15_黎曼积分的概念

中)3(nRn第十章重积分及第一型曲线曲面积分分割-近似-求和-取极限分割-近似-求和-取极限第一节黎曼积分的概念及性质一、质量问题二、黎曼积分的定义三、什么样的函数黎曼可积四、黎曼可积的性质非均匀分布时“直线段”质量问题..ABxyOab)(xbxxxxxxannii1110分割：1ixix..回忆一元积分一、质量问题非均匀分布时“直线段”质量问题工程中一些梁的非均匀承载问题可归结为这类问题...ABxyOab)(xbxxxxxxannii1110分割：1ixix..均匀分布时：质量=密度×长度1ixix.i)(i..ABxyOab)(x............................)(miiixniiix1)(mi代替：求和：)(miiix对每一个小区间niiix10)(limm令,}{max1inix取极限得这就是定积分nibaiixxx10d)()(limmniiix10)(limm令,}{max1inix取极限得这就是定积分nibaiixxx10d)()(limmniiixxx1I0d)()(limm一般记为非均匀分布时“曲线段”质量问题niiixxx1I0d)()(limmAB..............................i..............................AB)(miiix将一元函数积分进行推广niiixxx1I0d)()(limmAB..............................i..............................A),(iiB)(miiix),(miiiis？平面曲线非均匀分布时“曲线段”质量问题niiixxx1I0d)()(limmAB..............................i..............................A),(iiB)(miiix),(miiiisniLiiisyxs10d),(),(limm？平面曲线均匀分布时：质量=密度×弧长非均匀分布时“曲线段”质量问题设平面曲线L上非均匀地分布着质量,其分布密度为将曲线L任意分割成n个小段,iL每小段的弧长记为.is),(ii,iL则每小段上的质量可近似地表示为im.),(iiis令,}{max1inis求和并取极限便得曲线L的质量为niiiis10),(limmLsyxd),().,(yx,D),(yxiD),,2,1(ni,iiiii),(miiiD),(}{max1ini....................非均匀分布时平面薄板质量问题均匀分布时：质量=密度×面积继续进行推广),(yx),,2,1(ni,iiiii),(miiiD),(}{max1ini),(limm10iniiid),(Dyx,DiD....................在直角坐标系中,用平行于坐标轴的坐标网格进行分割,则.dddyx非均匀分布时平面薄板质量问题设平面薄板D上非均匀地分布着质量,其分.),(yx布密度为将区域D任意分割成n个小块,Di每小块的面积记为.i),(ii,Di则每小块上的质量可近似地表示为im.),(iii令,}{max1ini求和并取极限便得薄板D的质量为),(limm10iniiid),(Dyx,),,(zyxi),,2,1(ni,iSiiii),,(iiiiiS),,(m}{max1iniSiniiiiS10),,(limmSzyxd),,(............非均匀分布时“曲面”质量问题继续进行推广非均匀分布时“立体”质量问题均匀分布时：质量=密度×体积继续进行推广我们已经连续解决了四个这类型的问题,所用方法相同:分割—代替—求和—取极限以上讨论的几个问题的共同点：对自变量的取值范围作任意分割.形式相同的和式：niQ1(函数在某点的值)×(小几何体的度量值)形式相同的极限：Q0limImax{分割后小几何体的度量值}具有任意性看成均匀变化时,所求量可表示为两个量的乘积.所求量对区域具有可加性.二、黎曼积分的定义设为空间nR)3(n中可度量的几何形体，)(Xf式定义在上的有界函数，任意分割为m个可度量的小几何形体i,),,2,1(mi它们的度量值记为。i记。}{max1imiii,),,2,1(mi作和式,)(1miiif称此和式为函数)(Xf在上的黎曼和。若极限miiif10)(limI存在，且与对的分割方式及点i的选择方式无关，则称此极限将值I为函数)(Xf在上的黎曼积分，此时称函数在上是黎曼可积的，记为记为)(limd)(I10miiifXf)()(RXf其中，——积分号；)(Xf——被积函数；——积分区域；d——积分元素。