1第一章、因数和倍数1、整除:被除数、除数和商都是自然数,并且没有余数。整数与自然数的关系:整数包括自然数。2、因数、倍数:大数能被小数整除时,大数是小数的倍数,小数是大数的因数。例:12是6的倍数,6是12的因数。(1)数a能被b整除,那么a就是b的倍数,b就是a的因数。因数和倍数是相互依存的,不能单独存在。(2)一个数的因数的个数是有限的,其中最小的因数是1,最大的因数是它本身。一个数的因数的求法:成对地按顺序找。(3)一个数的倍数的个数是无限的,最小的倍数是它本身。一个数的倍数的求法:依次乘以自然数。(4)2、3、5的倍数特征1)个位上是0,2,4,6,8的数都是2的倍数。2)一个数各位..上的数的和是3的倍数,这个数就是3的倍数。3)个位上是0或5的数,是5的倍数。4)能同时被2、3、5整除(也就是2、3、5的倍数)的最大的两位数是90,最小的三位数是120。同时满足2、3、5的倍数,实际是求2×3×5=30的倍数。5)如果一个数同时是2和5的倍数,那它的个位上的数字一定是0。3、完全数:除了它本身以外所有的因数的和等于它本身的数叫做完全数。如:6的因数有:1、2、3(6除外),刚好1+2+3=6,所以6是完全数,小的完全数有6、28等4:自然数按能不能被2整除来分:奇数、偶数。奇数:不能被2整除的数。叫奇数。也就是个位上是1、3、5、7、9的数。偶数:能被2整除的数叫偶数(0也是偶数),也就是个位上是0、2、4、6、8的数。最小的奇数是1,最小的偶数是0.2关系:奇数+偶数=奇数奇数+奇数=偶数偶数+偶数=偶数。奇数-偶数=奇数奇数-奇数=偶数偶数-偶数=偶数5、自然数按因数的个数来分:质数、合数、1、0四类.质数(或素数):只有1和它本身两个因数。合数:除了1和它本身还有别的因数(至少有三个因数:1、它本身、别的因数)。1:只有1个因数。“1”既不是质数,也不是合数。0:最小的质数是2,最小的合数是4,连续的两个质数是2、3。每个合数都可以由几个质数相乘得到,质数相乘一定得合数。20以内的质数:有8个(2、3、5、7、11、13、17、19)100以内的质数有25个:2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97100以内找质数、合数的技巧:看是否是2、3、5、7、11、13…的倍数,是的就是合数,不是的就是质数。关系:奇数×奇数=奇数质数×质数=合数6、最大、最小A的最小因数是:1;最小的奇数是:1;A的最大因数是:A;最小的偶数是:0;A的最小倍数是:A;最小的质数是:2;最小的自然数是:0;最小的合数是:4;7、分解质因数:把一个合数分解成多个质数相乘的形式。用短除法...分解质因数(一个合数写成几个质数相乘的形式)。比如:30分解质因数是:(30=2×3×5)8、互质数:公因数只有1的两个数,叫做互质数。两个质数的互质数:5和7两个合数的互质数:8和9一质一合的互质数:7和8两数互质的特殊情况:3⑴1和任何自然数互质;⑵相邻两个自然数互质;⑶两个质数一定互质;⑷2和所有奇数互质;⑸质数与比它小的合数互质;9、公因数、最大公因数几个数公有的因数叫这些数的公因数。其中最大的那个就叫它们的最大公因数。用短除法求两个数或三个数的最大公因数(除到互质为止,把所有的除数连乘起来)几个数的公因数只有1,就说这几个数互质。如果两数是倍数关系时,那么较小的数就是它们的最大公因数,较大的那个数就是它的最小公倍数。如果两数互质时,那么1就是它们的最大公因数。10、公倍数、最小公倍数几个数公有的倍数叫这些数的公倍数。其中最小的那个就叫它们的最小公倍数。用短除法求两个数的最小公倍数(除到互质为止,把所有的除数和商连乘起来)用短除法求三个数的最小公倍数(除到两两互质为止,把所有的除数和商连乘起来)如果两数是倍数关系时,那么较大的数就是它们的最小公倍数。如果两数互质时,那么它们的积就是它们的最小公倍数。