第二节对坐标的曲线积分案例

BAL:常力沿直线所作的功分割,0MAABFWjyxQiyxPyxF),(),(),(jyixMMiiii)()(1),,(,),,(111111nnnyxMyxMBMnOxyAB0M2M1nM1MnM1iML),(iiFixiyiM问题11.2:变力沿曲线所作的功11.2对坐标的曲线积分11.2.1对坐标的曲线积分的概念与性质求和niiiiiiiyQxP1]),(),([取极限niiiiiiiyQxP1]),(),([niiWW1iW取近似取jQiPFiiiiii),(),(),(iiiiMMF1),(iiiiiiiyQxPW),(),(即近似值精确值W0lim),(iiFOxyAB0M2M1nM1MnM1iMLixiyiMjyixMMiiii)()(1或niiiiniiiiyQxPW1010),(lim),(lim定义11.2设L为xOy面内从点A到点B的一条有向光滑用L上的点把L分成n个有向小弧段).,,2,1(1niMMii,,11iiiiiiyyyxxx设曲线弧,在L上有界.),(),,(yxQyxP函数iiiiMM1),(为点上任意取定的点.如果当各小段长度的最大值,0时BMyxMyxMMAnnnn),,(,),,(,1111110iiniixP),(1的极限总存在,记作则称此极限为函数),(yxP在有向曲线弧L上对坐标x的曲线积分,或称第二型曲线积分.,d),(LxyxPLxyxPd),(即类似地定义LyyxQd),(称),(yxQ在有向曲线弧L上对坐标y的曲线积分.积分弧段被积函数iiniixP),(lim10iiniiyQ),(lim10在应用中常出现组合形式LLyyxQxyxPd),(d),(LyyxQxyxPd),(d),(其中LsAd)d,d(dddyxjyixs或向量“点积”形式LLyyxQxyxPd),(d),()),,(),,((),(),(yxQyxPjyxQiyxPA沿闭曲线L的曲线积分记作.ddLyQxP物理意义LyyxQxyxPWd),(d),(jyxQiyxPF),(),(变力sFLd)d,d(dyxs沿平面曲线L所做的功为类似地,可定义空间向量函数LzRyQxPddd沿着空间曲线L的第二型曲线积分为kzyxRjzyxQizyxPA),,(),,(),,(LsAd其中).d,d,d(ddddzyxkzjyixs对坐标的曲线积分具有下列性质:)),(),,(()),,(),,((11yxQyxPByxQyxPA沿曲线平面L的第二型曲线积分存在,则LLLsBksAksBkAkddd)(2121设(1)线性性质:BkAk21积分存在,且沿曲线L的第二型曲线其中为任意常数.21,kk,21LLL和分成如果把yyxQxyxPd),(d),(LL1L2(2)可加性:LyQxPdd且它们的方向相应地一致,则21ddddLLyQxPyQxP(3)有向性:方向相反的是与LL有向曲线,则yyxQxyxPd),(d),(对坐标的曲线积分与曲线的方向有关!LLLLOxy设L是有向曲线,Oxy,)()(tytxL的参数方程为定理11.2设),(),,(yxQyxPt当参数,时变到由,),(BLALyxM运动到终点沿的起点从点一阶为端点的闭区间上具有及在以)(),(tt,连续导数,d),(d),(存在LyyxQxyxP][][QPLyyxQxyxPd),(d),(在有向曲线弧L上连续,,0)()(22tt且且)(t),(tttd)(ttd)(),(t)(t11.2.2第二型曲线积分的计算则曲线积分)(:)1(xyyL)(:)2(yxxLLyyxQxyxPd),(d),(,ax起点为,cy起点为LyyxQxyxPd),(d),(b终点为d终点为则xxyxyxQxyxPbad)}()](,[)](,[{yyyxQyxyyxPdcd]}),([)(]),([{则对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.积分下限应是起点的坐标,上限是终点的坐标.