高考理科数学二轮复习练习：第2部分-必考补充专题-数学思想专项练4-转化与化归思想

数学思想专项练(四)转化与化归思想(对应学生用书第126页)题组1特殊与一般的转化1．过抛物线y＝ax2(a＞0)的焦点F，作一直线交抛物线于P，Q两点，若线段PF与FQ的长度分别为p，q，则1p＋1q等于()A．2aB．12aC．4aD．4aC[抛物线y＝ax2(a＞0)的标准方程为x2＝1ay(a＞0)．焦点F0，14a，取过焦点F的直线垂直于y轴，则|PF|＝|QF|＝12a，所以1p＋1q＝4a.]2．如图1，在棱长为5的正方体ABCD­A1B1C1D1中，EF是棱AB上的一条线段，且EF＝2，点Q是A1D1的中点，点P是棱C1D1上的动点，则四面体PQEF的体积()图1A．是变量且有最大值B．是变量且有最小值C．是变量且有最大值和最小值D．是常数D[点Q到棱AB的距离为常数，所以△EFQ的面积为定值．由C1D1∥EF，可得棱C1D1∥平面EFQ，所以点P到平面EFQ的距离是常数，于是可得四面体PQEF的体积为常数．]3．已知点A(1，－1)，B(3,0)，C(2,1)．若平面区域D由所有满足AP→＝λAB→＋μAC→(1≤λ≤2,0≤μ≤1)的点P组成，则D的面积为()【导学号：07804153】A．2B．3C．5D．7B[分别令λ＝1,2，μ在[0,1]内变化，令μ＝0,1，λ在[1,2]内变化．可得D为一个平行四边形区域，其面积为三角形ABC面积的两倍．直线AB的方程为x－2y－3＝0，|AB|＝4＋1＝5，点C到AB的距离d＝|2－2－3|5＝35，则D的面积为2×12×5×35＝3.]4．在定圆C：x2＋y2＝4内过点P(－1,1)作两条互相垂直的直线与C分别交于A，B和M，N，则|AB||MN|＋|MN||AB|的取值范围是________．2，322[设|AB||MN|＝t，考虑特殊情况：当AB垂直OP时，MN过点O，|AB|最小，|MN|最大；当MN垂直OP时，AB过点O，|MN|最小，|AB|最大．所以t最小＝22，t最大＝2.所以t∈22，2.又因为t＋1t≥2t·1t＝2，所以t＋1t∈2，322.]题组2正与反的相互转化5．由命题“存在x0∈R，使e|x0－1|－m≤0”是假命题，得m的取值范围是(－∞，a)，则实数a的取值是()A．(－∞，1)B．(－∞，2)C．1D．2C[命题“存在x0∈R，使e|x0－1|－m≤0”是假命题，可知它的否定形式“任意x∈R，使e|x－1|－m＞0”是真命题，可得m的取值范围是(－∞，1)，而(－∞，a)与(－∞，1)为同一区间，故a＝1.]6．若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为()A.15B.35C.710D.910D[甲或乙被录用的对立面是甲、乙均不被录用，故所求事件的概率为1－110＝910.]7．若二次函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间[－1,1]内至少存在一个值c，使得f(c)＞0，则实数p的取值范围为________．－3，32[如果在[－1,1]内没有值满足f(c)＞0，则f－，f⇒p≤－12或p≥1，p≤－3或p≥32⇒p≤－3或p≥32，取补集为－3＜p＜32，即为满足条件的p的取值范围．故实数p的取值范围为－3，32.]8．若椭圆x22＋y2＝a2(a＞0)与连接两点A(1,2)，B(3,4)的线段没有公共点，则实数a的取值范围为________．0，322∪822，＋∞[易知线段AB的方程为y＝x＋1，x∈[1,3]，由y＝x＋1，x22＋y2＝a2，得a2＝32x2＋2x＋1，x∈[1,3]，∴92≤a2≤412.又a＞0，∴322≤a≤822.故当椭圆与线段AB没有公共点时，实数a的取值范围为0，322∪822，＋∞.]9．若对于任意t∈[1,2]，函数g(x)＝x3＋m2＋2x2－2x在区间(t,3)上总不为单调函数，则实数m的取值范围是________.