11、求最大公因数和最小公倍数方法用12和16来举例1、求法一:(列举求同法)最大公因数的求法:12的因数有:1、12、2、6、3、416的因数有:1、16、2、8、4最大公因数是4最小公倍数的求法:12的倍数有:12、24、36、48、…16的倍数有:16、32、48、…最小公倍数是482、求法二:(分解质因数法)12=2×2×316=2×2×2×24最大公因数是:2×2=4(相同乘)最小公倍数是:2×2×3×2×2=48(相同乘×不同乘)二分数的意义和性质1、分数的意义:一个物体、一物体等都可以看作一个整体,把这个整体平均分成若干份,这样的一份或几份都可以用分数来表示。2、单位“1”:一个整体可以用自然数1来表示,通常把它叫做单位“1”。(也就是把什么平均分什么就是单位“1”。)3、分数单位:把单位“1”平均分成若干份,表示其中一份的数叫做分数单位。如54的分数单位是51。4、分数与除法A÷B=BA(B≠0,除数不能为0,分母也不能够为0)例如:4÷5=545、真分数和假分数、带分数1、真分数:分子比分母小的分数叫真分数。真分数1。2、假分数:分子大于或等于分母的分数叫假分数。假分数≧13、带分数:带分数由整数和真分数组成的分数。带分数>1。6、真分数<1≤假分数真分数<1<带分数7、假分数与整数、带分数的互化(1)假分数化为整数或带分数,用分子÷分母,商作为整数,余数作为分子,如:510=10÷5=2521=21÷5=451(2)整数化为假分数,用整数乘以分母得分子如:2=48)(2×4=8(8作分子)(3)带分数化为假分数,用整数乘以分母加分子,得数就是假分数的分子,分母不变,如:551=526)(5×5+1=26(4)1等于任何分子和分母相同的分数。如:1=22=33=44=55=…=100100=…8、分数的基本性质:5分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数(0除外),分数的大小不变。9、最简分数:分数的分子和分母只有公因数1,像这样的分数叫做最简分数。一个最简分数,如果分母中除了2和5以外,不含其他的质因数,就能够化成有限小数。反之则不可以。10、约分:把一个分数化成和它相等,但分子和分母都比较小的分数,叫做约分。如:3024=5411、通分:把异分母分数分别化成和原来相等的同分母分数,叫做通分。如:52和41可以化成208和20512、分数和小数的互化(1)小数化为分数:数小数位数。一位小数,分母是10;两位小数,分母是100……如:0.3=1030.03=10030.003=10003(2)分数化为小数:方法一:把分数化为分母是10、100、1000……如:103=0.353=106=0.641=10025=0.25方法二:用分子÷分母如:43=3÷4=0.75(3)带分数化为小数:先把整数后的分数化为小数,再加上整数如:2103=2+0.3=2.313、比分数的大小:分母相同,分子大,分数就大;分子相同,分母小的,分数大。分数比较大小的一般方法:同分子比较;通分后比较;化成小数比较。14、分数化简包括两步:一是约分;二是把假分数化成整数或带分数。21=0.541=0.2543=0.7551=0.252=0.453=0.654=0.881=0.12583=0.37585=0.62587=0.875201=0.05251=0.04。15、两个数互质的特殊判断方法:①1和任何大于1的自然数互质。6②2和任何奇数都是互质数。③相邻的两个自然数是互质数。④相邻的两个奇数互质。⑤不相同的两个质数互质。⑥当一个数是合数,另一个数是质数时(除了合数是质数的倍数情况下),一般情况下这两个数也都是互质数。16、求最大公因数的方法:①倍数关系:最大公因数就是较小数。②互质关系:最大公因数就是1③一般关系:从大到小看较小数的因数是否是较大数的因数。17、分数知识小结:(1)分数的意义:把单位“1”平均分为几份表示其中的一份或几份。(如:把一根绳子平均分为5份,其中的一份就是五分之一,两份就是五分之二。)(2)分数与除法:分子(被除数),分母(除数),分数值(商)。