数学基础1.3方向余弦阵

理论力学CAI版权所有,2000(c)上海交通大学工程力学系理论力学CAI数学基础方向余弦阵•前言•矩阵•矢量•方向余弦阵•平面矢量2020年2月23日理论力学CAI数学基础2方向余弦阵•方向余弦阵的定义•方向余弦阵的性质方向余弦阵2020年2月23日理论力学CAI数学基础3方向余弦阵•方向余弦阵的定义•方向余弦阵的性质方向余弦阵2020年2月23日理论力学CAI数学基础4方向余弦阵的定义•问题的提出•方向余弦阵定义方向余弦阵/定义2020年2月23日理论力学CAI数学基础5方向余弦矩阵/定义•问题的提出同一个矢量在不同基下坐标阵的关系ararer3er2er1ear1ar2ar3a2020年2月23日理论力学CAI数学基础6方向余弦矩阵/定义•问题的提出同一个矢量在不同基下坐标阵的关系abararebeb3eb2eb1eab1ab3ab2a2020年2月23日理论力学CAI数学基础7方向余弦矩阵/定义•问题的提出bbTrrTeaeaaabararebebara～b3eb2eb1eab1ab3ab2ar3er2er1ear1ar2ar3a不等但有关系2020年2月23日理论力学CAI数学基础8方向余弦矩阵/定义•方向余弦矩阵的定义Tr3r2r1reeee对于两个不同的基Tb3b2b1beeee定义如下3*3标量阵为基关于基的方向余弦矩阵rebebTrrbeeA333231232221131211defrbAAAAAAAAAA方向余弦矩阵的元素是两基基矢量夹角的余弦b3b2b1r3r2r1eeeeeeb3r3b2r3b1r3b3r2b2r2b1r2b3r1b2r1b1r1eeeeeeeeeeeeeeeeee2020年2月23日理论力学CAI数学基础9方向余弦矩阵/定义•方向余弦阵的元素的几何意义b3r3b2r3b1r3b3r2b2r2b1r2b3r1b2r1b1r1333231232221131211defrbeeeeeeeeeeeeeeeeeeAAAAAAAAAA行阵的转置是基的基矢量在基下的坐标阵rebebeb3b2b1321reeeAAAeiiii3,2,1ibrbreAe333231r3232221r2131211r1b3b2b1AAAeAAAeAAAeeeeb3b2b1333231232221131211r3r2r1eeeAAAAAAAAAeee3,2,1T321biAAAiiiiA坐标阵rie基矢量b33b22b11reAeAeAeiiii3,2,1i2020年2月23日理论力学CAI数学基础10方向余弦矩阵/定义/方向余弦阵元素的几何意义列阵是基的基矢量在基下的坐标阵rebeb3r3b2r3b1r3b3r2b2r2b1r2b3r1b2r1b1r1333231232221131211defrbeeeeeeeeeeeeeeeeeeAAAAAAAAAArerTrbb)(eAe333231r3232221r2131211r1b3b2b1AAAeAAAeAAAeeee3,2,1jr3r2r1321beeeAAAejjjjr3r2r1332313312212312111b3b2b1eeeAAAAAAAAAeee3,2,1T321rjAAAjjjjA坐标阵bje基矢量r33r22r11beAeAeAejjjj3,2,1j2020年2月23日理论力学CAI数学基础11方向余弦矩阵/定义/方向余弦阵元素的几何意义基关于基的方向余弦矩阵对应于如下的表333231r3232221r2131211r1b3b2b1AAAeAAAeAAAeeee行阵的转置是基的基矢量在基下的坐标阵rebe列阵是基的基矢量在基下的坐标阵rebebrbreAerTrbb)(eAebTrrbeeAbere小结b3r3b2r3b1r3b3r2b2r2b1r2b3r1b2r1b1r1eeeeeeeeeeeeeeeeee2020年2月23日理论力学CAI数学基础12方向余弦矩阵/定义/方向余弦阵元素的几何意义[例]已知基的三个基矢量在基的坐标阵分别为rebeTb3Tb2Tb1387.0293.0922.0:387.0902.0191.0:838.0429.0338.0:eee求基关于基的方向余弦阵be387.0387.0838.0293.0902.0429.0922.0191.0338.0b3r3b2r3b1r3b3r2b2r2b1r2b3r1b2r1b1r1rbeeeeeeeeeeeeeeeeeeA[解]由定义，基关于基的方向余弦阵berere333231r3232221r2131211r1b3b2b1AAAeAAAeAAAeeee2020年2月23日理论力学CAI数学基础13方向余弦矩阵/定义/方向余弦阵元素的几何意义[例]求