数学回归分析与声速测量

数学回归分析线性回归非线性回归一元回归多元回归xynnxxxy22110Logistic回归Poisson回归pjijjxy10exp11niiyiiieyYL1!,一元回归模型的建立•一元回归模型的基本模型只有一个自变量x和一个因变量y，他们之间的关系是线性的，即•(1.1)其中，为零均值的随机变量，方差为。式子（1.1）将实际中的变量y和x之间关系划分为两部分，一部分是由于x的变化而引起自变量y变化的部分，即为，另一部分则是由一切随机因素或者测量误差引起的，我们用来表示它。2x10•一般情况下，我们要研究的某个实际问题，我们可以通过测量获得n组样本观测值：•如果符合模型（1.1）•切满足于，•其中，这表明的期望不同，方差相同。因此是独立的随机变量，但是不同分布。式子解释了变量x和y的变化规律，这对我们实际应用非常重要。•我们利用回归分析来解决实际问题的主要是目的是通过观测样本对其中的参数和进行估计，一般我们常用，分别表示和的估计值，即：2iyVar01yx01234567892468101214161820回归的最小二乘估计•为了估计出参数和的值，我们希望找到一条截距为和斜率为的直线，同时又要使这条直线离离散图上的每个点都最接近，从数学上说我们可以将残差平方和达到最小值，也就是说我们找到和，使得：•只需求出上式的驻点即可•由01niiniixyeQ12101200110110112()020niiiniiiiyxyxx•解得参数的估计为•其中，•我们简单化上式•则最终估计可记为•这样我就求得模型（1.1）参数011121niiiniiyxxxyyxx11niixxn11niiyyn22211nnxxiiiiLxxxnx11nnxyiiiiiiLxxyyxynxy011xyxyyxLL一元回归参数检验•在我们通过最小二乘法得到回归方程（1.4）模型中β0和β1的值后，我们并不能直接用它去做分析和预测，为了确定方程（1.4）是否能够反映出两个变量之间的关系规律性，我们必须进行检验，在检验时我们通常需要正态性假设，即，我们称为对回归方程的显著性检验。•我们将特定的观测值和均值之间的差异称之为离差，考虑n组实验观测值的离差平方和，•记为：2~0,iNiyiy21niiSyy因此公式（1.9）可进一步写为：•由于我们假设误差项和x不相关，即；而误差项的期望值为0，即，根据方程（1.4）因此我们可以得到。•因此••我们另22112212211122nniiiiiiniiiiiiinnniiiiiiiiiSyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy(,)0Covx0E(,)0Covy110nniiiiiiiyyyyyye2211nniiiiiRyyEyy•其中R称之为回归平方和，E称之为残差平方和，式子（1.10）可简写为••这里回归平方和表示因变量上的总变异，回归平方和表示总回归中被回归方程解释的部分，残差平方和则表示未被解释的变异，，我们用回归方程来解释两个变量的关系的好坏，衡量回归直线的优度，其判断标准就是看R在S中所占的比例。其中的取值范围为[0，1]，若的比值越接近于1，说明直线的拟合效果越好，我们用回归方程来代替两个变量的变化规律也越合适。SRERS2一元回归在超声波速度检测中的应用•2.1超声波的传播特性•声波是物体机械振动的传播形式，我们把振动频率超过20000赫兹的声波成为超声波，由于超声波具有方向性好，传播能力强等特性，•因此超声波进行测距，测速，探伤等工程实践中。•超声波跟其他声波一样在介质中会发生反射，折射衍射等传播规律，但是超声波波长很短，最短可达千分之几毫米，而通常的障碍物的尺寸要比超声波大的多，所以超声波衍射能力差，它可以看作在均匀介质中沿指定直线传播，这对我们们对其速度研究有着重大帮助。•工业上我们常用超声波用于探伤技术，一般使用的超声波频率是2kHz到25Hz之间，对于不同频率的超声波其速度也有所不同，但我们可以根据超声波沿直线传播这一特性，建立时间与距离的数学回归模型，用来测定超声波在某一恒定频率下的超声波速度。2.2超声波速度的测量方法•超声波声速在材料介质中的基本测量方法有脉冲回波法和超声波共振法，在频率恒定的情况下，本文我们选用脉冲回波计数法来测量超声波在薄板中的传播速度，脉冲回波法是将超声波通过水平入射到被测材料中，通过超声波脉冲回波的传播时间来计算超声波的声速，这种方法装置比较简单，比较容易实现。•实验：•LABVIEW信号发生器——用于产生虚拟的脉冲电压信号•压电元件——由于超声波是机械波，利用压电元件可以实现电能与机械能的转换，实现对超声波速度的测量•超声波探头——超声波的发射与接收都有此探头来完成•示波仪——用来进行脉冲计数，选取第一次到第二次回波测量的时间间隔•在采用压电元件作为传感器时，在薄板上选取合适的传感器，用测得传感器之间的距离，通过示波仪上面读取声波回波的时间差。•则可估计出声波在薄板材料的传播速度：dv测量误差分析–（1）超声波在薄板中传播会发生波束的扩散，在薄板内部缺陷处的发生散射、材料的吸收等特性，因此会发生声波的传播衰减，实际的传播时间会偏大，因此我们通过常规测量的方法会导致测得速度的偏小。–（2）由于薄板内部可能有缺陷或者质地不均等现象，通过单个传感器测量可能会只能测出在此区间里的传播速度，不能准确测得在薄板介质中的传播速度，因此测得声速具有局限性。–（3）在距离和时间的测量过程中避免不了实验误差，可能会导致实验测得的速度过大或者过小。2.4一元回归的声速测量•由于上述方法测量在薄板中的声速会由于实验条件的限制，产生各种各样的误差，因此在超声波速度实验中，采用的单一的传感器发射接收信号很难获得完整的被测对象的信息，而具有一定的局限性，我们可以通过增加传感器的个数，采用十字阵列多传感器测量，从而更加完善的确定准确的对象特征。如右图所示8R1R2R3SR4R5R5R7R8R9R10十字阵列传感器132456710119