数学史融入中学数学教学的实践与案

汪晓勤华东师范大学教师教育学院数学史融入中学数学教学的实践与案例杭州2017-04-27数学史融入中学数学教学的实践与案例背景概念与思想公式与定理问题与求解结语•如何在数学教学中体现“立德树人”的根本任务，如何实施数学学科德育，日益受到人们的关注。•国际上，数学核心素养的内涵涉及知识、能力、思维、情感，而国内目前的数学核心素养框架中并未涉及数学情感。•数学史与数学教育之间的关系（HPM）是今日数学教育领域的热门课题。•数学史融入数学教学的成效在实践中得到了检验，越来越多的中学一线教师对HPM产生浓厚兴趣。•如何设计、实施、评价HPM课例？HPM视角下的数学教学实践是否可以促进教师的专业发展？背景为什么要将数学史融入数学教学？融入什么？如何融入？背景数学史料•人物事件•概念术语•数学问题•公式定理•学科思想•工具符号选材原则•趣味性•可学性•科学性•有效性•新颖性运用方式•附加式•复制式•顺应式•重构式效果评价•知识之谐•方法之美•探究之乐•能力之助•文化之魅•德育之效背景教师专业发展信念知识能力教学内容知识学科内容知识内容与课程知识（KCC）内容与教学知识（KCT）内容与学生知识（KCS）专门内容知识（SCK）水平内容知识（HCK）一般内容知识（CCK）教学取向的数学知识（MKT）的构成背景HPM课例的设计、实施和评价数学史融入中学数学教学的实践与案例背景概念与思想公式与定理问题与求解结语教学设计引入•古埃及一元一次方程问题探究•古希腊丢番图问题的求解形成•用字母表示任意数或一类数巩固•字母表示数的应用小结•字母表示数的意义案例1用字母表示数案例1用字母表示数案例1用字母表示数问题1：一个量，加上它的2/3，它的1/2和它的1/7，等于33。求该量。21133327xxxx案例1用字母表示数问题2：已知两数的和与差，你能求出这两个数吗？公元前1700年16世纪公元3世纪古巴比伦人修辞代数：用文字来表达一个方程丢番图缩略代数：用字母表示未知数符号代数用字母表示任意数韦达案例1用字母表示数案例1用字母表示数问题3：搭5个正方形，需要几根火柴棍？搭任意多个正方形呢？44+134+234+33生：任意多个正方形所需火柴棍数：4+(正方形个数-1)3案例1用字母表示数知识之谐经历从字母表示未知数到字母表示任意数的自然过程探究之乐积累数学活动经验文化之魅字母表示数的历史德育之效数学思想发展的曲折与艰辛学生教师内容与课程知识（KCC）字母表示数的历史内容与学生知识（KCS）从字母表示未知数到字母表示任意数的困难内容与教学知识（KCT）借鉴代数学的历史来设计教学《太上感应篇》“入重出轻”的故事。案例2反比例函数引入案例2反比例函数banmOAB案例2反比例函数数据a(cm)n(g)b(cm)m(g)第1次8100450第2次810012150第3次810016200a和n不变,b和m之间的正比例关系新课探究banmOAB案例2反比例函数a和m不变,b和n之间的反比例关系数据a(cm)m(g)b(cm)n(g)第1次81001650第2次81008100第3次81004200总结：当n增加时，b却减少，b随n的增加而减小。且满足bn=am=非零常数，b与n成反比例。案例2反比例函数定义：设b=y，n=x，则y=k/x。形如y=k/x（k为常数，且k0）的函数成为反比例函数，其中x是自变量，y是x的函数，k是比例系数。概念形成辨析：（1）对“形如”怎样理解？（2）怎样理解“k为常数，且k0”？（3）反比例函数与前面所学的什么知识有联系？（4）为什么成为反比例函数？教学设计引入•笛卡儿的故事探究•如何表示天花板上的苍蝇的位置？