1、如图,直线y=kx+b与椭圆xy2214交于A、B两点,记△AOB的面积为S.(1)求在k=0,0<b<1的条件下,S的最大值;(2)当|AB|=2,S=1时,求直线AB的方程.yxOAB1、解:(1)设点A的坐标为1(,)xb,点B的坐标为2(,)xb,由2214xy,解得21,221xb所以222121||21112Sbxxbbbb当且仅当22b时,S取到最大值1.1、解:(1)由2214ykxbxy得222(41)8440kxkbxb2216(41)kb①|AB|=2121||kxx222216(41)1241kbkk②又因为O到AB的距离2||21||1bSdABk所以221bk③③代入②并整理,得424410kk解得,2213,22kb,代入①式检验,△>0故直线AB的方程是2622yx或2622yx或2622yx或2622yx.2、设椭圆22221(0)xyabab的左、右焦点分别为12FFA,,是椭圆上的一点,212AFFF,原点O到直线1AF的距离为113OF.(1)证明2ab;(2)求(0)tb,使得下述命题成立:设圆222xyt上任意点00()Mxy,处的切线交椭圆于1Q,2Q两点,则12OQOQ.3、求F1、F2分别是椭圆2214xy的左、右焦点.(1)若r是第一象限内该数轴上的一点,221254PFPF,求点P的作标;(2)设过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于同的两点A、B,且∠ADB为锐角(其中O为作标原点),求直线l的斜率k的取值范围.4、设1F、2F分别是椭圆1422yx的左、右焦点.(1)若P是该椭圆上的一个动点,求1PF·2PF的最大值和最小值;(2)设过定点)2,0(M的直线l与椭圆交于不同的两点A、B,且∠AOB为锐角(其中O为坐标原点),求直线l的斜率k的取值范围.5、如图,中心在原点O的椭圆的右焦点为F(3,0),右准线l的方程为:x=12。(1)求椭圆的方程;(2)在椭圆上任取三个不同点321,,PPP,使133221FPPFPPFPP,证明:||1||1||1321FPFPFP为定值,并求此定值。6、设1F、2F分别是椭圆1422yx的左、右焦点.(1)若P是该椭圆上的一个动点,求1PF·2PF的最大值和最小值;(2)设过定点)2,0(M的直线l与椭圆交于不同的两点A、B,且∠AOB为锐角(其中O为坐标原点),求直线l的斜率k的取值范围.6、已知椭圆C:2222byax=1(a>b>0)的离心率为36,短轴一个端点到右焦点的距离为3.(1)求椭圆C的方程;(2)设直线l与椭圆C交于A、B两点,坐标原点O到直线l的距离为23,求△AOB面积.7、已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3,最小值为1.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若直线:lykxm与椭圆C相交于A,B两点(AB,不是左右顶点),且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点,求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标.8、已知椭圆22132xy的左、右焦点分别为1F,2F.过1F的直线交椭圆于BD,两点,过2F的直线交椭圆于AC,两点,且ACBD,垂足为P.(1)设P点的坐标为00()xy,,证明:2200132xy;(2)求四边形ABCD的面积的最小值.9、在平面直角坐标系xOy中,经过点(02),且斜率为k的直线l与椭圆2212xy有两个不同的交点P和Q.(1)求k的取值范围;(2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为AB,,是否存在常数k,使得向量OPOQ与AB共线?如果存在,求k值;如果不存在,请说明理由.10、设椭圆2212516xy上一点P到左准线的距离为10,F是该椭圆的左焦点,若点M满足1()2OMOPDF,则||OM=.11、设椭圆22221(0)xyabab的离心率为1e2,右焦点为(0)Fc,,方程20axbxc的两个实根分别为1x和2x,则点12()Pxx,()A.必在圆222xy内B.必在圆222xy上C.必在圆222xy外D.以上三种情形都有可能12、在平面直角坐标系xoy中,已知圆心在第二象限、半径为22的圆C与直线yx相切于坐标原点O.椭圆22219xya与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10.(1)求圆C的方程;(2)试探究圆C上是否存在异于原点的点Q,使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长.若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.13、椭圆22221(0)xyabab的焦点为1F,2F,两条准线与x轴的交点分别为MN,,若12MNFF≤,则该椭圆离心率的取值范围是()A.102,B.202,C.112,D.212,
本文标题:椭圆综合应用 2
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