(4)带分数:由整数和真分数组成,带分数一定是假分数。(5)假分数化带分数、整数(分子除以分母,商作整数部分,余数作分子)(6)分数的基本性质:分数的分子、分母同时扩大或缩小相同的倍数,分数的大小不变。(7)最简分数分子分母互质的分数(最简真分数、最简假分数)(8)通分:根据分数的基本性质,把几个异分母分数化成与原来分数相等的同分母的分数的过程,叫做通分。通分的方法:1、先求出原来几个分数的分母的最简公分母;2.根据分数的基本性质,把原来分数化成以最简公分母为分母的分数。【约分】是对一个分数而言的,求出分子分母的最大公约数,然后分子分母【同除】这个最大公约数,约简得到相等的新分数,这个新分数,这个最简分数分子分母必须是互质。7三长方体和正方体1、由6个长方形(特殊情况有两个相对的面是正方形)围成的立体图形叫做长方体。两个面相交的边叫做棱。三条棱相交的点叫做顶点。相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。长方体特点:(1)有6个面,8个顶点,12条棱,相对的面的面积相等,相对的棱的长度相等。(2)一个长方体最多有6个面是长方形,最少有4个面是长方形,最多有2个面是正方形。2、由6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体(也叫做立方体)。正方体特点:(1)正方体有12条棱,它们的长度都相等。(2)正方体有6个面,每个面都是正方形,每个面的面积都相等。(3)正方体可以说是长、宽、高都相等的长方体,它是一种特殊的长方体。相同点不同点面棱长方体都有6个面,12条棱,8个顶点。6个面都是长方形。(有可能有两个相对的面是正方形)。相对的棱的长度都相等正方体6个面都是正方形。12条棱都相等。2、长方体、正方体有关棱长计算公式:(a:长b:宽c:高L:棱长总和S:表面积V:体积)长方体的棱长总和=(长+宽+高)×4=长×4+宽×4+高×4L=(a+b+h)×4长=棱长总和÷4-宽-高a=L÷4-b-h宽=棱长总和÷4-长-高b=L÷4-a-h高=棱长总和÷4-长-宽h=L÷4-a-b正方体的棱长总和=棱长×12L=a×12正方体的棱长=棱长总和÷12a=L÷124、长方体或正方体6个面和总面积叫做它的表面积。长方体的表面积=(长×宽+长×高+宽×高)×2S=2(ab+ah+bh)8无底(或无盖)长方体表面积=长×宽+(长×高+宽×高)×2S=2(ab+ah+bh)-abS=2(ah+bh)+ab无底又无盖长方体表面积=(长×高+宽×高)×2S=2(ah+bh)贴墙纸正方体的表面积=棱长×棱长×6S=a×a×6用字母表示:S=6a2生活实际:油箱、罐头盒等都是6个面游泳池、鱼缸等都只有5个面水管、烟囱等都只有4个面。注意1:用刀分开物体时,每分一次增加两个面。(表面积相应增加)注意2:长方体或正方体的长、宽、高同时扩大几倍,表面积会扩大倍数的平方倍。(如长、宽、高各扩大2倍,表面积就会扩大到原来的4倍)。5、物体所占空间的大小叫做物体的体积。长方体的体积=长×宽×高V=abh长=体积÷宽÷高a=V÷b÷h宽=体积÷长÷高b=V÷a÷h高=体积÷长÷宽h=V÷a÷b正方体的体积=棱长×棱长×棱长V=a×a×a=a3读作“a的立方”表示3个a相乘,(即a·a·a)长方体或正方体底面的面积叫做底面积。长方体(或正方体)的体积=底面积×高用字母表示:V=Sh(横截面积相当于底面积,长相当于高)。注意:一个长方体和一个正方体的棱长总和相等,但体积不一定相等。6、箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积,通常叫做他们的容积。固体一般就用体积单位,计量液体的体积,如水、油等。常用的容积单位有升和毫升也可以写成L和ml。1升=1立方分米1毫升=1立方厘米1升=1000毫升(1L=1dm31ml=1cm3)长方体或正方体容器容积的计算方法,跟体积的计算方法相同。但要从容器里面量长、宽、高。(所以,