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NUMERICALLABTOOLBOX摘要一般大學數值方法與分析課程中所使用的教科書對數值分法與分析的闡釋太過靜態與單調，並無法有效引起學習者之學習興趣。此外在有限的教學時間內，面對眾多的內容學習者越來越無法領會其中的奧妙。因此，本論文根據建構主義學習理論與電腦輔助教學原理，設計一MATLAB工具箱軟體—數值實驗室（NumericalLabToolbox），並以之為輔助教材來輔助教學活動，結果的確提升了學生的學習興趣。本數值實驗室內容共分九章，二十五個主題，每個主題皆以圖形使用者界面（GUI）來設計，使得軟體操作更具親和力且簡易，透過數據的幾何化與視覺化，讓學習者更能容易的了解數值方法與分析。目前此類數值方法與分析的CAI軟體十分稀少，本論文所設計的軟體配合一般數值方法與分析之教科書可有效地達到教學目標，希望能廣為大專院校教授此學門時參考與採納。配合網路的發展，未來希望透過網路CGI功能來連結執行數值實驗室，或者研發本軟體之Java版本，以嘉惠網上的學習者。內容第一章緒論第二章數值實驗室第三章軟體展示:一些例子第四章結論第一章緒論1.1研究動機1.2MATLAB綜覽1.3建構主義第二章數值實驗室2.1特色2.2內容與結構:分成九章,共25個主題2.3遭遇到的困難第三章軟體展示1.牛頓法求單變數方程式之根2.Beziercurve之tracingpoint3.CompositeSimpson’sintegration4.四次AdamsBashforth:不穩定現象5.1-Norm與eigenvalue,eigenvector6.Stepfunction之離散傅氏級數逼近7.Steepestdescent8.Shootingmethod解ODEBVP第四章結論本數值實驗室配合數值方法與分析課程作為學生之輔助教材，雖沒有經過正式統計分析，但大致可觀察出學生之學習興趣有所提升。未來希望能提供給國內外大專院校數值方法與分析課程當做輔助教材，及進一步調查與分析提升學習的效果如何，以玆下一版本改進之用。此外，本軟體除開放予外界試用，以搜集反應外，尚希望學界對此有興趣者，能提供素材及意見，一起投入研發本軟體之後續版本。此乃鑑於國內CAI軟體發展者，往往單打獨鬥，無法群策群力。以致功能類似的小軟體林立，而又無法繼續成長茁壯，甚是可惜，以致國內CAI軟體市場為國外產品所宰制。再者目前網路非常發達，未來希望透過網路CGI功能來連結執行數值實驗室，或者研發本軟體之Java版本，以嘉惠有心上網的學習者。注意事項NumericalLabToolBox只適用於MATLAB5,其中有些主題需要SymbolicMathToolBox.研究動機(一)在有限的教學時間內,初學者無法領會數值方法與分析中眾多的內容.一般教科書不是偏重理論分析缺乏範例,就是附上一些靜態的圖片加上文字敘述,初學者不易掌握其中精髓.學生有時需撰寫程式實習之,使得拙於程式語言習作的學生興趣缺缺.依據電腦輔助教學原理(CAI)與建構主義(constructivism)之教育理念,設計一MATLAB工具箱軟體-數值實驗室(NumericalLabToolbox).放棄以FORTRAN或C++語言,改採數值導向數學軟體中的MATLAB做為設計及執行平台,亦即本軟體以一MATLAB工具箱形式呈現.採用MATLAB設計之原因:可應付一切設計上的需要.MATLAB語言撰寫十分人性化與容易.MATLAB有廣大的使用群.具有符號運算能力.價格一般大專院校均可負擔.圖形使用者介面(GUI)設計特別容易.研究動機(二)MATLAB之特色1.數值計算與繪圖功能強大.2.高階、簡單的直譯式程式環境.3.開放及可延伸的架構.4.豐富的程式工具箱.5.市場佔有率大.6.方便使用之內建編輯器Meditor.7.圖形使用者介面設計簡便.8.可轉成MEX檔(MATLAB),DLL檔(VB,EXCEL,DELPHI),EXE檔(C++).9.與文字處理軟體溝通容易.10.平行化.11.化.