1.1.2--余弦定理

1.1.2余弦定理①已知三角形的任意两角及其一边；问题1运用正弦定理能解怎样的三角形？②已知三角形的任意两边与其中一边的对角.提示:甲乙两位同学均住在世博园的附近，已知甲同学家距离世博园入口处300米，乙同学家距离世博园入口处400米，某天，甲乙两位同学相约一同参观世博园，请问，你能求出甲乙两同学家相距多少米吗？问题2如果已知三角形的两边及其夹角，能解这个三角形吗？根据三角形全等的判定方法，“边角边”这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.从量化的角度来看，如何从已知的两边和它们的夹角求三角形的另一边和两个角？这就是我们这节课要学习的内容.提示:1.掌握余弦定理的两种表示形式；（重点）2.证明余弦定理的向量方法；3.运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．(难点)微课1余弦定理及其推论用正弦定理试求，发现因A、B均未知，所以较难求边c.由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题.如图，在△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c.已知a,b和C，求边c.ABCbca提示:ABCbca所以222c=a-2abcosC+b，222222.22cos依条件可知，CB=a，CA=b，AB=cAB=CBCA因为AB=CBCA=CBCBCACA=CBCBCAC+CA2222222222cos2cos即c=ababcosC同理可得a=bcbcAb=acacB+-2三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，即余弦定理用途：利用余弦定理，可以从已知的两边及其夹角求出三角形的第三条边.222222222abc2bccosAbac2accosBcab2abcosC.；；已知△ABC中，a＝1，b＝1，C＝120°，则边c＝________.3【解析】由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC＝1＋1－2×1×1×(－12)＝3，∴c＝3.【即时练习】这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？式子中共有4个量.已知其中三个量，可以求出第四个量，称之为“知三求一”当然能由三边求出一角.提示:(2016·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=5,c=2,cosA=23,则b=()A.2B.3C.2D.3【解析】选D.由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得25=b2+22-2b×2×cosA,即3b2-8b-3=0,解得b=-13(舍)或b=3.D【即时训练】余弦定理的推论：用途:由上述推论,可以由三角形的三条边求出三角形的三个角.222222222cos2cos2bcaA=bcacbB=acabccosC=ab+-2边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和是（）A．90°B．120°C．135°D．150°【解析】B，设中间角为，则22200005871cos,60,180601202582为所求。【即时练习】思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例.22222cos900.，则=，这若在ABC中，C=90c=ababcosC=ab时+-2+提示:微课2余弦定理及其推论的基本作用①已知三角形的任意两边及它们的夹角可以求出第三边；②已知三角形的三条边就可以求出角.③已知三角形两边及其一边对角，可求其他的角和第三条边.例1在△ABC中，已知b=60cm，c=34cm，A=41°，解三角形（角度精确到1°，边长精确到1cm）.【解析】方法一：根据余弦定理，a²=b²+c²-2bccosA=60²+34²-2×60×34×cos41o≈1677，所以a≈41(cm).由正弦定理得，因为c不是三角形中最大的边，所以C是锐角，利用计算器可得：C≈33°，B=180o-(A+C)≈180o-(41o+33o)=106°.csinA34×sin41°34×0.656sinC=0.5440.a4141根据余弦定理，a²=b²+c²-2bccosA=60²+34²-2×60×34×cos41o≈1677，所以a≈41(cm).由余弦定理得所以利用计算器可得C≈33°，B=180o-(A+C)≈180o-(41o+33o)=106°.方法二：222a+b-ccosC=0.83842ab在△ABC中，AB＝4，BC＝3，B＝60°，则AC等于________．13【解析】由条件已知三角形的两边及其夹角，故可以直接利用余弦定理求得边AC，即AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB＝16＋9－2×4×3×12＝13.所以AC＝13.【变式练习】注意：一般地，在“知三边及一角”要求剩下的两个角时，应先求最小的边所对的角.思考:在解三角形的过程中，求某一个角时既可用正弦定理也可用余弦定理，两种方法有什么利弊呢？例2在△ABC中，已知a=134.6cm，b=87.8cm，c=161.7cm，解三角形（角度精确到1′）.【解析】由余弦定理的推论得：222222'b+c-acosA=2bc87.8+161.7-1340.55.6=243，所以A×87.8×56°161.207，222222''''0.8398，a+c-b134.6+161.7-87.8cosB==2ac2×134.6×161.7，所所以B32°53°-（A+B）°-（56°20°53）以C==18018090°+2473.在△ABC中，sinA:sinB:sinC＝3:5:7，则△ABC是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法确定C【变式练习】【解析】由正弦定理，得a:b:c＝sinA:sinB:sinC＝3:5:7.设a＝3k，b＝5k，c＝7k(k0)，由于cba，故角C是△ABC中最大的角，因为cosC＝b2＋a2－c22ab＝5k2＋3k2－7k22×5k×3k＝－120，所以C90°，即△ABC为钝角三角形思考：在已知三边时，一般先利用余弦定理求哪个角？然后用正弦定理还是继续用余弦定理求角？在已知三边时，一般先利用余弦定理求两个较小的角（大边对大角,小边对小角），然后再由三角形内角和求第三角.提示:已知条件定理选用一般解法一边和两角(如a,B,C)两边和夹角(如a,b,C)两边和其中一边的对角(如a,b,A)三边(a,b,c)由A+B+C=180°求角A,由正弦定理求出b与c.解三角形的四种基本类型正弦定理余弦定理由余弦定理求出第三边c，再由正弦定理求出剩下的角.正弦定理由正弦定理求出角B,再求角C,最后求出c边.可有两解,一解或无解.余弦定理先由余弦定理求出其中两个角,再利用内角和为180°求出第三个角.1．在△ABC中，a＝7，b＝43，c＝13，则△ABC的最小角为()A.π3B.π6C.π4D.π12【解析】选B.∵abc，∴C为最小角，由余弦定理cosC＝＝2227+(43)-132743＝32.∴C＝π6.222a+b+c2abB2．在△ABC中，已知a＝2，则bcosC＋ccosB等于()A．1B.2C．2D．4【解析】选C.bcosC＋ccosB＝b·222a+b-c2ab＋c·222c+a-b2ac＝22a2a＝a＝2.C3．在△ABC中，若()()3,abcbcabc则A=()A．90°B．60°C．135°D．150°【解析】选B，22()()3,()3,abcbcabcbcabc22222201,cos,6022bcabcabcAAbcB4.（2015•北京高考）在ABC△中，4a，5b，6c，则sin2sinAC．15.在△ABC中，内角ABC，，所对的边分别为b，，ac，已知6a-c=b6，sinB=6sinC.（1）求cosA的值.（2）求cos(2A-)6的值.【解析】(1)在△ABC中,由bc=.sinsinCB及sinB=6sinC,可得b=6c,又由a-c=66b,有a=2c.所以cosA=2222222bca6cc4c=2bc26c=64.(2)在△ABC中,由cosA=64,可得sinA=104.于是cos2A=2cos2A-1=-14,sin2A=2sinA·cosA=154.所以cos26A=cos2Acos6+sin2Asinπ153=.681.余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例.2222222222cos2cosa=bcbcA；b=acacB；c=ababcosC.+-22.余弦定理的应用范围：①已知三边求三角；②已知两边及它们的夹角，求第三边.③已知三角形两边及其一边对角，可求其他的角和第三条边.3.正弦定理和余弦定理可解的三角形正弦定理余弦定理①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角①已知三边，求各角②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角人不能像动物那样活着，应该追求知识和美德，来完善自己。