圆锥曲线大题20道(含标准答案)

1/131.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），右顶点为)0,3(（1）求双曲线C的方程；（2）若直线2:kxyl与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且2OBOA（其中O为原点）.求k的取值范围.解：（Ⅰ）设双曲线方程为12222byax).0,0(ba由已知得.1,2,2,32222bbaca得再由故双曲线C的方程为.1322yx（Ⅱ）将得代入13222yxkxy.0926)31(22kxxk由直线l与双曲线交于不同的两点得.0)1(36)31(36)26(,0312222kkkk即.13122kk且①设),(),,(BBAAyxByxA，则,22,319,312622BABABABAyyxxOBOAkxxkkxx得由而2)(2)1()2)(2(2BABABABABABAxxkxxkkxkxxxyyxx.1373231262319)1(22222kkkkkkk于是解此不等式得即,01393,213732222kkkk.3312k②由①、②得.1312k故k的取值范围为).1,33()33,1(2..已知椭圆C：22ax＋22by＝1（a＞b＞0）的左．右焦点为F1、F2，离心率为e.直线l：y＝ex＋a与x轴．y轴分别交于点A、B，M是直线l与椭圆C的一个公共点，P是点F1关于直线l的对称点，设AM＝λAB.2/13（Ⅰ）证明：λ＝1－e2；（Ⅱ）确定λ的值，使得△PF1F2是等腰三角形.（Ⅰ）证法一：因为A、B分别是直线l：aexy与x轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是2222222.,,1,).,0(),0,(baccbycxbyaxaexyaea这里得由.所以点M的坐标是（abc2,）.由).,(),(2aeaabeacABAM得即221eaabeacea解得证法二：因为A、B分别是直线l：aexy与x轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是).,0(),0,(aea设M的坐标是00(,),xy00(,)(,),aaAMABxyaee由得所以.)1(00ayeax因为点M在椭圆上，所以,1220220byax即.11)1(,1)()]1([22222222eebaaea所以,0)1()1(2224ee解得.1122ee即（Ⅱ）解法一：因为PF1⊥l，所以∠PF1F2=90°+∠BAF1为钝角，要使△PF1F2为等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|，即.||211cPF设点F1到l的距离为d，由,1||1|0)(|||21221ceecaeacedPF得.1122eee所以.321,3122ee于是3/13即当,32时△PF1F2为等腰三角形.解法二：因为PF1⊥l，所以∠PF1F2=90°+∠BAF1为钝角，要使△PF1F2为等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|，设点P的坐标是),(00yx，则0000010.22yxceyxcea，2022023,12(1).1exceeaye解得由|PF1|=|F1F2|得,4]1)1(2[]1)3([2222222ceaecece两边同时除以4a2，化简得.1)1(2222eee从而.312e于是32112e奎屯王新敞新疆即当32时，△PF1F2为等腰三角形.3.设Ryx,，ji、为直角坐标平面内x轴、y轴正方向上的单位向量，若jyixbjyixa)3(,)3(，且4ba.（Ⅰ）求点),(yxP的轨迹C的方程；（Ⅱ）若A、B为轨迹C上的两点，满足MBAM，其中M（0，3），求线段AB的长.[启思]4.已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，OBOA与)1,3(a共线.（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设M为椭圆上任意一点，且),(ROBOAOM，证明22为定值.解：本小题主要考查直线方程、平面向量及椭圆的几何性质等基本知识，考查综合运用数学知识解决问题及推理的能力.满分12分.（1）解：设椭圆方程为)0,(),0(12222cFbabyax则直线AB的方程为cxy，代入12222byax，化简得02)(22222222bacacxaxba.4/13令A（11,yx），B22,(yx），则.,22222222122221babacaxxbacaxx由OBOAayyxxOBOA),1,3(),,(2121与a共线，得,0)()(32121xxyy又cxycxy2211,，.23,0)()2(3212121cxxxxcxx即232222cbaca，所以36.32222abacba，故离心率.36ace（II）证明：（1）知223ba，所以椭圆12222byax可化为.33222byx设),(yxOM，由已知得),,(),(),(2211yxyxyx.,2121xxyxxx),(yxM在椭圆上，.3)(3)(2221221byyxx即.3)3(2)3()3(221212222221212byyxxyxyx①由（1）知.21,23,23222221cbcacxx[变式新题型3]抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，准线l与x轴相交于点A(–1，0)，过点A的直线与抛物线相交于P、Q两点.