刚架的有限元分析概述

李建宇天津科技大学计算机辅助工程分析FiniteElementMethodinEngineering内容2有限元法的直接刚度法2.2平面刚架的有限元分析要求了解：局部坐标、整体坐标的概念理解：局部坐标系下梁单元分析单元刚度矩阵的坐标变换掌握：刚架单元刚度矩阵的建立利用叠加法组装整体刚度矩阵课后练习平面刚架的有限元分析2基本概念上节回顾单元（element）节点(node)单元节点位移(nodedisplacement)单元节点内力(nodeforce)单元刚度矩阵(elementstiffnessmatrix)整体刚度矩阵组装原理上节回顾直梁有限元分析的基本流程整体离散梁单元分析单元组装整体解算直梁结构MDCBAZM4321123eeepKjeqimimjiqj单元节点力jefifjiij单元变形单元刚度方程QK结构整体刚度方程新问题如何离散化？1231234eij如何单元分析？如何整体组装？平面刚架的有限元分析一个平面刚架问题考虑如下平面刚架问题，各几何尺寸、材料参数、外力P均已知。求:（1）A、B处约束反力？（2）C、D两点的位移？PPABDC超静定问题！！！一、平面刚架的有限元模型节点：i，j单元编号ePP1432123456单元(element):节点(node):1,2,3,44123456eij其中：e=1,2,3,4,5,6;i,j=1,2,3,4二、单元分析i截面法求内力：局部坐标系下单元节点内力向量：T'[,,,,,]eiiijjjpTqmTqmPP1432123456eijTjmjqjTimiqiy’x’O’局部坐标系：o’x’y’，其中o’x’沿杆轴线方向，由i点指向j点，o’y’垂直于杆轴线Ti：轴力qi：剪力mi：弯矩二、单元分析局部坐标系下单元节点位移向量：T'[,,,,,]eiiijjjff局部坐标系下单元变形：eij△jfj△ifiy’x’O’ij二、单元分析力与变形的关系局部坐标系单元受力eijTjmjqjTimiqiO’局部坐标系单元变形eij△jfj△ifiy’x’O’ijTT[,,,,,][,,,,,]iiijjjiiijjjTqmTqmff？二、单元分析线弹性、小变形范围内，由材料力学组合变形理论可知：轴向位移仅与轴力相关，弯曲挠度和转角仅与剪力和弯矩相关。单元分析的力学理论基础：eijTjmjqjTimiqieijTjTieijmjqjmiqi＝＋组合变形轴向拉伸变形平面弯曲变形二、单元分析1.单元轴向拉压分析由材料力学轴向拉压理论，轴向位移与轴力间满足线性关系：jjiiiijijijjTSSSST系数矩阵元素Sii，Sij，Sji，Sjj的力学含义及具体取值？ij1iij1iTiTjSii，Sji的含义：1,0ij10iiiijiijijjjijTSSSSSST二、单元分析由材料力学，1iiTlEAiiEASlij1iTiTj由平衡条件，0ijTTjiEASl二、单元分析同理ijEASlSjj，Sij的含义：0,1ijjj01iiiijijjijjjTSSSSSSTij1jij1jTiTjjjEASl二、单元分析局部坐标系下，单元节点轴向位移与节点轴力间的关系为iijjEAEATllTEAEAll二、单元分析2.单元弯曲分析局部坐标系下，单元弯曲分析满足如下式：32322232322212612664621261266264iiiijjjjEIEIEIEIllllqfEIEIEIEImllllqfEIEIEIEIllllmEIEIEIEIllll上节课内容！jeqimiqjmjjefifjiij二、单元分析323222323222000012612600646200000012612600626400iiiiiijjjjjjEAEAllEIEIEIEITllllqfEIEIEIEImllllTEAEAllqfEIEIEIEImllllEIEIEIEIllll局部坐标系下，拉压和弯曲组合变形单元刚度矩阵对称矩阵二、单元分析局部坐标系下刚架单元分析小结：单元变形分析'[,,,,,]eTiiijjjff单元内力分析'[,,,,,]eTiiijjjpTqmTqm单元刚度方程'''eeepK：局部坐标系单元节点内力向量：局部坐标系单元节点位移向量：局部坐标系单元刚度矩阵'ep'e'eK三、单元刚度矩阵的坐标变换节点位移向量的坐标变换f△y’x’O’oyxuv总体位移坐标uv局部位移坐标'fcossinsincosuvfuv坐标变换总体坐标系：oxy，局部坐标系：o’x’y’三、单元刚度矩阵的坐标变换节点位移的坐标变换矩阵表达cossin0sincos0001ufv单元位移的坐标变换矩阵表达cossin0000sincos0000001000000