大学物理-动量定理

动量单位：千克·米/秒,kg·m/s§1.7质点的动量定理一、动量定理momentum质点质量与速度的乘积，可以表征质点瞬时运动的量，称为动量。pmv由Newton第二定律，得：dtvmddtvdmamF)(dtpdF这就是动量定理。在经典力学范围内，m=constant，动量定理与F=ma等价，但在高速运动情况下，只有动量定理成立。即：momentumtheorem由动量定理，有：)(vmddtF1221vmvmdtFtt二、冲量定理元冲量dIFdt0ttIFdt冲量冲量impulse作用在质点上的某力对时间的累计，称为该力对质点的冲量。单位：牛顿秒,N·s冲量是矢量，其方向为合外力的方向。冲量定理：Ip即：合外力的冲量等于质点的动量增量。impulsetheorem为何你毫不在乎树上掉下的树叶，却很畏惧空中掉下的大石块？tvmvmtPPtItttFFΔΔΔd12121221tt平均冲力作用时间极短、但力的变化很快又极为复杂，并且可以达到很大的数值，这种力称为冲力。对涉及冲力的问题，由于力和加速度在极短时间内急剧变化，有时无法知道力与时间的函数关系，不便于用牛顿第二定律求解，因此引入平均冲力的概念，即力对时间的平均值定义为：1tFmF2tFto如：打桩、小鸟与飞机相撞等利用平均冲力可解释为何你会畏惧砸向你的石块，而毫不在乎落下的树叶！在冲击过程中，力一般是时间的函数。冲击过程中任一时刻质点所受的合力称为此时刻质点上的冲力。平均冲力与同段时间内变力等效。冲力当变化较快时，力的瞬时值很难确定，用一平均力代替该过程中的变力，这一等效力称为冲击过程的平均冲力。dIFdtimpulsion平均冲力meanimpulsionottoFdtIFtttFFoottt例题有一冲力作用在质量为0.30kg的物体上，物体最初出于静止状态，已知力的大小与时间的关系为式中的单位是，的单位是。求：（1）上述时间内的冲量、平均冲力大小；（2）物体末速度的大小。07.002.0,)07.0(100.202.00,105.2)F(254tttttFFNts1vm2vmvm12121221ttmmttdtFFttvvF1tFmF2tFto越小，则越大.例如人从高处跳下、飞机与鸟相撞、打桩等碰撞事件中，作用时间很短，冲力很大.注意tF在一定时p4）平均冲力在冲击和碰撞等问题中，常引入平均冲力的概念。1t例题：一重锤质量为m，从高h处自由落下，打在地面不再跳起。设重锤与地面相互作用时间为。求：重锤对地的平均冲力。tΔ解：对地平均冲力为:重锤受两力：Nmg和由动量定理：ghmυmPΔtΔNmg20)(mgtΔghmNN2'注意这里重锤自身的重量要考虑在内。只有当前项远大于后一项时，才能不计自重。例题：一只篮球质量为0.58kg，从2.0m高度下落，到达地面后，以同样速率反弹，接触时间仅0.019s。求：对地平均冲力。解：篮球到达地面的速率2vgh.2982.63m/stF(max)F0.019sOF对地平均冲力为:2mFtv...2058630019.23810N相当于40kg重物所受重力!例题：质量为2.5g的乒乓球以10m/s的速率飞来，被板推挡后，又以20m/s的速率飞出。求：1）乒乓球得到的冲量；2）若撞击时间为0.01s，则板施于球的平均冲力的大小和方向。解：45º30ºnv2v1由于作用时间很短，忽略重力影响。IFdt21mvmv则取坐标，将上式投影：xy21cos30(cos45)mvmvxFtxxIFdt21sin30sin45mvmvyyIFdtyFt设挡板对球的冲力为F为平均冲力与x方向的夹角tanyxFF6.1NxF0.0610.007NsijxyIIiIj0.7NyF22xyFFF6.14N6.540.11481102020.01sm/sm/s2.5gtvvm21cos30(cos45)mvmvxFtxxIFdt21sin30sin45mvmvyyIFdtyFt例1：撑杆跳运动员从横杆跃过,落在海棉垫子上不会摔伤，如果不是海棉垫子，而是大理石板，又会如何呢？思考例2：汽车从静止开始运动，加速到20m/s。如果牵引力大，所用时间短；如果牵引力小，所用的时间就长。Ip动量与冲量的区别①.动量是状态量；冲量是过程量；②.动量方向为物体速度方向；冲量方向为作用时间内动量变化的方向。讨论冲量定理的使用①.计算冲量时，无须确定各个外力，只须知道质点始末的动量即可。②.F为合外力，不是某一个外力。③.动量定理的分量式：otxxxxoxtIFdtpmvv④.平均冲力的计算由：IFt解：以人为研究对象，可分为两个运动过程，1.自由下落过程—到达地面时的速率为：2.与地面接触碰撞过程，受力分析，规定向上为坐标正向。例：质量为60kg的撑杆跳运动员，从5米的横杆跃过自由下落，运动员与地面的作用时间分别为1秒和0.1秒，求地面对运动员的平均冲击力。2vgh2oypmgh0yp由：可以看出当物体状态变化相同量，力的作用时间越短，物体受到的冲击力就越大。当作用时间很短时，重力可忽略不计。yNmgoyyFtp即：2Nmgtmgh2mghNmgt1s,600N600N1200N0.1s,600N6000N6600NtNtN例1.质量分别为mA和mB(mAmB)的两质点A和B,受到相等的冲量作用,则：(A)A比B的动量增量少.(B)A比B的动量增量多.(C)A、B的动量增量相等.(D)A、B的动能增量相等.思考题例2.