非均匀分布时“直线段”质量问题d)(IXfbaxxfd)(定积分Rba],[非均匀分布时平面薄板质量问题Dd),(yxfd)(IXfDdd),(yxyxfd)(IXf直角坐标系二重积分2DR非均匀分布时“立体”质量问题d)(IXfvzyxfd),,(d)(IXfzyxzyxfddd),,(直角坐标系三重积分3R非均匀分布时“曲线段”质量问题d)(IXfLsyxfd),(对弧长的曲线积分2RLLd)(IXfLsyxfd),(L为封闭曲线平面曲线非均匀分布时“曲线段”质量问题d)(IXfszyxfd),,(对弧长的曲线积分3Rd)(IXfszyxfd),,(为封闭曲线空间曲线非均匀分布时“曲面”质量问题d)(IXfSzyxfd),,(对面积的曲面积分3Rd)(IXfSzyxfd),,(∑为封闭曲面三、什么样的函数可积(黎曼可积)根据黎曼积分的定义可以得出：若,)()(CXf则。)()(RXf若)(Xf在内有界，且在除去中有限个低于所在空间维数的几何形体外连续,则。)()(RXf四、黎曼积分性质黎曼积分的性质设为R3中的可度量的几何形体，,)()(RXf则)(limd)(10niiifXf黎曼积分应具有一些极限所具有的性质这就是说，性质1若,1)(XXf则。||d)(Xf其中，||为区域的度量值。回想上节课讲的质量计算以及在均匀变化时质量=密度×几何形体的度量值就可以理解这个性质。二重积分：相当于以D为底，高为1的平顶柱体体积V=|D|。定积分abxbad(区间[a,b]的长度)二重积分|D|dD(平面区域D的面积)(R3中立体的体积)||dv三重积分曲线积分||dLsL(平面曲线L的弧长)曲面积分||dS(曲面∑的面积)例1计算,d4D。}4|),{(D22yxyx解这相当于质量问题中的4(均匀分布)故Dd4)2(4216Dd4Dd4)2(4216常数因子提出来？极限中有这个性质没有？比较一下：以D为底高为4的平顶柱体体积例2性质2(线性性质)若,)(Xf,)()(RXg、为实数，则,)()()(RXGXf且d)()(XgXfd)(d)(XgXf该性质可以推广至有限个函数的线性组合情形观察，比较这两个图形，看将D分成D1+D2时应满足什么条件？2D1D1D2D性质3(对积分区域的可加性)叙述性质3设,)()(RXf将任意分成可度量的两个部分：,211与2除边界外无其它公共部分，则,)()(1RXf,)()(2RXf且21d)(d)(d)(XfXfXf12想一想：分成下面的1与2行不行？将行！可以将性质3中的任意分成有限个只有公共边界的部分：21n叙述性质4设,)()(RXf,0)(Xf,X则0d)(Xf性质4的推论1（比较性质）设,)()(,)(RxgXh,)()(XgXh,X则d)(d)(XgXh)()()(xgXhXf性质40)(Xf0d)(Xf推论1)()(XgXhd)(d)(XgXh推论2绝对值不等式|)(|)(|)(|XfXfXfd|)(||d)(|XfXf推论1和推论2的详细叙述和证明请看书。f(X)＝h(X)－g(X)看就看看就看估值定理极值，有界性性质5(估值定理)设,)()(RXf且,)(MXfmX则有。||d)(||MXfm..二维空间两个圆柱体之间若,)()(CXf是有界闭区域，则函数)(Xf在上必取到它的最大值和最小值各一次。设,)(maxXfM)(minXfm则||d)(||MXfm即d)(||1MXfm由这个式子，你能得到一个什么样的结论？若,)()(CXf是有界闭区域，则函数)(Xf在上必取到它的最大值和最小值各一次。设,)(maxXfM)(minXfm则||d)(||MXfm即d)(||1MXfm由这个式子，你能得到一个什么样的结论？连续函数的介值定理看看你得到的结论是不是下面叙述的形式。性质6(积分中值定理)若,)()(CXf是有界闭区域，则至少存在一点,使得||)(d)(d)(ffXf现在看这里如果,0)(f会有什么结果出现？0||)(d)(fXf性质6(积分中值定理)若,)()(CXf是有界闭区域，则至少存在一点,使得||)(d)(d)(ffXf现在看这里如果,0)(f会有什么结果出现？0||)(d)(fXf是有界闭区域，则至少现在看这里需要什么条件来保证0)(f0)(Xf/能不能确保中值定理中的？0)(f如果在区域上恒有0)(Xf则可保证0)(f还不能)()(CXf存在U(X0),使得f(X)0。保号性行了至少存在一点X0,使得f(X)0。0)(Xf性质6的推论1若,)()(CXf是有界闭区域，且有,0)(Xf,X但,0)(Xf/则0d)(Xf你能根据刚才的分析证明这个推论吗？证由于0)(Xf及,0)(Xf/所以,0X使。0)(Xf,)()(CXf而故由连续函数的保号性可知：)(U0X使0)(Xf)(U0XX令,)(U01X,)(U02X则,21且0)(Xf,1X0)(Xf,2X用积分的保号性性质:≥0用积分中值定理:0自己在纸上画一下的图形从而,0d)(1Xf0d)(2Xf由积分对区域的可加性(性质3),得d)(Xf1d)(Xf2d