形成•直角坐标的概念巩固•在直角坐标系中求点的坐标小结•直角坐标系的意义案例3直角坐标系案例3直角坐标系从那天起，当它们臆测又一个真理揭开了面容在地狱般的圈栏暴发出一阵阵哀鸣案例3直角坐标系缪斯女神把这光芒馈赠毕达哥拉斯要把祭礼行百牛烤熟又切片难表心中感激之情难阻真理发现者的暴行毕氏让它们永不得安宁它们瑟瑟颤抖着绝望地闭上了眼睛复习旧知：数轴的三要素；笛卡儿的故事；问题1：苍蝇向右爬5cm，如何表示它的位置？问题2：苍蝇向左爬5cm，如何表示它的位置？案例3直角坐标系问题3：苍蝇向上爬5cm，如何表示它的位置？问题4：苍蝇向右爬3cm，再向上5cm，如何表示它的位置？S：用+3表示。T：那如果苍蝇向上爬了6cm，7cm，又如何表示它的位置呢？S：还是+3。T：可是，苍蝇的位置明明不同啊？案例3直角坐标系问题4：苍蝇向右爬3cm，再向上5cm，如何表示它的位置？案例3直角坐标系S：用8来表示。T：那么如果苍蝇先向右爬4cm，再向上爬4cm，那你怎么表示？S：还是8。T：不同的位置，但是你却用同一个数来表示，同学们觉得这样可行吗？S：不可行。问题4：苍蝇向右爬3cm，再向上5cm，如何表示它的位置？案例3直角坐标系S：用“5垂直于3”表示。T：那如果苍蝇向左爬了3cm，再向上爬了5cm呢？S：“5垂直于-3”。T：这位同学很棒，用两个数来表示点的位置，那么能不能再简练一点呢？S：53。S：5.3。S：5/3。问题4：苍蝇向右爬3cm，再向上5cm，如何表示它的位置？T：还有其他表示方法吗？[有两组学生开始用量角器与直尺]S7：北偏东50。T：……T：我们将5垂直于3表示为（3,5）。案例3直角坐标系案例3直角坐标系知识之谐经历坐标概念的自然发生过程探究之乐体验成功的快乐、积累数学活动经验文化之魅数学与现实生活之间的联系德育之效兴趣、自信心、亲近数学学生教师内容与课程知识（KCC）直角坐标系的历史内容与学生知识（KCS）从一维到二维的困境内容与教学知识（KCT）借鉴坐标概念的历史来设计教学水平内容知识（HCK）直角坐标系与数轴的联系案例4函数的概念函数概念的历史案例4函数的概念总之有自变量、因变量且一个x有且仅有一个y的值与其对应的式子案例4函数的概念师：关于函数概念，同学们并不陌生。现在，请大家回忆一下，初中数学中的函数是怎么定义的？引入L.Euler(1707–1783)案例4函数的概念欧拉的函数定义(1748)：一个变量的函数是由该变量和一些数或常量以任何方式组成的解析式。——《无穷分析引论》德摩根《代数学》的定义(1837)：A.deMorgan(1806-1871)案例4函数的概念Anyexpressionwhichcontainsxinanywayiscalledafunctionofx.李善兰的译文：“凡式中含天，为天之函数。”这便是中文“函数”名称的由来。案例4函数的概念例1(课本)：表1列出了男子一百米栏项目从1900年开始的世界纪录创立的时间和成就，请思考：（1）统计表中有哪几个变量？是什么？（2）当时间年份确定时，相应的世界纪录成绩是否确定？能写出成绩随时间变化的关系式吗？年份19001908192019361959197319932006成绩15.41514.814.213.213.112.9112.88男子100米栏世界纪录统计表案例4函数的概念概念生成从“解析式”到“变量依赖关系”案例4函数的概念问题：下图为某天沪深300指数随时刻变化的图像。该图像体现了指数和时刻之间的关系，那么这两个变量之间的关系能否用一个解析式来刻画呢？如果某个量依赖于另一个量，当后面这个量变化时，前面这个量也随之变化，则前面这个量称为后面这个量的函数。——《微分学基础》L.Euler(1707–1783)案例4函数的概念欧拉的新定义（1755）：案例4函数的概念例2：y=0(xR)是不是一个函数？说明理由。师：初中阶段我们学习了具体的一次、二次函数等，在这些函数中，变量y与x之间就有明确的依赖关系。但是，利用“依赖关系”来刻画函数，是否尽善尽美了呢？从“变量依赖关系”到“变量对应关系”课前的问卷调查表明：161人中有65人认为它不是函数关系，占比40.37%。