建構主義理論:解釋知識是什麼和學習是什麼.主張:學習者由被動接受知識轉為主動建構知識.傳統觀念與建構觀念之比較.建構論的教學策略:以學生為主的教學活動.傳統觀念與建構觀念之比較傳統觀念建構觀念學生如白紙學生非白紙，已有很多知識與經驗學習是被動吸收知識學習是主動建構知識學習是在儲存真理和發現真理認知在適應，不是在發現真理知識的意義在文字或言語之中知識的意義是社會互動所達成的共識教學在講解知識或真理教學在促進學習者知識的建構數值實驗室之特色1.提供個別化學習環境.2.提供教師動態與互動地展示數值方法及分析之原理與結果.3.提供不受人性干擾的學習環境.4.具有趣味性與參考性.5.提供反覆、多樣性地實驗數值方法的環境.數值實驗室之內容與結構(一)軟體外觀數值實驗室之內容與結構(二)第一章數值方法與分析之數學預備知識1.捨入誤差的影響第二章單變數方程式的解1.二分法(bisectionmethod)2.固定點迭代法(fixedpointiteration)3.牛頓法(Newton-Raphsonmethod)4.正割法(secantmethod)5.試位法(methodoffalseposition)6.Logisticmap第三章內插法與多項式逼近法1.拉格朗吉(Lagrange)多項式內插法2.用多項式或分段多項式做函數內插3.單調遞增離散數據點之內插4.離散數據點之參數化內插或逼近第四章數值微分和積分1.有限差分數值微分的不穩定性2.基本數值積分方法3.複合數值積分法(compositenumericalintegration)數值實驗室之內容與結構(三)4.調適數值積分法(adaptivequadrature)5.高斯積分法(Gaussianquadrature)第五章常微分方程之初值問題1.解常微分方程之初值問題2.解常微分方程組之初值問題第六章數值線性代數1.向量和矩陣之範數(norm)2.Gerschgorin圓定理數值實驗室之內容與結構(四)第七章逼近理論1.最小平方法2.正交多項式和傅氏級數第八章非線性方程組之數值解1.非線性方程組織數值解2.最速下降法(steepestdescenttechniques)第九章常微分方程之邊界值問題1.利用射擊法(shootingmethod)、有限差分法解常微分方程之邊界問題數值實驗室之內容與結構(五)數值實驗室設計遭遇之困難1.MATLABzoom功能改良2.微分方程式初值問題的數值方法中相關的A-穩定區域(A-stabilityregion)3.Bezier曲線之tracingpoint4.方向場(directionfield)5.MATLABginput功能改良MATLABzoom功能改良MATLABzoom會清掉圖形物件屬性中erasemode是xor去掉.當圖形放大時,函數圖形會隨之喪失解析度而變得不夠精確.設計myzoom.m以解決上述問題.A-穩定區域(A-stabilityregion)微分方程初值問題之數值方法中，穩定性是一重要課題，吾人需研究每種方法之A-穩定區域。–如Runge-Kuttamethod之A-穩定區域。利用MATLAB可輕易計算並繪出A-穩定區域，這在其他軟體環境下可能相當困難。Runge-Kuttamethod之A-穩定區域Bezier曲線Bezier曲線之tracingpointBezier曲線亦可由tracingpoint來表達，當選定參數時，利用每一邊的比為選取中間點再連成線段，如此重覆進行即可得到在Bezier曲線上之tracingpoint。以4個控制點即3次之Bezier曲線,t=0.4為例,如下圖。當從0變化至1，其tracingpoint即可描述出整條Bezier曲線，此tracingpoint之原理與演算法係根據deCasteljau’salgorithm方向場(directionfield)(一)利用MATLAB中的quiver，使我們能夠畫出解微分方程初值問題中函數的方向場，以便對照數值解的軌跡方向是否符合方向場所指示的方向。下圖為dy/dx=y-x^2+1之方向場:方向場(directionfield)(二)