高中不等式难题

不等式单元测试一：填空题1．不等式axx21解集为R，则实数a的取值范围为_________________2．观察下列式子：213122，221151+233，222111712344，由此可归纳出的一般结论是．3．已知a+1，a+2，a+3是钝角三角形的三边，则a的取值范围是4．不等式1211()12xx的解集为__________.5．（2013?重庆）设0≤α≤π，不等式8x2﹣（8sinα）x+cos2α≥0对x∈R恒成立，则α的取值范围为_________．6．设不等式组0,24,24xxyxy所表示的平面区域为D，则区域D的面积为；若直线1yax与区域D有公共点，则a的取值范围是．7．已知变量x，y满足约束条件axyxyx11，若212xy恒成立，则实数a的取值范围为________．8．若log41,ab则ab的最小值为_________.9．设=(1,-2),=(a,-1),=(-b,0),a0,b0,O为坐标原点,若A,B,C三点共线,则+的最小值是________.10．已知,aRbR，函数2xyaeb的图象过（0，1）点，则11ab的最小值是______.11．若正数x，y满足012yx，则xyyx2的最小值为．12．设x，y，z均为大于1的实数，且z为x和y的等比中项，则lglg4lglgzzxy的最小值为．二：解答题13．如果57(0,1)xxaaaa且，求x的取值范围.14．（本小题满分10分）已知关于x的不等式.log1122axx（1）当8a时，求不等式解集；（2）若不等式有解，求a的范围.15．某公司计划2014年在A,B两个电视台做总时间不超过300分钟的广告,广告总费用不超过9万元.A,B两个电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟,假定A,B两个电视台为该公司所做的每分钟广告,能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元.问该公司如何分配在两个电视台做广告的时间,才能使公司的收益最大?最大收益是多少万元?16．如图，已知小矩形花坛ABCD中，AB＝3m，AD＝2m，现要将小矩形花坛建成大矩形花坛AMPN，使点B在AM上，点D在AN上，且对角线MN过点C.(1)要使矩形AMPN的面积大于32m2，AN的长应在什么范围内？(2)M，N是否存在这样的位置，使矩形AMPN的面积最小？若存在，求出这个最小面积及相应的AM，AN的长度；若不存在，说明理由．参考答案1．（-∞，-3）（或a-3）【解析】试题分析：因为3112211232xxxxxx，它的最小值为3，所以3a．考点：绝对值不等式的性质，恒成立问题．2．2221112112311nnn【解析】解：观察左右两边表达式吧变化规律发现，左侧表示的为连续正整数平方的倒数和，2,3，4项，项数逐一增加1，右边则是项数的倒数分之，等差数列2n+1,则按照这个规律我们就可以得到2221112112311nnn3．)2,0(【解析】略4．1(,1]2【解析】试题分析：原不等式变形为：012111()22xx，因为112，所以1021xx同解变形为：2102110xxx解得：112x，所以原不等式的解集为：1(,1]2.考点：1.解指数型不等式；2.接分式不等式.5．[0，]∪[，π]【解析】由题意可得，△=64sin2α﹣32cos2α≤0，得2sin2α﹣（1﹣2sin2α）≤0∴sin2α≤，﹣≤sinα≤，∵0≤α≤π∴α∈[0，]∪[，π]6．47;[,)34【解析】试题分析：由2424xyxy得44(,)33B.易得(0,4),(0,2)AC.所以区域D的面积为1442233S.直线BD的斜率为4(1)734403k，直线1yax与区域D有公共点，所以74ak.考点：不等式组表示的平面区域.7．[01]，.【解析】试题分析：易知1a，不等式表示的平面区域如图所示，设(20)Q，，平面区域内动点()Pxy，，则2PQykx，当P是xa与1xy交点时，PQ的斜率最大，为12aa当P是xa与1xy交点时，PQ的斜率最小，为12aa，由1122aa且1122aa得02a，又1a，所以[01]a，.考点：线性规划.QPxy1-1128．