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2.2晶体衍射和倒易点阵122.2.2.3衍射条件－弹性散射中，光子能量不变'krkrkrΔ'ωωhh=ckck===ωω''kk='22'kk=Gkrr=Δ衍射条件'kGkrrr=+'kkkrr=Δ+()22kGk=+rr022=+⋅GGkrr周期性点阵中弹性散射理论的最主要结果2.2晶体衍射和倒易点阵132.2.2.3衍射条件－布喇格定律的另一种推导022=+⋅GGkrr－G是个倒易点阵矢量，那么-G也是一个倒易点阵矢量22GGk=⋅rrGGrr−→－可以证明：与方向G=hA+kB+lC垂直的诸平行点阵平面间的面间距是()Ghkldrπ2=()()hkld/2sin/22πθλπ='krkrkrΔGrϕcosθsin－定义G的hkl可以含有一个公因子n()λθnhkld=sin2布喇格定律2.2晶体衍射和倒易点阵142.2.3布里渊区布里渊区定义为倒易点阵中的维格纳－赛茨晶胞-2/a-1/a01/a2/a一维二维三维布里渊区边界方程Gkrr21−GrGr21kr22GGk=⋅rr22121⎟⎠⎞⎜⎝⎛=⎟⎠⎞⎜⎝⎛⋅GGkrr2.2晶体衍射和倒易点阵15－布里渊区的特点z每个布里渊区只包含一个倒阵点z每个布里渊区都具有相同的体积z布里渊区的体积应等于倒易点阵初基晶胞的体积－第一布里渊区－在倒易点阵的中央晶胞称为第一布里渊区。－作由原点出发的诸倒易点阵矢量的垂直平分面，为这些平面所完全封闭的最小体积就是第一布里渊区。2.2.3布里渊区2.2晶体衍射和倒易点阵162.2.4倒易点阵的范例简单立方点阵的倒易点阵xˆyˆzˆzacyabxaaˆˆˆ===rrr3acba=×⋅=ΩrrrzabaCyaacBxacbAˆ22ˆ22ˆ22ππππππ=Ω×==Ω×==Ω×=rrrrrrrrr－仍是一个简立方点阵，点阵常数为2π/a－第一布里渊区是个以原点为体心，边长为2π/a的立方体。xˆyˆzˆaπ2aπ2aπ22.2晶体衍射和倒易点阵172.2.4倒易点阵的范例体心立方点阵的倒易点阵zˆxˆyˆarbrcr()()()zyxaczyxabzyxaaˆˆˆ21ˆˆˆ21ˆˆˆ21+−=++−=−+=rrr321acba=×⋅=Ωrrr2.2晶体衍射和倒易点阵18zˆxˆyˆ()()()zxaCzyaByxaAˆˆ2ˆˆ2ˆˆ2+=+=+=πππrrr－倒易点阵是个面心立方点阵－第一布里渊区是个正菱形十二面体体心立方点阵的倒易点阵xˆyˆzˆArBrCr2.2.4倒易点阵的范例2.2晶体衍射和倒易点阵192.2.4倒易点阵的范例面心立方点阵的倒易点阵xˆyˆzˆarbrcr()()()zxaczyabyxaaˆˆ2ˆˆ2ˆˆ2+=+=+=rrr341acba=×⋅=Ωrrr2.2晶体衍射和倒易点阵20()()()zyxaCzyxaBzyxaAˆˆˆ2ˆˆˆ2ˆˆˆ2+−=++−=−+=πππrrr2.2.4倒易点阵的范例面心立方点阵的倒易点阵zˆxˆyˆArBrCr－倒易点阵是个体心立方点阵－第一布里渊区是截角八面体Γ:(0,0,0)布里渊区中心L:(1/2,1/2,1/2)布里渊区边与111轴的交点X:(1,0,0)布里渊区边与100轴的交点K:(3/4,3/4,0)布里渊区边与110轴的交点第二章固体物理导论2.1晶体结构2.2晶体衍射和倒易点阵2.3自由电子费米气体2.4能带2.5半导体晶体2.3自由电子费米气体1一个给出了这样一些结果的理论，肯定包含很多真理。－－H.A.Lorentz自由电子模型认为：组成晶体的原子中束缚得最弱的电子在金属体内自由运动。原子的价电子成为传导电子。在自由电子近似中略去传导电子和离子实之间的力；在进行所有计算时，仿佛传导电子在样品中可以各处自由运动。总能量全部是动能，势能被略去。自由电子费米气体是指自由的、无相互作用的、遵从泡利不相容原理的电子气。2.3自由电子费米气体22.3.1一维情况下的能级和轨道密度－引用量子理论和泡利原理，研究一维情况下的自由电子气。