图示基对基方向余弦阵rebe其中:AB=AD=DP=1[解]基基矢量关于基的坐标阵berer3er2er1eADCBPb1eb2eb3eTTrb10100cos0ee：b2e：b3e2222000122220rbA基关于基的方向余弦阵bere：b1eTTrb2220224cos04coseeTTrb3220224cos04coseeaaeea2020年2月23日理论力学CAI数学基础14方向余弦矩阵/定义/方向余弦阵元素间的关系•方向余弦阵元素间的关系3,2,1T321rjAAAjjjjAbjere1bbjjee1232221rrTjjjjjAAAAA3,2,1j单位基矢量333231r3232221r2131211r1b3b2b1AAAeAAAeAAAeeeeb3r3b2r3b1r3b3r2b2r2b1r2b3r1b2r1b1r1eeeeeeeeeeeeeeeeee2020年2月23日理论力学CAI数学基础15方向余弦矩阵/定义/方向余弦阵元素间的关系3,2,1T111rjAAAjjjjAbjere000b1b3b3b2b2b1eeeeee000313321231113r1rT3333223221312r3rT2323122211211r2rT1AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA三基矢量正交333231r3232221r2131211r1b3b2b1AAAeAAAeAAAeeeeb3r3b2r3b1r3b3r2b2r2b1r2b3r1b2r1b1r1eeeeeeeeeeeeeeeeee2020年2月23日理论力学CAI数学基础16方向余弦矩阵/定义/方向余弦阵元素间的关系3,2,1T111rjAAAjjjjAbjereb3b2b1eee312111132223123312133223323322r1r3r2~AAAAAAAAAAAAAAAAAA322212112321133113113321333123r2r1r3~AAAAAAAAAAAAAAAAAA332313122122113211123122313221r3r2r1~AAAAAAAAAAAAAAAAAAb1b3b2eeeb2b1b3eee三基矢量正交(右旋)333231r3232221r2131211r1b3b2b1AAAeAAAeAAAeeee2020年2月23日理论力学CAI数学基础17方向余弦矩阵/定义/方向余弦阵元素间的关系3,2,1T111rjAAAjjjjAbjereb3b2b1eee312111132223123312133223323322r1r3r2~AAAAAAAAAAAAAAAAAA322212112321133113113321333123r2r1r3~AAAAAAAAAAAAAAAAAA332313122122113211123122313221r3r2r1~AAAAAAAAAAAAAAAAAAb1b3b2eeeb2b1b3eee三基矢量正交(右旋)000b1b3b3b2b2b1eeeeee000313321231113r1rT3333223221312r3rT2323122211211r2rT1AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA三基矢量正交2020年2月23日理论力学CAI数学基础18方向余弦矩阵/定义/方向余弦阵元素间的关系方向余弦阵九个元素应满足六个的代数方程1232221rrTjjjjjAAAAA000313321231113r1rT3333223221312r3rT2323122211211r2rT1AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA1bbjjee000b1b3b3b2b2b1eeeeee3,2,1j三基矢量正交方向余弦阵九个元素中只有三个是独立的单位基矢量333231r3232221r2131211r1b3b2b1AAAeAAAeAAAeeee2020年2月23日理论力学CAI数学基础19方向余弦矩阵/定义/方向余弦阵元素间的关系[例]已知矢量与在基下的坐标阵为rebaTr043aTr034b如果基的基矢量和分别与和的方向一致beb1eb2eab求基关于基的方向余弦阵bererbAabr1eb1eb2er2er3e43432020年2月23日理论力学CAI数学基础20方向余弦矩阵/定义/方向余弦阵元素间的关系[解]abr1e5rrTaaab1eb2er2er3eTrr105/45/3/aaA5rrTbbbTrr205/35/4/bbAb3e基矢量和基下的坐标阵为b1eb2ere在基下的坐标阵为re