1【解析】试题分析：由log41,ab得104ab，所以112144abbbbb（当且仅当14bb即12b时，等号成立）所以答案应填1.考点：1、对数的运算性质；2、基本不等式.9．8【解析】=-=(a-1,1),=-=(-b-1,2),因为A,B,C三点共线,所以与共线,所以2(a-1)+b+1=0,即2a+b=1.因为a0,b0,所以+=(2a+b)=4++≥4+4=8,当且仅当=,即b=2a时等号成立.10．322【解析】试题分析：因为函数过点0,1,把点带入函数2xyaeb可得12ba，所以223232211baabbbaababa.当且仅当2baab时取等号.故填322考点：基本不等式11．9【解析】试题分析：210,21xyxy0,0xy2222122xyxyxyxyxyxyxyyxyx=2222145xyxyyxyx2252549xyyx(当且仅当22xyyx,即13xy时,“＝”成立)考点：基本不等式12．98【解析】试题分析：因为z为x和y的等比中项，所以2zxy，则zxy，lglglglglglglglg5lglg51924lglg4lglg8lg2lg88lg2lg8168xyxyzzxyxyyxxyxyxyxy，当且仅当2yx时等号成立，所以lglg4lglgzzxy的最小值为98；考点：1.等比中项；2.对数的运算性质；3.基本不等式的应用；13．当1a时，76x；当01a时，76x.【解析】试题分析：解指数不等式首先确定其单调性，当底数大于1是单调递增，当底数介于01之间单调递减，此题中底数为a（0a且1a），需按1a单调递增和01a单调递减，两种情况进行讨论，再利用单调性解不等式.试题解析：①当1a时，57xxaa57,xx解得76x..4分②当01a时，57xxaa57,xx解得76x8分综上所述：当1a时，76x当01a时，76x..12分考点：1.分类讨论思想；2.指数函数的单调性.14．（1）33xx；（2）22a.【解析】试题分析：（1）当8a时，原不等式即为3112xx，分三类情况进行讨论：21x，121x和1x，分别求出其满足的解集，再作并集即为所求不等式的解集；（2）要使不等式有解，即.log1122minaxx，于是问题转化为求min112xx，令112)(xxxf，分三种情况21x，121x和1x，分别求出其最小值并作交集，最后得出结果即可.试题解析：（1）由题意可得：3112xx，当21x时，3,3112xxx，即213x；当121x时，3112xx，即35x；当1x时，3112xx，即3x该不等式解集为33xx.（2）令112)(xxxf，有题意可知：min2)(logxfa又1,121,2321,)(xxxxxxxfQ21min)(xf，即212a，22a.考点：1、含绝对值不等式的解法；2、对数不等式的解法；15．该公司在A电视台做100分钟广告,在B电视台做200分钟广告,公司的收益最大,最大收益是70万元.【解析】设公司在A和B做广告的时间分别为x分钟和y分钟,总收益为z元,由题意得目标函数z=3000x+2000y.二元一次不等式组等价于作出二元一次不等式组所表示的平面区域,即可行域,如图阴影部分.作直线l:3000x+2000y=0,即3x+2y=0,平移直线l,从图中可知,当直线l过M点时,目标函数取得最大值.联立解得∴点M的坐标为(100,200),∴zmax=3000×100+2000×200=700000,即该公司在A电视台做100分钟广告,在B电视台做200分钟广告,公司的收益最大,最大收益是70万元.【方法技巧】常见的线性规划应用题的类型(1)给定一定量的人力、物力资源,问怎样运用这些资源,使完成的任务量最大,收益最大.(2)给定一项任务,问怎样统筹安排,使完成这项任务耗费的人力、物力资源最小.16．（1）在(2，83)或(8，＋∞)内（2）AM＝6，AN＝4时，Smin＝24.【解析】解：(1)设AM＝x，AN＝y(x3，y2)，矩形AMPN的面积为S，则S＝xy.∵△NDC∽△NAM，∴2yy＝3x，∴x＝32yy，∴S＝232yy(y2)．由232yy32，得2y83，或y8，∴AN的长度应在(2，83)或(8，＋∞)内．(2)当y2时，S＝232yy＝3(y－2＋42y＋4)≥3×(4＋4)＝24，当且仅当y－2＝42y，即y＝4时，等号成立，解得x＝6.∴存在M，N点，当AM＝6，AN＝4时，Smin＝24.