可靠性理论第二章

可靠性理论第二章可靠性的概率统计知识可靠性定义：产品、设备、系统在规定时间内，规定条件下，完成规定功能的可能性及能力。概率论和数理统计是可靠性工程重要的数学基础。2.l可靠性特征量可靠度可靠度是“产品在规定条件下和规定时间内完成规定功能的概率”。可靠度是时间t的函数，故也称为可靠度函数，记作R(t)。通常表示为R(t)=P(Tt)R(0)=1，R(+∞)=0。R(t)的估计值为R(t)=NtnNt）（－＝试验的产品总数仍在正常工作的产品数到时刻例如：某型号的10000手机在一年共有10部次发生了功能性故障（不能正常使用部），该型号手机在一年内的可靠度为：R(1)＝(10000-10)/10000=0.999可靠度函数随时间递减的函数t累积失效概率F(t)累积失效概率是寿命的分布函数，也称为不可靠度，记作F(t)。它是产品在规定的条件下和规定的时间内失效的概率，通常表示为F(t)=P(T≤t)或F(t)=1－R(t)F(0)=0，F(+∞)=1。t随时间递增的函数F(t)不可靠度假定产品要么处于正常工作状态，要么处于故障状态，可靠性与故障可以表述为两个对立的事件。可靠度函数与累计故障分布函数的关系为：R（t）+F（t）=1由于F(t)=1-R(t),因此，累积故障分布函数通常也成为不可靠度。失效概率密度f(t)失效概率密度是累积失效概率对时间t的导数，记作f(t)。它是产品在包含t的单位时间内发生失效的概率，可用下式表示f(t)=或F(t)=)()(tFdttdFtdxxf0)(f(t)F(t)R(t)ttF(t)、R(t)和f(t)三者的关系F(t)的估计值Ntnt）（＝试验的产品总数时刻失效的产品数到Ff（t）的估计值试验的产品总数产品数）内每单位时间失效的＋，在时间（ttt)()()(ttFttFtftNtntNtnttn)()()(＝服从指数分布的密度函数f(x)为：f(t)服从指数分布下的分布函数000)(xxexfx当故障率f(t)服从指数分布时：)(1)(1)()(000tFeedxetReedxedxetFttxxtttxxtxtt指数分布的概率密度函数f(t)0λ失效率(t)失效率(瞬时失效率)：“工作到t时刻尚未失效的产品，在该时刻t后的单位时间内发生失效的概率”。也称为失效率函数。由失效率的定义可知，在t时刻完好的产品，在(t，t+△t)时间内失效的概率为P(tT≤t+△tI|Tt)，在时间内的平均失效率为当△t→0时，就得到在t时刻的失效率ttTttTtPtt)|(),(t),()(lim0tttt)()()()()()()('00limlimtRtFttRtFttFttTPttTtPtt产品的失效率越小，产品的可靠性越高；反之，失效率越大，产品的可靠性就越低。的估计值为:)()()()()(1)()(''tRtRtRtftFtFt)()()('tRtRt)()()(tRtdRdtt0()ln()ttdtRttdtttR0))(exp()()(tttnNttttt))(()(nt),()(＝仍正常工作的产品数在时刻品数内每单位时间失效的产在时间失效率的单位是一个非常重要的特征量,它的单位通常用时间的倒数表示。)(t低故障的元器件常以10-9/h为故障率的单位，称之为菲特（Fit）如果产品服从指数分布，故障率为常数λ，此时可靠度为R(t)=e-λt。TB=交付时间点TW=耗损时间点早期失效期偶然失效区耗损失效区TwTB制造缺陷工艺缺陷元件缺陷固有缺陷耗损故障时间失效率浴盆曲线浴盆曲线：产品的可靠性取决于产品的失效率，失效率曲线又称为浴盆曲线(Bathtub-curve)。时间瞬时故障率制造和筛选可靠性预计和验证耗损机理分析早期故障随机故障耗损故障...开箱合格率...预计和试验与环境和应力相关的疲劳和衰减机理增加检查点•改善抗恶劣环境设计•老化试验•环境应力筛选试验•可靠性评估•可靠性预计•可靠性增长试验•高加速寿命试验•材料特性•使用数据积累和分析•加速寿命试验•系统寿命模型浴盆曲线的进一步说明BathtubcurveforacarY轴Life(miles)FailrateBurn-inillustrationFailurerateY轴Life（miles）WearoutUsefulEarlyTburn-in?PreventivemaintenanceFailurerateY轴Life（miles）WearoutEarlyWearout平均寿命平均寿命是寿命的数学期望，平均寿命是标志产品平均能工作多长时间的特征量。如显像管、电视机、空调、计算机等常用平均寿命作为可靠性指标。不可修复(指失效后无法修复或不修复而进行替换)产品的平均寿命是指产品失效前的平均工作时间，记为MTTF(MeanTimeToFailure)；可修产品的平均寿命是指相邻两次故障间的平均工作时间，称为平均无故障工作时间或平均故障间隔时间，记作MTBF(MeanTimeBetweenFailures)。如果仅考虑首次失效前的一段工作时间，那么二者就没有什么区别了，统称为平均寿命。0)(dtttfMTTF的估计值为:n——测试的产品总数；——第i个产品失效前的工作时间，单位为h。MTBF的估计值为:n——测试的产品总数；N——测试产品的所有故障数；ni——第i个测试产品的故障数；tij――第i个产品的第j－1次故障到第j次故障的工作时间。MTTF和MTBF的估计值可表示为:niitnMTTF11itninjijitNMTBF111N1iitN1＝＝总的故障数所有产品总的工作时间举例:1000块表工作1星期.