椭圆的顶点是它与坐标轴的交点

2.1椭圆理解教材新知把握热点考向应用创新演练第二章圆锥曲线与方程考点一考点二考点三2.1.2椭圆的简单几何性质第一课时椭圆的简单几何性质图中椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)．问题1：椭圆具有对称性吗？提示：有，椭圆是以原点为对称中心的中心对称图形，也是以x轴，y轴为对称轴的轴对称图形．问题2：可以求出椭圆与坐标轴的交点坐标吗？提示：可以，令y＝0得x＝±a，故A1(－a,0)，A2(a,0)，同理可得B1(0，－b)，B2(0，b)．问题3：椭圆方程中x，y的取值范围是什么？提示：x∈[－a，a]，y∈[－b，b]．问题4：当a的值不变，b逐渐变小时，椭圆的形状有何变化？提示：b越小，椭圆越扁．（1）椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程范围x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)－a≤x≤a且－b≤y≤b－b≤x≤b且－a≤y≤a焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上顶点轴长短轴长＝，长轴长＝焦点焦距|F1F2|＝A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)2c2b2a焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上对称性对称轴，对称中心离心率e＝x轴和y轴(0,0)(2)当椭圆的离心率越1，则椭圆越扁；当的椭圆离心率越0，则椭圆越接近于圆．接近于1接近于0ca(0e1)1．椭圆的范围从图形上看非常直观，就是椭圆上点的横坐标、纵坐标的取值范围．利用椭圆的范围可解决有关求范围或最值问题．设P(x，y)为椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)上任意一点，由图形易知当x＝0时，|OP|取得最小值b，此时P位于椭圆短轴端点处；当x＝±a时，|OP|取得最大值a，这时P位于长轴端点处．2．椭圆的顶点是它与坐标轴的交点，所以必有两个顶点与焦点在同一条直线上，且这两个顶点对应的线段为椭圆的长轴，因此椭圆的长轴恒在焦点所在的坐标轴上．3．椭圆中的基本关系：①焦点、中心和短轴端点连线构成直角三角形，三边满足a2＝b2＋c2；②焦点到长轴邻近顶点的距离为a－c(又称近地距离)，到长轴另一顶点的距离为a＋c(常称为远地距离)．[例1]求椭圆4x2＋9y2＝36的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率．[思路点拨]化为标准方程，确定焦点的位置及a，b，c的值，再研究相应几何性质．[精解详析]将椭圆方程变形为x29＋y24＝1，∴a＝3，b＝2，∴c＝a2－b2＝9－4＝5.∴椭圆的长轴长和焦距分别为2a＝6,2c＝25，焦点坐标为F1(－5，0)，F2(5，0)，顶点坐标为A1(－3,0)，A2(3,0)，B1(0，－2)，B2(0,2)，离心率e＝ca＝53.[一点通]已知椭圆的方程讨论其性质时，应先将方程化成标准形式，不确定的要分类讨论，找准a与b，才能正确地写出焦点坐标、顶点坐标等．1．若椭圆x2a2＋y2＝1的焦点在x轴上，长轴长是短轴长的两倍，则椭圆的离心率为()A.32B.12C.22D.52解析：由椭圆方程知长轴长为2a，短轴长为2，∴2a＝2×2＝4，∴a＝2，∴c＝22－12＝3，∴e＝ca＝32.答案：A2．已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m0)的离心率e＝32，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．解：椭圆方程可化为x2m＋y2mm＋3＝1.∵m－mm＋3＝mm＋2m＋30，∴mmm＋3，即a2＝m，b2＝mm＋3，c＝a2－b2＝mm＋2m＋3.由e＝32得m＋2m＋3＝32，∴m＝1.∴椭圆的标准方程为x2＋y214＝1.∴a＝1，b＝12，c＝32.∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1；两焦点分别为F1(－32，0)，F2(32，0)；四个顶点分别为A1(－1,0)，A2(1,0)，B1(0，－12)，B2(0，12).[例2]求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)长轴长是10，离心率是45；(2)在x轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.[思路点拨]解答本题可先由已知信息判断焦点所在坐标轴并设出标准方程，再利用待定系数法求参数a，b，c.[精解详析](1)设椭圆的方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)或y2a2＋x2b2＝1(ab0)．