曲线方程的其他情形,)()()(:tztytxzzyxRyzyxQxzyxPd),,(d),,(d),,((3)对于空间曲线,起点t终点)()](),(),([{ttttP)()](),(),([ttttQtttttRd)}()](),(),([例1计算上从为抛物线其中xyLxxyL2,dxy2)1,1(A)1,1(B解xyLxxydxxxd)(1023d2xx54AOxxyd⌒OBxxyd⌒xxxd.)1,1()1,1(的一段弧到BA(1)取x为积分变量1010Oxy,2yx112y11到从y54Lxxyd,d2dyyxyyyd2上从为抛物线其中计算xyLxxyL2,d.)1,1()1,1(的一段弧到BAOxyxy2)1,1(A)1,1(B114d2yy(2)取y为积分变量).0,0()0,2()2();0,0()1,1()0,2(),20(11)1(OAxLOBAxxyL到点轴从点为直线沿至点到点从点为折线段解(1)35例2计算,)d(dLyxyxxyI其中,2x,1xOxy211AB,BOABLA点对应B点对应.dd,2:xyxyABAByxyxxy)d(d12d)]1)(2()2([xxxxxxyxyBOdd,:Oxy211AB,1xB点对应,0xO点对应BOyxyxxy)d(d01d)]([xxxxx31LyxyxxyI)d(dBOAByxyxxyyxyxxy)d(d)d(d23135(2)Oxy211A.0d,0:yyAO,0xO点对应,2xA点对应LyxyxxyI)d(d0d002xx0问题:被积函数相同,起点和终点也相同,但路径不同,积分结果也不同.LyyxxyxI,d)(d)(解(1),sincostytxA点对应L的参数方程为,0t.2tB点对应其中1tttttttId]cos)sin(cos)sin)(sin[(cos20例3计算).1,0()0,0()0,1(,)2();1,0()0,1()1(BOAAOBLBAL点至到点从点为折线段沿上半单位圆至点为从点xyO11ABtttd)2sin2(cos20,上在AO,01,0到从xy21,上在OB,10,0到从yx12121I问题:被积函数相同,起点和终点也相同,xyO11ABOBAOyyxxyxyyxxyxId)(d)(d)(d)((2)LyyxxyxId)(d)(01dd)(d)(xxyyxxyxAO10dd)(d)(yyyyxxyxOB21虽然路径不同,但积分结果相同.,d)(d)(22LyxyyxxyxI解)20(,sincosttaytaxL的参数方程为其中L为圆周2tatatatatatataIdcos)sincos()sin)(sincos(202例4计算.)0(222沿逆时针方向绕行一周aayxtttd)cos(sin2022xyOa其中Γ是由点A(1,1,1)到点B(2,3,4)的直线段.直线AB的方程为312111zyx,1tx1013d)146(tt解化成参数式方程为于是,d)1(ddzyxyyxx例5计算,21tytz31,0t,1tA点对应B点对应zyxyyxxd)1(dd10d3)31(d2)21(d)1(tttttt11.2.3两类曲线积分之间的关系设A,B分别是曲线L的起点和终点,L的长度为l.M是曲线上的动点,取弧长作参数,sAM可以表示为以s为参数的参数方程lssyysxx0,)()(则曲线L于是BALyyxQxyxP:d),(d),(ssysysxQsxsysxPlddd)](),([dd)](),([0ssysxQsysxPld}cos)](),([cos)](),([{0其中处的切线向量的上点是曲线),(cos,cosyxLBA方向余弦.BALBALsQPyQxP::d)coscos(dd即这就是平面上两类曲线积分之间的关系.BAzRyQxP:dddBAsRQP:d)coscoscos(类似地,空间曲线上的两类曲线积分有如下关系其中),,()(cos,cos,coszyxBA上点是曲线处的切线向量的方向余弦.例6把对坐标的曲线积分LyyxQxyxPd),(d),(2xy解sxddcos2412xx所以.d412),(),(2LsxxyxQyxP化为对弧长的曲线积分.其中L为沿抛物线从点(0,0)到(1,1).,2xy,2xy由xysd1d2,d412xx,4112xsyddcosLyyxQxyxPd),(d),(作业习题11.2(276页)1(1)(3)(4)(8)；2；3；人有了知识，就会具备各种分析能力，明辨是非的能力。所以我们要勤恳读书，广泛阅读，古人说“书中自有黄金屋。”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识，培养逻辑思维能力；通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平，培养文学情趣；通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。有许多书籍还能培养我们的道德情操，给我们巨大的精神力量，鼓舞我们前进。