在这段时间内，有两个故障发生hoursMTTF000,84224*7*1000故障数量总工作时间寿命方差和寿命标准差平均寿命能够说明一批产品寿命的平均水平，而寿命方差和寿命标准差则能够反映产品寿命的离散程度。产品的寿命方差定义为:假如t1，t2，…，tn为从一批产品中所抽取的n个样品的寿命数据，则这批产品的平均寿命可用来估计。而这批产品的寿命方差的估计值为:寿命均方差（标准差）为:202022)()()(dttftdttftniitn11212)(1niitnniitn12)(1当n不大时，或对于小子样来说，其寿命方差和标准差分别为:212)(11niitnniitn12)(11可靠寿命、中位寿命和特征寿命当R(t)已知时，可以求出任意时间t的可靠度，反之，若确定了可靠度，也可以求出相应的工作寿命(时间)。可靠寿命就是指可靠度等于给定值r时产品的寿命，记作t(r)，即R[t(r)]=r。可靠寿命的表达式为:式中的是R(t)的反函数。当R＝0.5时产品的寿命称为中位寿命，即:当只0.368时产品的寿命称为特征寿命，即:)()(1rRrt1()()Rtr)5.0()5.0(5Rt)368.0()368.0(1Rt例：若已知某产品的失效率为常数,，可靠度R(t)=e试求可靠度R=99％的可靠寿命t(0.99)以及中位寿命t(0.5)和特征寿命t(e-1)。解：已知R(t)=e，两边取对数，即lnR(t)=-得故可靠寿命:中位寿命:特征寿命:41025.0)(tttt)(lntRtht4021025.0)99.0ln()99.0(4ht6.277251025.0)5.0ln()5.0(4heet400001025.0)ln()(411例：对某不可修设备，投入100台进行试验，试验到1000h有5台失效，继续试验到1200h，又有1台失效，至试验结束时所有设备失效，总的工作时间为106h，试求R(1000)，F(1000)，1000)，f(1000)以及设备的平均寿命。解：由题意知：N=100,n(1000)=5，=1200—1000=200h，n(1000)=1，T=106h。根据前面所讲的公式得:t95(1000)(1000)0.95100RR5(1000)(1000)0.05100FFhff/1052001001)1000()1000(5h/1026.5200951)1000()1000(5h461010010小练习某洗衣机在1999年的广告中称其MTBF为5000小时，问：假设有1000台洗衣机，大概有多少台工作到5000小时不坏？2.2维修性特征量维修性是指在规定的条件下使用的可维修产品，在规定的时间内，按规定的程序和方法进行维修时，保持或恢复到能完成规定功能的能力。规定的条件是指维修三要素：产品维修的难易程度(可维修性)；维修人员的技术水平；维修设施和组织管理水平(备用件、工具等的准备情况)。如果把产品从开始出故障到修理完毕所经历的时间，即把故障诊断、维修准备及维修实施时间之和称为产品的维修时间，记为Y。显然，它是一个随机变量。把产品维修时间Y所服从的分布称为维修分布，记为G(t)。G(t)=P(Y≤t)像产品的失效分布一样，维修时间的分布可以通过对维修数据的处理分析获得大致了解。同样，像衡量产品的可靠性一样，产品的维修性亦可采用维修度、平均修复时间、修复率指标加以衡量。维修度维修度(Maintainability)是指在规定的条件下使用的产品发生故障后，在规定的时间(0，t)内完成修复的概率，记为M(t)。M(t)=P(Y≤t)=G(t)维修度是时间(维修时间t)的函数，故又称为维修度函数M(t)，它表示当t=0时，处于失效或完全故障状态的全部产品在t时刻前经修复后有百分之多少恢复到正常功能的累积概率。修复率修复率指修理时间已达到某一时刻但尚未修复的产品在该时刻后的单位时间内完成修理的概率，可表示为(t)。它是用单位时间修复发生故障的产品的比例来度量维修性的一个尺度。式中m(t)——维修时间的概率密度函数，即若M(t)服从指数分布，即则修复率为常数。)(1)()()(11)(tMtmdttdMtMtdttdMtm)()(tetM1)(平均修复时间MTTR平均修复时间是指可修复的产品的平均修理时间，其估计值为修复时间总和和修复次数之比，记作MTTR(MeanTimeToRepair)。若修复时间服从指数分布，则平均修复时间是修复率的倒数，即可靠性是由设计、制造、使用等因素所决定的，而维修性是人为地排除故障，使产品的功能恢复，因而人为因素影响更大。0)()(ttdMYEMTTR1MTTR例2.2.1某电视机厂的维修站修理了该厂生产的20台电视机，每台的修理时间(单位min)如下：48，59，68，86，90，105，110，120，126，128，144，150，157，161，172，176，180，193，198，2000试求：(1)160min的维修度；(2)MTTR；(3)120min时的修复率，t=15min。解：(1)(2)(3)65.02013)160(MtM，于是维修总台数时间内修复的台数，于是维修总台数各台维修时间总和MTTRmin55.133min20/)200198685848(MTTR＝%1.115122120t),()(）（，于是仍未维修好的台数到时刻内修复的台数在时间区间ttttt2.3有效性特征量有效性也称可用性。它是综合反映可靠性和维修性的一个重要概念，是一个反映可维修产品使用效率的广义可靠性尺度