等差数列的前n项和的最值

2.2等差数列的前n项和（第二课时）——等差数列的前n项和的函数特性及最大致与最小值等差数列的前n项和公式:2)1nnaanS（dnnnaSn2)11（形式1:形式2:复习回顾一、常用数列的求和方法：2222111+2+3++n=nn+12n+1623333nn+121+2+3++n=2122334nn+11n+11111n++++=aaaaaaaaaa(3)裂项法：设{an}是等差数列，公差d≠0nn+1nn+11111=-aadaa其中新课讲授n1111S=++++1335572n-12n+1求和n11111111S=1-+-+-++-2335572n-12n+111=1-=22n++1n2n1(4)倒序相加法：用于与首末两端等距离的和相等。.将等差数列前n项和公式看作是一个关于n的函数，这个函数有什么特点？2)1(1dnnnaSnSn是关于n的二次式，常数项为零。（d可以为零）21()22nddSnan则Sn=An2+Bn令1,22ddABa新课讲授结论1：若数列{an}的前n项和为Sn=pn2+qn，(p,q为常数)是关于n的二次式，则数列{an}是等差数列。{an}是等差数列Sn=pn2+qn(p,q为常数,d=2p)当d≠0时,Sn是常数项为零的二次函数若C≠0，则数列{an}不是等差数列。若C=0，则{an}为等差数列；结论2：设数列{an}的前n项和为Sn=An2+Bn+C，(A,B,C是常数）当d=0时,Sn=na1不是二次函数例1若一个等差数列前3项和为34，最后三项和为146，且所有项的和为390，则这个数列共有______项。13例2已知数列{an}中Sn=2n2+3n，求证：{an}是等差数列.例1、若等差数列{an}前4项和是2，前9项和是－6，求其前n项和的公式。，dada89219634214211解之得：15715181da解：设首项为a1，公差为d，则有：∴。n3043n307)157(1)n(n21n1518S2n设Sn=an2+bn，依题意得：S4=2,S9=－6,,99644222baba即解之得：,3043307ban。nSn30433072另解：等差数列的前n项的最值问题例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.解法1由S3=S11得11313321113111022dd∴d=－2113(1)(2)2nSnnn214nn2(7)49n∴当n=7时,Sn取最大值49.等差数列的前n项的最值问题例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.解法2由S3=S11得d=－20∴当n=7时,Sn取最大值49.则Sn的图象如图所示又S3=S11所以图象的对称轴为31172n7n113Sn等差数列的前n项的最值问题例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.解法3由S3=S11得d=－2∴当n=7时,Sn取最大值49.∴an=13+(n-1)×(-2)=－2n+15由100nnaa得152132nn∴a7+a8=0等差数列的前n项的最值问题例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.解法4由S3=S11得∴当n=7时,Sn取最大值49.a4+a5+a6+……+a11=0而a4+a11=a5+a10=a6+a9=a7+a8又d=－20,a1=130∴a70,a80解:由S3=S11得d0，则d/2＜0∴当n=7时,Sn取最大值49.则Sn的图象开口向下，如图所示又S3=S11所以图象的对称轴为31172n7n113Sn例1的变式题一：等差数列{an}中，首项a1０，S3=S11，问：这个数列的前几项的和最大？例2：已知数列{an}是等差数列，且a1=21，公差d=－2，求这个数列的前n项和Sn的最大值。S11最大为121的前n项和为,②当n为何值时，最大，s22最大①数列的通项公式an=-8n+48nsnansna已知求：例3设等差数列0,24113sa求等差数列前n项的最大(小)的方法方法1:由利用二次函数的对称轴求得最值及取得最值时的n的值.21()22nddSnan方法2:利用an的符号①当a10,d0时,数列前面有若干项为正,此时所有正项的和为Sn的最大值,其n的值由an≥0且an+1≤0求得.②当a10,d0时,数列前面有若干项为负,此时所有负项的和为Sn的最小值,其n的值由an≤0且an+1≥0求得.练习:已知数列{an}的通项为an=26-2n,要使此数列的前n项和最大,则n的值为()A.12B.13C.12或13D.14C当d≠0时,Sn是常数项为零的二次函数21()22nddSnan则Sn=An2+Bn令1,22ddABa小结Sn是关于n的二次式，常数项为零。（d可以为零）结论1：若数列{an}的前n项和为Sn=pn2+qn，(p,q为常数)是关于n的二次式，则数列{an}是等差数列。{an}是等差数列Sn=pn2+qn(p,q为常数,d=2p)若C≠0，则数列{an}不是等差数列。若C=0，则{an}为等差数列；结论2：设数列{an}的前n项和为Sn=An2+Bn+C，(A,B,C是常数）小结结论:3：等差数列前n项和不一定是关于n的二次函数：2)1(1dnnnaSn21()22nddSnan（1）当d≠0是，sn是项数n的二次函数，且不含常数项；（2）当d=0是，sn=na1,不是项数n的二次函数。反之，关于n的二次函数也不一定是某等差数列的和。若C≠0，则数列{an}不是等差数列。若C=0，则{an}为等差数列；Sn=An2+Bn+C，