【导学号：07804154】－373，－5[g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2，若g(x)在区间(t,3)上总为单调函数，则①g′(x)≥0在(t,3)上恒成立，或②g′(x)≤0在(t,3)上恒成立．由①得3x2＋(m＋4)x－2≥0，即m＋4≥2x－3x在x∈(t,3)上恒成立，所以m＋4≥2t－3t恒成立，则m＋4≥－1，即m≥－5；由②得m＋4≤2x－3x在x∈(t,3)上恒成立，则m＋4≤23－9，即m≤－373.所以若函数g(x)在区间(t,3)上总不为单调函数，则m的取值范围为－373＜m＜－5.]10．已知点A(1,1)是椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)上一点，F1，F2是椭圆的两焦点，且满足|AF1|＋|AF2|＝4.(1)求椭圆的两焦点坐标；(2)设点B是椭圆上任意一点，当|AB|最大时，求证：A，B两点关于原点O不对称．[解](1)由椭圆定义，知2a＝4，所以a＝2.所以x24＋y2b2＝1.把A(1,1)代入，得14＋1b2＝1，得b2＝43，所以椭圆方程为x24＋y243＝1.所以c2＝a2－b2＝4－43＝83，即c＝263.故两焦点坐标为－263，0，263，0.(2)(反证法)假设A，B两点关于原点O对称，则B点坐标为(－1，－1)，此时|AB|＝22，而当点B取椭圆上一点M(－2,0)时，则|AM|＝10，所以|AM||AB|.从而知|AB|不是最大，这与|AB|最大矛盾，所以命题成立．题组3主与次的相互转化11．设f(x)是定义在R上的单调递增函数，若f(1－ax－x2)≤f(2－a)对任意a∈[－1,1]恒成立，则x的取值范围为________．(－∞，－1]∪[0，＋∞)[∵f(x)是R上的增函数，∴1－ax－x2≤2－a，a∈[－1,1]．①①式可化为(x－1)a＋x2＋1≥0，对a∈[－1,1]恒成立．令g(a)＝(x－1)a＋x2＋1，则g－＝x2－x＋2≥0，g＝x2＋x≥0，解得x≥0或x≤－1.即实数x的取值范围是(－∞，－1]∪[0，＋∞)．]12．已知函数f(x)＝x3＋3ax－1，g(x)＝f′(x)－ax－5，其中f′(x)是f(x)的导函数．对满足－1≤a≤1的一切a的值，都有g(x)＜0，则实数x的取值范围为________．－23，1[由题意，知g(x)＝3x2－ax＋3a－5，令φ(a)＝(3－x)a＋3x2－5，－1≤a≤1.对－1≤a≤1，恒有g(x)＜0，即φ(a)＜0，∴φ＜0，φ－＜0，即3x2－x－2＜0，3x2＋x－8＜0，解得－23＜x＜1.故当x∈－23，1时，对满足－1≤a≤1的一切a的值，都有g(x)＜0.]13．对于满足0≤p≤4的所有实数p，使不等式x2＋px＞4x＋p－3成立的x的取值范围是________．(－∞，－1)∪(3，＋∞)[设f(p)＝(x－1)p＋x2－4x＋3，则当x＝1时，f(p)＝0，所以x≠1.f(p)在0≤p≤4上恒正，等价于f＞0，f＞0，即x－x－＞0，x2－1＞0，解得x＞3或x＜－1.]14．(2017·豫北名校联考)已知定义在R上的单调递增奇函数f(x)，若当0≤θ≤π2时，f(cosθ＋msinθ)＋f(－2m－2)＜0恒成立，则实数m的取值范围是________.【导学号：07804155】m＞－12[当0≤θ≤π2时，f(cosθ＋msinθ)＋f(－2m－2)＜0恒成立，又函数f(x)是奇函数，∴当0≤θ≤π2时，f(cosθ＋msinθ)＜f(2m＋2)恒成立．又函数f(x)在R上单调递增，故有cosθ＋msinθ＜2m＋2恒成立，即m＞2－cosθsinθ－2恒成立．令t＝cosθ－2sinθ－2，其几何意义是点P(sinθ，cosθ)0≤θ≤π2与点C(2,2)的连线的斜率．P点的轨迹是半径为1的单位圆的一部分(如图所示)，则12≤t≤2，故－2≤－t≤－12，所以m＞－12.]