(人教版)数学必修五：2.3《等差数列的前n项和(2)》ppt课件

成才之路·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索人教A版·必修5第二章数列成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修5数列第二章第二章数列成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修52.3等差数列的前n项和第二章第2课时等差数列前n项和公式的应用第二章2.3第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修5课堂典例探究2课时作业3课前自主预习1第二章2.3第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修5课前自主预习第二章2.3第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修5北宋时期的科学家沈括在他的著作《梦溪笔谈》一书中提出酒店里把酒瓶层层堆积，底层排成长方形，以上逐层的长、宽各减少一个，共堆n层，堆成棱台的形状，沈括给出了一个计算方法——“隙积术”求酒瓶总数，沈括的这一研究，构成了其后二三百年关于垛积问题研究的开端.第二章2.3第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修5等差数列{an}的前n项和Sn＝na1＋nn－12d＝d2n2＋(a1－d2)n，令d2＝A，a1－d2＝B，则得Sn＝________.[答案]An2＋Bn第二章2.3第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修51.等差数列的前n项和公式与二次函数的关系将公式Sn＝na1＋nn－1d2变形，得Sn＝d2n2＋(a1－d2)n，故当d≠0时，Sn是关于n的一个二次函数，它的图象是抛物线y＝d2x2＋(a1－d2)x上横坐标为正整数的一群孤立的点.第二章2.3第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修5区别联系Sn定义域为N*(或其有限子集)图象是一系列孤立的点f(x)定义域为R图象是一条光滑的抛物线(1)解析式都是二次式；(2)Sn的图象是抛物线y＝f(x)上的一系列点第二章2.3第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修5利用上述关系可解决等差数列的前n项和Sn的最大值或最小值的问题．一方面，前n项和Sn是n的二次函数，即Sn＝An2＋Bn(A≠0)．利用二次函数的相关知识及图象可求其最值；另一方面要注意这是数列，有它的特殊性，即n∈N*，因此并不一定是n＝－B2A时，Sn达到最大(或最小)，而是当－B2A∈N*时，n＝－B2A；而当－B2A∉N*时，n取与－B2A最接近的正整数即可．第二章2.3第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修5设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n等于()A．6B．7C．8D．9[答案]A第二章2.3第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修5[解析]设等差数列的公差为d，∵a4＋a6＝－6，得2a5＝－6，∴a5＝－3.又∵a1＝－11，∴－3＝－11＋4d，∴d＝2.∴Sn＝－11n＋nn－12×2＝n2－12n＝(n－6)2－36，故当n＝6时，Sn取得最小值，故选A．第二章2.3第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修52．等差数列前n项和最值的求法(1)通项法①当a10，d0时，{an}只有前面的有限项为非负数；从某项开始其余所有项均为负数，所以由am≥0，am＋1≤0可得Sn的最大值为Sm.②当a10，d0时，{an}只有前面的有限项为非正数，从某项开始其余所有项均为正数，所以由am≤0，am＋1≥0可得Sn的最小值为Sm.第二章2.3第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修5(2)二次函数法由于Sn＝d2n2＋(a1－d2)n(d≠0)是关于n的二次函数式，因此可利用配方法求出二次函数的最值来确定Sn的最值，但应注意n∈N*.第二章2.3第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修5在等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9，试求其前n项和Sn的最大值．[解析]解法一：由S17＝S9，得25×17＋172×(17－1)d＝25×9＋92×(9－1)d，解得d＝－2.∴Sn＝25n＋12n(n－1)·(－2)＝－(n－13)2＋169，∴当n＝13时，Sn有最大值169.第二章2.3第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修5解法二：先求出d＝－2(同解法一)．∵a1＝250，由an＝25－2n－1≥0an＋1＝25－2n≤0，得1212≤n≤1312，∴当n＝13时，Sn有最大值．第二章2.3第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修53．裂项(拆项)相消法求和把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相抵消，于是前n项和变成首尾若干项之和，这一求和方法称为裂项相消法．例如，若数列{an}的通项公式an＝1nn＋1＝1n－1n＋1，则Sn＝1－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1＝1－1n＋1＝nn＋1.第二章2.3第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修5常见的裂项有：1nn＋1＝1n－1n＋1；12n－12n＋1＝12(12n－1－12n＋1)；1n＋1＋n＝n＋1－n等．第二章2.3第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修5若数列{an}为等差数列，且an≠0，怎样求数列{1anan＋1}的前n项和Sn?[解析]因为1anan＋1＝1d(1an－1an＋1)，所以Sn＝1d(1a1－1a2)＋1d(1a2－1a3)＋…＋1d(1an－1an＋1)＝1d(1a1－1an＋1)．