§柯西不等式与排序不等式(习题课)

选修4-5王亚老师制作高中数学新课标§柯西不等式与排序不等式（习题课）第三讲柯西不等式与排序不等式1．二维形式的柯西不等式(1)定义：若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥，当且仅当ad＝bc时，等号成立．(ac＋bd)2知识回顾(2)二维形式的柯西不等式的一些跟踪演练变式1：a2＋b2·c2＋d2≥(当且仅当ad＝bc时，等号成立)变式2：(a＋b)(c＋d)≥(ac＋bd)2.(a，b，c，d∈R＋，当且仅当ad＝bc时，等号成立)变式3：a2＋b2·c2＋d2≥(当且仅当|ad|＝|bc|时，等等号成立)|ac＋bd||ac|＋|bd|2．柯西不等式的向量形式设α→，β→是两个向量，则，当且仅当β→是零向量，或存在实数k，使α→＝kβ→时，等号成立．3．二维形式的三角不等式设x1，y1，x2，y2∈R，那么x21＋y21＋x22＋y22≥.x1－x22＋y1－y22|α·β|≤|α||β|4．设平面上三点坐标为A(a1，a2)、B(b1，b2)、C(c1，c2)，则a1－b12＋a2－b22＋b1－c12＋b2－c22≥，其几何意义为：|AB|＋|BC|≥|AC|.5．设α→，β→，γ→为平面向量，则|α→－β→|＋|β→－γ→|≥|α→－γ→|，等号成立的充要条件为.a1－c12＋a2－c22α－β＝λ(β－γ)(λ＞0)6．三维形式的柯西不等式设a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R，则(a21＋a22＋a23)·(b21＋b22＋b23)≥.当且仅当时，等号成立．(a1b1＋a2b2＋a3b3)2b1＝b2＝b3＝0或存在一个数k，使得a1＝kb1，a2＝kb2，a3＝kb37．一般形式的柯西不等式设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(a21＋a22＋a23＋…＋a2n)·(b21＋b22＋b23＋…＋b2n)≥，当且仅当时，等号成立．(a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋anbn)2bi＝0(i＝1,2,3，…，n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2,3，…，n)1．顺序和、乱序和、反序和的概念设a1≤a2≤a3≤…≤an，b1≤b2≤b3≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任一排列，则称ai与bi(i＝1,2，…，n)的相同顺序相乘所得积的和为顺序和，和为乱序和，相反顺序相乘所得积的和为反序和．a1b1＋a2b2＋…＋anbna1c1＋a2c2＋…＋ancna1bn＋a2bn－1＋…＋anb1排序不等式2．排序不等式(排序原理)设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任一排列，则≤≤，当且仅当a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝…＝bn时，反序和等于顺序和，此不等式简记为≤≤顺序和．a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1a1c1＋a2c2＋…＋ancna1b1＋a2b2＋…＋anbn反序和乱序和要点一利用柯西不等式证明不等式例1已知3x2＋2y2＝6，求证：2x＋y≤11.证明由于2x＋y＝23(3x)＋12(2y)．由柯西不等式(a1b1＋a2b2)2≤(a21＋a22)(b21＋b22)得(2x＋y)2≤232＋122(3x2＋2y2)≤43＋12×6＝116×6＝11，∴|2x＋y|≤11，∴2x＋y≤11.规律方法二维形式的柯西不等式可以理解为四个数对应的一种不等关系，对谁与谁组合是有顺序的，不是任意的搭配，因此要仔细体会，加强记忆．例如，(a2＋b2)·(d2＋c2)≥(ac＋bd)2是错误的，而应有(a2＋b2)(d2＋c2)≥(ad＋bc)2.