理由是：y不随x的变化而变化；没有y与x的关系式；x与y之间没有关系；y没有依赖x的变化而改变，…………………………是60%否40%案例4函数的概念例2：y=0(xR)是不是一个函数？说明理由。师：那我们该怎样描述这两个变量之间的关系呢？重新审视函数y=0(xR)，无论怎样变化，的值都是以不变应万变，此处的关键词“应”即为“对应”之意，也就是对每一个的值，都有的值0与之对应。我们能否从这样一个新的视角来理解前面遇到的例子呢？生：男子100米栏世界纪录表中，对于每一个出现的年份，都能找到一个世界纪录与之对应；而在沪深指数图像中，每一个时刻都有一个确定的股票指数与之对应。案例4函数的概念师：理解得很到位，那么对于我们熟悉的函数y=2x2呢？生：对每一个x的值，都有y的值与之对应。师：我们还发现，对于变量x的每一个值，y都有唯一的值与之对应，说明我们同样可以从对应的角度来理解曾经学习过的函数。通过以上实例的分析，同学们能否提炼并概括一下这些关系的共同特征？生：以上函数关系中，对变量x的每一个值，变量y都有唯一确定的值与之对应。案例4函数的概念师：那么，能不能用集合的语言和对应关系来描述初中所学的函数概念呢？生：如果在某个变化的过程中有两个变量x和y，对于某个实数集合D内的每一个确定的x，y都有唯一确定的值和它对应，那么y就是x的函数，x叫做自变量，x的取值范围叫做函数的定义域，和x对应的y的值叫做函数值。师：非常好！这正是德国数学家狄利克雷于1837年提出的函数定义。案例4函数的概念狄利克雷的现代定义（1837）：设a、b是两个确定的值，x是可取a、b之间一切值的变量。如果对于每一个x，有唯一有限的y值与它对应,当x连续变化时，y也随之变化那么y叫做x的函数。L.Dirichlet（1805-1859）案例4函数的概念案例4函数的概念师：反观刚才分析过的这些函数，其对应关系可以用一个图表、一个图像或者一个解析式来呈现，我们把它统称为“对应法则”。例如表1中，14.2与1936对应，1973有唯一的13.1与之对应，这个表格就是一个对应法则。那么同学们能否从这个角度来分析其他例子的对应关系呢?生：图2的沪指变化图像就是一种对应法则。生：函数y=2x2，这个解析式就是一种对应法则。案例4函数的概念3409632768案例5对数的概念计算：11625622564096案例5对数的概念案例5对数的概念x1234567891024816326412825651210242xx11121314151617182048409681921638432768655361310722621442xx1920212223245242881048576209715241943048388608167772162xx252627282933554432671088641342177282684354565368709122xx3031323310737418242147483648429496729685899345922xmnm+nMN=MN案例5对数的概念299792.45831536000+光在真空中的速度（千米/秒)一年的秒数=1光年一个天文单位29979245831536179875474889937737414989622902997924588993773749454254955488案例5对数的概念计算：案例5对数的概念x11121314151617182048409681921638432768655361310722621442xx252627282933554432671088641342177282684354565368709122x31536299792458案例5对数的概念x1416384.00014.930573.62514.9431433.16614.94431520.43814.944531531.364