cossin0000sincos0000001iiiiiijjjjjjufvufv三、单元刚度矩阵的坐标变换单元位移的坐标变换矩阵表达'eeeTcossin0000sincos0000001000000cossin0000sincos0000001eT其中：Te称为单元坐标变换矩阵1TeeTT三、单元刚度矩阵的坐标变换同理，可得单元节点内力的坐标变换关系'eeepTp总体坐标内力向量T,,,,,eixiyijxjyjpTTmTTm局部坐标内力向量T',,,,,eiiijjjpTqmTqm其中：单元节点内力的坐标变换关系qTy’x’O’oyxmTyTx三、单元刚度矩阵的坐标变换单元节点位移和节点内力的坐标变换矩阵表达'eeeT'eeepTp'''eeepK代入局部坐标系下的单元刚度方程得'eeeeeTpKT三、单元刚度矩阵的坐标变换'eeeeeTpKT1'eeeeepTKT1TeeTTT'eeeeepTKTT'eeeeKTKTeeepK总体坐标系下的单元刚度方程坐标变换下的单元分析小结1.求局部坐标系中的单元刚度矩阵2.求坐标变换矩阵3.总体坐标系中的单元刚度矩阵'eKeTT'eeeeKTKT四、总体刚度矩阵的组装PP1432123456组装原理：位移协调条件节点平衡条件位移协调条件：各单元共享节点的位移相等节点平衡条件：各节点单元内力与节点外力构成平衡力系四、总体刚度矩阵的组装•节点平衡条件的矩阵表达32xTPP1432123456以2号节点为例2P52yT52m52xT62yT62m62xT32yT32m32xT2P52yT52m52xT62yT62m62xT32yT32m32xT2号节点平衡方程四、总体刚度矩阵的组装000XYM35622235622235622200xxxyyyTTTTTTPmmm611611611nekixixeknekiyiyeknekiiekTPTPmM归纳对第i号节点四、总体刚度矩阵的组装611611611nekixixeknekiyiyeknekiiekTPTPmM作用在第i号节点上的所有单元节点内力和作用在第i号节点上的所有节点外力和61eeeKQ对所有节点由整体坐标系下的单元刚度方程eeepK111222333444,,,,,,,,,,,Tuvuvuvuv四、总体刚度矩阵的组装令：结构节点总体位移向量111222333444,,,,,,,,,,,TxyxyxyxyQQQMQQMQQMQQM结构节点总体外力向量结构总体刚度矩阵61eeKKKQ结构总体刚度方程如何求和？四、总体刚度矩阵的组装的含义?61eeKK1212K对应结构所有节点自由度：111222333444,,,,,,,,,,,Tuvuvuvuv66eK对应单元两个节点自由度：[,,,,,]eTiiijjjuvuv如何扩展？为了叠加，将扩展为12×12。66eKPP1432123456166K对应节点自由度为1111333[,,,,,]Tuvuv扩展到总体自由度后，需使下式成立：111661212KK166K为例以111111111213141516111111212223242526111111313233343536112121111114142434445461111115525354555616162000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK1112223311111363646566444000000000000000000000000000000000000000000uvuvuvKKKKuv122233340,0,,,,,,,,0,0,Tuvuv五、边界条件的引入和总体方程的求解1144,,0,0,,0,0,,0,,,0TxyxyQRRppRR力的边界条件划去总体刚度矩阵的1，2，10，11行、列位移边界条件（1，4号节点受固定铰约束）PP1432123456888181KQ可解本节课小结有限元法求平面刚架基本过程第一步，对平面刚架进行离散化，划分为有限个单元；第二步，对各结点和单元进行编码；第三步，对各单元在其局部坐标系中单元分析；第四步，对各单元形成局部坐标与总体坐标变换矩阵，并形成总体坐标系中的单元刚度矩阵第四步，进行整体分析，形成整体刚度矩阵。第五步，引入边界条件。边界条件的引入可以使问题具有解的唯一性。第六步，求解方程组，计算结构的整体结点位移。第七步，求单元内力，未知外载荷。作业1.。1(000)2(123)3(004)10kN8kN6kN10kNm12kN/mABC2.5m21xyO2.5m2.如图所示的刚架结构ABC，各杆截面尺寸相同，材料性质一样，求刚架的整体刚度矩阵。杆长：截面面积：弹性模量：截面惯性矩