抽象函数常见模型及习题讲解学生版

1抽象函数常见模型及习题讲解一、正比例函数kxy(k≠0)型正比例函数型的抽象函数特征式为：yfxfyxfEg1、已知xf是定义在R上的函数，对任意的x、yR都有yfxfyxf，且当x0时，xf＜0，21f。问当33x时，函数xf是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由。Eg2、已知函数f（x）对任意实数x，y，均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且当x＞0时，f（x）＞0，f（－1）＝－2，求f（x）在区间[－2，1]上的值域。2Ex1、已知函数(),fx当,xyR时，恒有()()()fxyfxfy.(1)求证:()fx是奇函数;(2)若(3),(24)faaf试用表示.Ex2、已知函数)(xf对任意实数yx,恒有)()()(yfxfyxf且当x＞0，.2)1(.0)(fxf又(1)判断)(xf的奇偶性；(2)求)(xf在区间[－3,3]上的最大值；(3)解关于x的不等式.4)()(2)(2axfxfaxf3二、一次函数bkxy(k≠0）型一次函数型函数特征式为：fxyfxfybEg1、设定义在R上的函数()fx对于任意,xy都有()()()fxyfxfy成立，且(1)2f，当0x时，()0fx。（1）判断f(x)的奇偶性，并加以证明；（2）试问：当-2003≤x≤2003时，()fx是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，说明理由；（3）解关于x的不等式2211()()()()22fbxfxfbxfb，其中22b.4Eg2、已知函数)(xf满足:对任意的Rnm,，都有1)()()(nfmfnmf，并且当0x时,1)(xf，又4)3(f,解不等式,02)5(2aaf。Ex1、已知函数fx()对任意xyR，有fxfyfxy()()()2，当x0时，fx()2，f()35，求不等式faa()2223的解集。5Ex2、已知函数()fx的定义域为R,对任意实数,mn都有1()()()2fmnfmfn,且1()02f,当12x时,()fx0.(1)求(1)f，(2)求和(1)(2)(3)...()ffffn*()nN;(3)判断函数()fx的单调性,并证明.6Ex3、定义在R上的函数f（x）满足fxyfxfyf()()()()1120，，且x12时，f（x）0。（1）求(1)f;（2）设afnnNn()()*，求数列的前n项和Sn；（3）判断f（x）的单调性，并证明。7三、指数函数)1,0(,aaayx型指数函数型函数特征式为：fxyfxfyEg1、定义在R上的函数00,fxfy，当0x时，1xf且对任意Rba,都有.bfafbaf（1）求0f的值；（2）判定函数值的正负；（3）判断xf在R上的单调性；（4）若122xxfxf，求x的取值范围。8Eg2、设定义在R上的函数f(x),满足当x0时,f(x)1,且对任意x,y∈R,有f(x+y)=f(x)f(y),f(1)=2.1)2()3(21)]([:)2(;4)3(:)1(22fxfxfxxf、解方程、解不等式9Ex1、设函数yfx()定义在R上，当x0时，fx()1，且对任意mn，，有fmnfmfn()()()，当mn时fmfn()()。（1）证明f()01；（2）证明：fx()在R上是增函数；（3）设Axyfxfyf()|()()()，221，BxyfaxbycabcRa{()|()}，，，，，10，若AB，求abc，，满足的条件10Ex2、设函数f（x）的定义域是（－∞，＋∞），满足条件：存在，使得，对任何x和y，成立。求：（1）f（0）；（2）对任意值x，判断f（x）值的正负。Ex3、已知fx()对一切xy，，满足ffxyfxfy()()()()00，，且当x0时，fx()1，求证：（1）x0时，01fx()；（2）fx()在R上为减函数。11四、对数函数)1,0(,logaaxya型对数函数型函数特征式为：yfxfxyfEg1、已知函数xf的定义域是（0，+），当1x时，,0xf且yfxfxyf。（1）求1f；（2）判xf在定义域上的单调性；（3）如果,1)31(f求满足不等式2)21(xfxf的x的范围。12Eg2、定义在R上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x0时，f(x)1，且对任意的a、b∈R，有f(a+b)=f(a)f(b)，（1）求证：f(0)=1；（2）求证：对任意的x∈R，恒有f(x)0；（3）证明：f(x)是R上的增函数；（4）若f(x)·f(2x-x2)1，求x的取值范围。13Ex1、已知函数)(xf是定义在（0，+）上的增函数，且满足:对任意的,0,yx，都有)()()(yfxfyxf，又1)6(f,解不等式：2)1()3(xfxf.Ex2、设f（x）是定义在（0，＋∞）上的单调增函数，满足，求：（1）f（1）；（2）若f（x）＋f（x－8）≤2，求x的取值范围。14Ex3、函数()fx对于x0有意义，且满足条件(2)1,()()(),()ffxyfxfyfx是减函数。（1）证明：(1)0f；（2）若()(3)2fxfx成立，求x的取值范围。15五、幂函数axy型幂函数型函数特征式为：yfxfxyfEg1、已知函数)(xf的定义域为R，都有)()()(yfxfxyf且1)1(f，9)27(f，当1,0x时，1,0)(xf。（1）判断)(xf的奇偶性；（2）判断并证明)(xf在[0，+）上的单调性；（3）如0a且39)1(af，求a的取值范围。16Ex1、已知函数xf对于任意正数x、y都有yfxfxyf且xf0。当x1时，xf1（1）判断xf的奇偶性（2）判断xf在（0，+）上的单调性并说明理由分析：给出抽象函数所满足的函数方程及其一些性质，符合幂函数的性质，所以可以推知此函数的背景函数可以看成幂函数，由条件当x1时，xf1，再利用2221111xxfxfxffxxx来证明它的单调性。