由已知得2a＝10，a＝5.e＝ca＝45，∴c＝4.∴b2＝a2－c2＝25－16＝9.∴椭圆的标准方程为x225＋y29＝1或x29＋y225＝1.(2)依题意可设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)．如图所示，△A1FA2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，∴c＝b＝3，∴a2＝b2＋c2＝18，故所求标准椭圆的方程为x218＋y29＝1.[一点通]利用性质求椭圆的标准方程，通常采用待定系数法．其关键是根据已知条件确定其标准方程的形式并列出关于参数的关系式，利用解方程(组)求得参数．3．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，且长轴长为12，离心率为13，则椭圆的方程是()A.x2144＋y2128＝1B.x236＋y220＝1C.x232＋y236＝1D.x236＋y232＝1解析：由题意2a＝12，∴a＝6.又e＝ca＝13，∴c＝2，∴b2＝62－22＝32，∴椭圆方程是x236＋y232＝1.答案：D4．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦距，且离心率为55；(2)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－4)．解：(1)将方程4x2＋9y2＝36化为x29＋y24＝1，可得椭圆焦距为2c＝25.又因为离心率e＝55，即55＝5a，所以a＝5，从而b2＝a2－c2＝25－5＝20.若椭圆焦点在x轴上，则其标准方程为x225＋y220＝1；若椭圆焦点在y轴上，则其标准方程为y225＋x220＝1.(2)依题意2a＝2·2b，即a＝2b.若椭圆焦点在x轴上，设其方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，则有a＝2b，4a2＋16b2＝1.解得a2＝68，b2＝17，所以椭圆标准方程为x268＋y217＝1；若椭圆焦点在y轴上，设其方程为y2a2＋x2b2＝1(ab0)，则有a＝2b，16a2＋4b2＝1，解得a2＝32，b2＝8.所以椭圆标准方程为x28＋y232＝1.[例3]如图所示，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，M为椭圆上一点，且MF2⊥F1F2，∠MF1F2＝30°.试求椭圆的离心率．[思路点拨]通过已知条件MF2⊥F1F2，∠MF1F2＝30°，得到Rt△MF1F2中边的关系，结合椭圆的定义建立参数a，b，c之间的关系，进而求出椭圆的离心率．[精解详析]设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为a，b，c.因为MF2⊥F1F2，所以△MF1F2为直角三角形．又∠MF1F2＝30°，所以|MF1|＝2|MF2|，|F1F2|＝32|MF1|.而由椭圆定义知|MF1|＋|MF2|＝2a，因此|MF1|＝4a3，|MF2|＝2a3，∴2c＝32×4a3，即ca＝33，即椭圆的离心率是33.[一点通]求离心率的值或取值范围是一类重要问题，解决这类问题通常有两种办法：(1)直接求出a和c的值，套用公式e＝ca求得离心率；(2)根据题目条件提供的几何关系，建立参数a，b，c之间的关系式，结合椭圆定义以及a2＝b2＋c2等，消去b，得到a和c之间的关系，从而求得离心率的值或范围．5．（2012·江西高考）椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1，F2.若|AF1|，|F1F2|，||F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为()A.14B.55C.12D.5-2解析：依题意得|F1F2|2＝|AF1|·|F1B|，即4c2＝(a－c)(a＋c)＝a2－c2，整理得5c2＝a2，∴e＝ca＝55.答案：B6．设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线与椭圆相交，其中的一个交点为P．若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________．解析：由题意知PF2⊥F1F2，且△F1PF2为等腰直角三角形，所以|PF2|＝|F1F2|＝2c，|PF1|＝2·2c，从而2a＝|PF1|＋|PF2|＝2c(2＋1)，所以e＝2c2a＝12＋1＝2－1.答案：2－11．已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式，应先化成标准形式．2．根据椭圆的几何性质，可以求椭圆的标准方程，其基本思路是“先定型，再定量”，常用的方法是待定系数法．在椭圆的基本量中，能确定类型的量有焦点、顶点，而不能确定类型的量有长轴长、短轴长、离心率e、焦距．3．求椭圆的离心率要注意函数与方程的思想、数形结合思想的应用．点击下图进入