质量为20g的子弹沿x轴正向以500m/s的速度射入一木块后，与木块一起以50m/s的速度仍沿x轴正向前进，在此过程中木块所受冲量的大小为（A）（B）（C）（D）9Ns9Ns10Ns10Ns0.02505009Ns例3.质量为m的小球，以水平速度v与固定的竖直壁作弹性碰撞，设指向壁内的方向为正方向，则由于此碰撞，小球的动量变化为：（A）mv（B）0（C）2mv（D）-2mv2mvvmv例5.图示一圆锥摆，质量为m的小球在水平面内以角速度匀速转动。在小球转动一周的过程中，求：①小球动量增量的大小。②小球所受重力的冲量大小。③小球所受绳子拉力的冲量大小。例5.图示一圆锥摆，质量为m的小球在水平面内以角速度匀速转动。在小球转动一周的过程中，求：①小球动量增量的大小。②小球所受重力的冲量大小。③小球所受绳子拉力的冲量大小。①小球运动一周动量变化为0。③由①可知，小球所受重力和拉力的冲量为0，因此，拉力的冲量必然等于小球重力冲量的负值，即：②解：2mgmgImgT2NmgImgT1m2m12F21F1F2F)()(d)(20210122112121vvvvmmmmtFFtt20222212d)(21vvmmtFFtt10111121d)(21vvmmtFFtt因为内力，故：02112FF1.8质点系动量定理动量守恒定律（theoremofmometumofasystemofparticles）一、质点系的动量定理由于系统的内力成对出现，系统的内力矢量和为零。niiiiniittυmυmdtFΣ101210ppI质点系总动量的增量等于作用于该系统合外力的冲量强调：只有外力才能引起质点系总动量的改变。质点系内力的矢量合为0，对系统总动量的改变无贡献，但内力会使系统内各质点的动量发生变化。质点系的动量定理：推广到多质点系统，动量定理表达式为：即：注意内力不改变质点系的动量gbm2m000bgvv初始速度则00pbgvv20p推开后速度且方向相反则推开前后系统动量不变0pp由质点系的动量定理：当0Fi时0PP0PP0动量守恒定律：当系统所受的合外力为0时，系统的动量守恒。iiimPvP其中ttiΔdt0PPPF0)(二、动量守恒定理1、质点系受合外力为0，每个质点的动量可能变化，系统内的动量可以相互转移，但它们的总和保持不变。各质点的动量必相对于同一惯性参考系。2、若合外力不为0，但在某个方向上合外力分量为0，则在该方向上动量守恒。明确几点：zizizizyiyiyiyxixixixCmpFΣCmpFΣCmpFΣvvv,0,0,0004dtFF外外与、注意区别前者保证整个过程中动量守恒，后者只说明始末时刻动量相同。5、动量守恒定律只适用于惯性系，在微观高速范围仍适用，是自然界最普遍，最基本的定律之一。3、自然界中不受外力的物体是没有的，但如果系统的内力外力，可近似认为动量守恒。在碰撞、打击、爆炸等相互作用时间极短的过程中，往往可忽略外力。例题：质量为m的人站在一质量为M、长为l的小车一端，由静止走向车的另一端，求人和小车各移动了多少距离?(不计摩擦)MυV解：水平方向上车和人系统不受外力作用，故动量守恒；MυV设车和人相对地面速度分别为和Vυ0vmVMvMmV即:——两者运动方向相反mυMmMVυυ'设人在时间t内走到另一端，xMmMdtυMmMdtυltt00'MxlMmlmMmxlX人相对于车的速度为：MυV1.内力不会改变系统的动量，只有外力可改变系统的动量。例如：两队运动员拔河，有的人说甲队力气大，乙队力气小，所以甲队能获胜，这种说法是否正确?甲队乙队讨论质点系的动量定理分析：拔河时，甲队拉乙队的力，与乙队拉甲队的力是一对作用力与反作用力，为系统的内力，不会改变系统总的动量。只有运动员脚下的摩擦力才是系统外力，因此哪个队脚下的摩擦力大，哪个队能获胜。所以拔河应选质量大的运动员，以增加系统外力。1F2F2.动量守恒是指总动量不变，各个质点的动量是可以变化的，通过内力的作用，动量在系统内的各个质点间进行转移。3.动量守恒定律要求合外力为零的条件比较苛刻，如果内力远大于外力，或内力的冲量远大于外力的冲量时，可以当作合外力为零的近似情况。4.动量定理与动量守恒定律都是矢量方程，在选取合适的坐标系后，可以写成相应各分量方程形式，则方程两端的物理含义表明了相应方向上的合外力与动量变化之间的关系。例如：导弹的出射、鞭炮的爆炸等。例.一枚静止的炸弹在水平面内爆炸，炸成三块。第一块质量为m，速度v1=800m/s，向西；第二块质量为m，速度v2=600m/s,向南；第三块质量为2m，求：第三块弹片的速度大小和方向。m2mm1v2v3?v碰撞过程可分为完全弹性碰撞、弹性碰撞、完全非弹性碰撞。①特点：机械能守恒、动量守恒。1m2m2ov1ov碰前1m2m碰撞四、碰撞过程1.完全弹性碰撞1m2m碰后2v1vtotalyelasticcollisioncollidingprocess由机械能守恒：22221122112211112222oomvmvmvmv11221122oomvmvmvmv由动量守恒：联立求解：12122112()2oommvmvvmm21211212()2oommvmvvmm2.讨论：122,0ommv1m2m1ov121221121()2ooommvmvvmmv21211212()20oommvmvvmm当m1m2，且第二个球静止时，则碰撞后，第一个球以原速反弹回来，而第二球仍保持静止。12mm相同质量两个球发生弹性碰撞，碰撞两球速度交换。2ov1ov