得到:21;,[()]2[()()]2[()()]NPjLjPjLjjLIQPjEtExtrtwExtxtw1;,2{()[()()]}NPjLjLjjLIQExtrtwxt2[()()]PjExtt(2.33)所以式(2.26)式可以写为:2[()()];PjPjdwkExttdt1,,jNPIQ(2.34)但是上式实现困难,因为其右边有期望运算.在实时处理器中无法得到求解。因此有必要用某种估计来代替它。最简单形式如下:2()()PjPjdwkxttdt(2.35)这个方程被称为威德罗等人的LMS算法.12上式等效于图2.3所示的反馈环.因为仅是自适应阵的正交双道加权中的一个,所以每个天线单元阵元后面需要两个这样的环路,一个是同相通道,一个是正交通道,如图2.4所示.该反馈环常称为相关环,采用这个术语是由于该环内形成了和的乘积,并将乘积积分,即:图2.3LMS反馈环图2.4一个阵元的LMS反馈Pjw()t()Pjxt()2()()tPjPjwtkxd(2.36)132.1.4省略E[·]的影响采用近似的影响.此时曲面为瞬时随机变化的曲面.若为平稳随机过程,则曲面不随时间变化,相应地,将在其平均值周围变化,因此阵的每个加权也变成随机过程.[()()]()()PjPjExttxtt2()t()t2[()]Et2[()]wrt2{[()]}wrEt对于用瞬时曲面的梯度代替曲面的梯度的算法,加权绕其平均值起伏,故仅能通过选择足够小的增益k来尽可能平均掉随机变化,从而使加权的方差尽可能小.反之,若采用E[·],则可以采用任意大的k值.2()t2[()]Et例:假设环路输入信号为连续信号x(t),参考信号为r(t):()cos()()cos()xtAtrtRt分析:(1)若包含E[·],则图2.5的加权满足方程:2[()()]dwkExttdt(2.37)(2.40)14图2.5单LMS环路输出信号为:()()cos()stwxtAwwt(2.41)所以误差信号为:()()cos()tRAwwt(2.42)因此:2[()()][()cos()]1()2ExttEARAwwtARAw(2.43)所以,w满足右式:2dwkAwkARdt(2.45)15这个微分方程的解为:2()[(0)]exp()RRwtwkAtAA(2.46)(注:式中w(0)为w(t)在t=0时的初值.)(2)若省略E[·],此时,w满足下式:2()()dwkxttdt(2.49)22()cos()kARAwwt()[1cos(22)]kARAwwt采用数值求解法,对于k=A=R=1,w(0)=0和θ=0,可得到如图2.6的解的形式.16•采用E[.]形式时,加权随时间呈简单指数形式变化;•省略E[.]形式时,加权围绕着指数形式振荡,且增加时,加权逼近指数形式.17其中就称作解析信号.2.1.5复数表示法研究一种简化自适应阵分析的方法,即复数加权的解析信号表示法.首先回顾一下希尔伯特变换的定义:1()ˆ()fftdt而ˆ()()()ftftjft()ft图2.7处理一个阵元的正交混合器18图2.7表示正交混合器和一对加权,这是自适应阵的一个阵元后所接的电路.采用解析信号表示法,P.273图B.5说明了如何利用解析信号表示法表示正交混合器.图B.5简化的正交混合器模型假设正交混合器是宽带的,所以:ˆ()()QjIjxtxt(2.51)我们可以定义复信号为:()jxtˆ()()()()()jIjQjIjIjxtxtjxtxtjxt(2.52)19再定义复加权:jwjIjQjwwjw(2.53)定义相应的解析信号为:ˆ()()()jjjststjstˆ()()();ststjstˆ()()().ttjtˆ()()();rtrtjrt(2.54)(2.55)(2.56)(2.57)现在讨论图2.7所示的第j阵元的输出和其希尔伯特变换:()()()ˆˆˆ()()()jIjIjQjQjjIjIjQjQjstwxtwxtstwxtwxt(2.58)式中:ˆˆˆˆ()(),()()()IjQjQjIjIjxtxtxtxtxt因此有:ˆ()()()jIjQjQjIjstwxtwxt(2.60),(2.61)所以,解析信号为:()jst(2.59)(2.62)20定义复加权矢量和复信号矢量分别为:ˆ()()()jjjststjst()()[()()]IjIjQjQjIjQjQjIjwxtwxtjwxtwxt(2.63)但是,根据和的定义可见,这恰恰就是:jw()jxt()()jjjstwxt(2.64)对于整个阵,其解析的输出信号为:11()()()NNjjjjjststwxt(2.65)12[,,......,]TN12[(),(),......,()]TNXxtxtxt(2.66)(2.67)所以可以得到:()TTstWXXW(2.68)WX212.1.6复数LMS算法所以可得:2[()()]IjIjdwkExttdt2[()()]QjQjdwkExttdt(2.69)(2.71)实数形式的LMS算法为:*11ˆ{()()}{[()()][()()]}22jIjQjExttExtjxttjt1ˆˆ{[()()()()[()()()()]}2IjQjIjQjExtt