能级波函数L32=λL=λL2=λ123L0x量子数，n149能量，单位：22212⎠⎞⎜⎝⎛Lmh－质量为m的电子被无限高势垒限制在长度为L的直线上－引入薛定谔方程－电子的波函数是方程的解－略去中的势能－p是动量算子εψψ=Hˆ)(xnψHˆ222222ˆdxdmmpHh−==dxdiph−=2.3自由电子费米气体32.3.1一维情况下的能级和轨道密度222222ˆdxdmmpHh−==)(2)(ˆ222xdxdmxHnnnnψεψψ=−=h－εn称为电子在这个轨道中的能量－轨道这个词用来表示单电子系统波动方程的解－如果波函数是正弦形式，当0－L间的长度是半波长的整数倍n时，边界条件得到满足边界条件0)(0)0(==Lnnψψ解nnnnLxAxλλπψ212sin)(=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=（A是常数）2.3自由电子费米气体42.3.1一维情况下的能级和轨道密度能级波函数L32=λL=λL2=λ123L0x量子数，n149能量，单位：22212⎠⎞⎜⎝⎛LmhnnnnLxAxλλπψ212sin)(=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=（A是常数）)(2)(ˆ222xdxdmxHnnnnψεψψ=−=h222⎟⎠⎞⎜⎝⎛=Lnmnπεh2.3自由电子费米气体52.3.1一维情况下的能级和轨道密度－如何把N个电子放在这条L长的直线上？－泡利不相容原理指出两个电子的量子数组不能彼此全同，即，每个轨道最多只能被一个电子占据－在线形固体中，传导电子轨道的量子数是n和ms，n是任何正整数，ms是自旋取向值（1/2，-1/2）－以量子数n标记的一对轨道可以容纳两个电子，一个自旋向上，一个自旋向下，但他们的能量是相同的。－相同能量的轨道可以不止一个。具有相同能量的轨道的数目称为简并度。nms电子占据数1↑11↓12↑12↓13↑13↓14↑04↓0把6个电子放在L线上2.3自由电子费米气体62.3.1一维情况下的能级和轨道密度－N个电子放在这条L长的直线上，电子先从底层低能级轨道填充开始，填满低能级轨道后，再逐渐向高能级轨道填充，直至N个电子都找到了轨道－求解最高填充轨道的能级量子数nF－费米能εF定义：基态下最高被充满能级的能量NnF=22NnF=222⎟⎠⎞⎜⎝⎛=Lnmnπεh2222⎟⎠⎞⎜⎝⎛=LNmFπεhLN电子密度倒易点阵中的矢量具有[长度]-1的量纲2.3自由电子费米气体72.3.2温度对费米－狄喇克分布的影响－基态：系统处在绝对零度的状态－温度升高后，电子气的动能增加，某些在基态时本来空着的能级被占据，而某些基态时被占据着的能级空了出来－费米－狄喇克分布函数给出了理想电子气处于热平衡时能量为ε的轨道被电子占据的几率：11)(+=−kTefμεε－μ的选择原则：总能正确计算出系统中粒子的总数，即等于N)(Tμμ=化学势2.3自由电子费米气体82.3.2温度对费米－狄喇克分布的影响－在T=0K时，μ以上占据几率为零，以下占据几率为1，是一个突变，所以μ=εF1)(,0)0,0(0)(,)0,0(→→→−=→+∞→→−=−−−+εμεεμεμεμεfeKTfeKTkTkTf(ε)εμT=0111)(+=−kTefμεε－费米能εF定义：基态下最高被充满能级的能量－在一切温度下，当ε=μ时，f(ε)=1/2－在F－D分布的高能尾部相应于ε－μkT，F－D分布简化成玻尔兹曼分布kTefμεε−−≅)(2.3自由电子费米气体92.3.3三维情况下的自由电子气Le－三维情况下自由粒子的描述遵守薛定谔方程)()(22222222rrzyxmkkkrrhrrrψεψ=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂−－考虑在边长L立方体中的电子状态－要求波函数是x，y，z的周期函数，周期为L)exp()(rkirkrrrr⋅=ψLnLLkkkzyxπππ2;...;4;2;0,,±±±=()[]()[]()xikLLxniLxikxxexp/2expexp=+=+π－k的分量是这个问题的量子数；此外，还要考虑自旋方向的量子数ms。2.3自由电子费米气体102.3.3三维情况下的自由电子气)()(22222222rrzyxmkkkrrhrrrψεψ=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂−()[]zkykxkirkirzyxk++=⋅=exp)exp()(rrrrψ()22222222zyxkkkkmkm++==hhrεLeλπ2=k∇−=hrip)()()(rkrirpkkkrrhrhrrvvvψψψ=∇−=mkv/rhr=色散关系：ε-k轨道k中粒子的速度