例2．已知2x＋3y＋4z＝10，则x2＋y2＋z2取到最小值时的x，y，z的值为()A.53，109，56B.2029，3029，4029C．1，12，13D．1，14，19B解由柯西不等式得(22＋32＋42)(x2＋y2＋z2)≥(2x＋3y＋4z)2，即x2＋y2＋z2≥10029.当且仅当x2＝y3＝z4时，等号成立，所以联立x2＝y3＝z4，2x＋3y＋4z＝10，可得x＝2029，y＝3029，z＝4029.规律方法在平面中设α＝(x1，y1)，β＝(x2，y2)，则α±β＝(x1±x2，y1±y2)由向量加法的三角形法则知：|α|＋|β|≥|α＋β|⇔x21＋y21＋x22＋y22≥x1＋x22＋y1＋y22，由向量减法的几何意义知：|α|＋|β|≥|α－β|⇔x21＋y21＋x22＋y22≥x1－x22＋y1－y22.要点二利用柯西不等式求函数的最值例3求函数y＝5x－1＋10－2x的最大值．解函数的定义域为{x|1≤x≤5}．y＝5x－1＋25－x≤52＋2x－1＋5－x＝27×2＝63，当且仅当55－x＝2x－1，即x＝12727时取等号，故函数的最大值为63.规律方法利用柯西不等式求最值①先变形凑成柯西不等式的结构特征，是利用柯西不等式求解的先决条件；②有些最值问题从表面上看不能利用柯西不等式，但只要适当添加上常数项或和为常数的各项，就可以应用柯西不等式来解，这也是运用柯西不等式解题的技巧；③而有些最值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目的，但在运用过程中，每运用一次前后等号成立的条件必须一致，不能自相矛盾，否则就会出现错误．多次反复运用柯西不等式的方法也是常用技巧之一．跟踪演练3设x＞0，y＞0，x＋y≤4，则1x＋1y的最小值为________．答案1解析41x＋1y≥(x＋y)1x＋1y＝[(x)2＋(y)2]·1x2＋1y2≥x·1x＋y·1y2＝(1＋1)2＝4.∴1x＋1y≥1.例4已知正数x，y，z满足x＋y＋z＝xyz，且不等式1x＋y＋1y＋z＋1z＋x≤λ恒成立，求λ的取值范围．解1x＋y＋1y＋z＋1z＋x≤12xy＋12yz＋12zx＝121×zx＋y＋z＋1×xx＋y＋z＋1×yx＋y＋z≤1212＋12＋12zx＋y＋z＋xx＋y＋z＋yx＋y＋z＝32.故λ的取值范围是32，＋∞.要点二利用三维柯西不等式求函数的最值例5已知a，b，c∈R＋且a＋b＋c＝1，求4a＋1＋4b＋1＋4c＋1的最大值．解4a＋1＋4b＋1＋4c＋1＝4a＋1·1＋4b＋1·1＋4c＋1·1≤(4a＋1＋4b＋1＋4c＋1)(12＋12＋12)＝7×3＝21.当且仅当4a＋11＝4b＋11＝4c＋11时取等号．即a＝b＝c＝13时，所求的最大值为21.要点三一般形式柯西不等式的应用例6设a1，a2，…，an为正整数，求证：a21a2＋a22a3＋…＋a2na1≥a1＋a2＋…＋an.证明由柯西不等式，得a21a2＋a22a3＋…＋a2na1(a2＋a3＋…＋a1)≥a1a2·a2＋a2a3·a3＋…＋ana1·a12＝(a1＋a2＋…＋an)2，故a21a2＋a22a3＋…＋a2na1≥a1＋a2＋…＋an.练习：已知a、b、c、d∈R＋，且a＋b＋c＋d＝1，求证：a2＋b2＋c2＋d2≥14.证明根据柯西不等式，有(a2＋b2＋c2＋d2)(12＋12＋12＋12)≥(a＋b＋c＋d)2＝1，∴a2＋b2＋c2＋d2≥14.当且仅当a＝b＝c＝d＝14时，等号成立．此时，a2＋b2＋c2＋d2取到最小值14.1．对于柯西不等式要特别注意其向量形式的几何意义，从柯西不等式的几何意义出发就得到了三角形式的柯西不等式，柯西不等式的一般形式也可以写成向量形式．2．参数配方法是由旧知识得到的新方法，注意体会此方法的数学思想．3．对于排序不等式要抓住它的本质含义：两实数序列同方向单调(同时增或同时减)时所得两两乘积之和最大，反方向单调(一增一减)时所得两两乘积之和最小，注意等号成立条件是其中一序列为常数序列．4．数学建模是数学学习中的一种新形式，它为学生提供了自己学习的空间，有助于学生了解数学在实际生活中的应用，体会数学与日常生活及其他学科的联系．课堂小结