第二章2.3第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修5课堂典例探究第二章2.3第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修5等差数列的最值问题等差数列{an}中，a10，S9＝S12，该数列前多少项的和最小？[解析]解法一：设等差数列{an}的公差为d，则由题意得9a1＋12×9×8·d＝12a1＋12×12×11·d∴a1＝－10d，第二章2.3第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修5∵a10，∴d0，∴Sn＝na1＋12n(n－1)d＝12dn2－212dn＝d2n－2122－4418D．∵d0，∴Sn有最小值．又∵n∈N*，∴n＝10或n＝11时，Sn取最小值．第二章2.3第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修5解法二：同解法一，由S9＝S12得a1＝－10d，设an＝a1＋n－1d≤0an＋1＝a1＋nd≥0，∴－10d＋n－1d≤0－10d＋nd≥0，∵a10，∴d0，解得10≤n≤11.∴n取10或11时，Sn取最小值．解法三：∵S9＝S12，∴a10＋a11＋a12＝0，∴3a11＝0，∴a11＝0.∵a10，∴前10项或前11项和最小．第二章2.3第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修5[方法总结]解法一利用等差数列前n项和Sn是n的二次函数(公差d≠0时)，通过二次函数求最值的方法求解；解法二利用等差数列的性质由a10及S9＝S12知d0，从而数列中必存在一项an≤0且an＋10以找出正负项的分界点；解法三利用S9＝S12及等差数列的性质．要注意体会各种解法的着眼点，总结规律．第二章2.3第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修5已知等差数列{an}的前n项和为Sn,7a5＋5a9＝0，且a9a5，则Sn取得最小值时n的值为()A．5B．6C．7D．8[答案]B第二章2.3第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修5[解析]由7a5＋5a9＝0，得a1d＝－173.又a9a5，所以d0，a10.因为函数y＝d2x2＋(a1－d2)x的图象的对称轴为x＝12－a1d＝12＋173＝376，取最接近的整数6，故Sn取得最小值时n的值为6.第二章2.3第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修5裂项求和求数列{12n＋12n＋3}的前n项和．[分析]通项的分母是两项的积，且这两项相差2，所以可将其拆分为两项之差，即12n＋12n＋3＝12(12n＋1－12n＋3)．[解析]an＝12n＋12n＋3＝12(12n＋1－12n＋3)，∴Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝12[(13－15)＋(15－17)＋…＋(12n＋1－12n＋3)]＝12(13－12n＋3)＝n6n＋9.第二章2.3第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修5[方法总结]形如：1an＋bcn＋d的式子，若可拆分为Aan＋b－Bcn＋d的形式，一般可用此法进行求解．第二章2.3第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修5已知正数数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的正整数n满足2Sn＝an＋1.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝1an·an＋1，求数列{bn}的前n项和Bn.第二章2.3第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修5[解析](1)∵对任意的正整数n,2Sn＝an＋1①恒成立，当n＝1时，2a1＝a1＋1，即(a1－1)2＝0，∴a1＝1.当n≥2时，有2Sn－1＝an－1＋1.②①2－②2得4an＝a2n－a2n－1＋2an－2an－1，即(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0.∵an0，∴an＋an－10，∴an－an－1＝2，∴数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.第二章2.3第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修5(2)∵an＝2n－1，∴bn＝12n－12n＋1＝1212n－1－12n＋1，∴Bn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝121－13＋1213－15＋1215－17＋…＋1212n－1－12n＋1＝121－12n＋1＝n2n＋1.第二章2.3第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修5含绝对值的数列的前n项和在等差数列{an}中，a1＝－60，a17＝－12，求数列{|an|}的前n项和．[分析]本题实际上是求数列{an}的前n项的绝对值之和，由绝对值的意义，要求我们应首先分清这个数列中的那些项是负的，哪些项非负的．由已知，数列{an}是首项为负数的递增数列，因此应先求出这个数列从首项起共有哪些项是负数，然后再分段求出前n项的绝对值之和．第二章2.3第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修5[解析]等差数列{an}的公差d＝a17－a117－1＝－12－－6016＝3，∴an＝a1＋(n－1)d＝－60＋(n－1)×3＝3n－63.由an0，得3n－630，即n21.∴数列{an}的前20项是负数，第21项及以后的项都为非负数．设Sn，S′n分别表示数列{an}和{|an|}的前n项之和，当n≤20时，S′n＝－Sn＝－[－60n＋nn－12×3]＝－32n2＋1232n；第二章2.3第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修5当n20时，S′n＝－S20＋(Sn－S20)＝Sn－2S20＝－60n＋nn－12×3－2×(－60×20＋20×192×3)＝32n2－1232n＋1260.∴数列{|an|}的前n项和S′n＝－32n2＋1232nn≤2032n2－1232n＋1260n20.第二章2.3第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修5已知{an}为等差数列，an＝10－3n，求|a1|＋|a2|＋…＋|an|.[解析]由题意，知a1＝10－3×1＝7，由于