（1）求抛物线的方程；（2）若FP•FQ=0，求直线PQ的方程；（3）设AP=λAQ（λ1），点P关于x轴的对称点为M，证明：FM=-λFQ..6.已知在平面直角坐标系xoy中，向量32),1,0(的面积为OFPj，且3,3OFFPtOMOPj.（I）设443,tOFFP求向量与的夹角的取值范围；（II）设以原点O为中心，对称轴在坐标轴上，以F为右焦点的椭圆经过点M，且||,)13(,||2OPctcOF当取最小值时，求椭圆的方程.7.已知(0,2)M，点A在x轴上，点B在y轴的正半轴，点P在直线AB上，且满足，APPB，0MAAP.（Ⅰ）当点A在x轴上移动时，求动点P的轨迹C方程；（Ⅱ）过(2,0)的直线l与轨迹C交于E、F两点，又过E、F作轨迹C的切线1l、2l，当12ll，求直线l的方程.5/138.已知点C为圆8)1(22yx的圆心，点A（1，0），P是圆上的动点，点Q在圆的半径CP上，且.2,0AMAPAPMQ（Ⅰ）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程；（Ⅱ）若直线12kkxy与（Ⅰ）中所求点Q的轨迹交于不同两点F，H，O是坐标原点，且4332OHOF，求△FOH的面积已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过2,0A、2,0B、31,2C三点．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）若直线l：1ykx（0k）与椭圆E交于M、N两点，证明直线AM与直线BN的交点在直线4x上．10．如图,过抛物线x2=4y的对称轴上任一点P(0,m)(m0)作直线与抛物线交于A、B两点，点Q是点P关于原点的对称点。(Ⅰ)设点P分有向线段AB所成的比为λ，证明);QBQA(QP(Ⅱ)设直线AB的方程是x—2y+12=0,过A、B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程。10.已知平面上一定点(1,0)C和一定直线:4.lxＰ为该平面上一动点，作,PQl垂足为Q，0)2()2(PCPQPCPQ.(1)问点Ｐ在什么曲线上？并求出该曲线方程；(2)点Ｏ是坐标原点，AB、两点在点Ｐ的轨迹上，若1OAOBOC（），求的取值范围．11.如图，已知E、F为平面上的两个定点6||EF，10||FG，且EGEH2，HP·0GE，（G为动点，P是HP和GF的交点）（1）建立适当的平面直角坐标系求出点P的轨迹方程；（2）若点P的轨迹上存在两个不同的点A、B，且线段AB的中垂线与EF（或EF的延长线）相交于一点C，则||OC＜59（O为EF的中点）．12．已知动圆过定点1,0，且与直线1x相切.(1)求动圆的圆心轨迹C的方程；(2)是否存在直线l，使l过点（0，1），并与轨迹C交于,PQ两点，且满足0OPOQ？若存在，求出GFPHE6/13直线l的方程；若不存在，说明理由.13．已知)0,1(),0,4(NM若动点P满足||6NPMPMN（1）求动点P的轨迹方C的方程；（2）设Q是曲线C上任意一点，求Q到直线0122:yxl的距离的最小值.19．如图，直角梯形ABCD中，∠90DAB，AD∥BC，AB=2，AD=23，BC=21椭圆F以A、B为焦点且过点D，（Ⅰ）建立适当的直角坐标系，求椭圆的方程；（Ⅱ）若点E满足ABEC21,是否存在斜率与的直线lk0M、F交于椭圆N两点，且||||NEME，若存在，求K的取值范围；若不存在，说明理由。解（1）已知双曲线实半轴a1=4，虚半轴b1=25，半焦距c1=62016，∴椭圆的长半轴a2=c1=6，椭圆的半焦距c2=a1=4，椭圆的短半轴2b=204622，∴所求的椭圆方程为362x1202y（2）由已知)0,6(A,)0,4(F，设点P的坐标为),(yx，则),,4(),,6(yxFPyxAP由已知得22213620(6)(4)0xyxxy则018922xx，解之得623xx或，由于y0，所以只能取23x，于是325y，所以点P的坐标为325,239分（3）直线063:yxAP，设点M是)0,(m，则点M到直线AP的距离是26m，于是626mm，又∵点M在椭圆的长轴上，即66m2m∴当2m时，椭圆上的点到)0,2(M的距离222222549(2)4420()15992xdxyxxx又66x∴当29x时，d取最小值152．解：（1）由34sin||||cos,sin34||||,sin||||2132tFPOFFPOFFPOFFPOF由得，得.34tant…………………………………………………………………3分],0[3tan1344t∴夹角的取值范围是（3,4）………………………………………………………………6分CBDA7/13（2）).0,(),,(),,(0000cOFycxFPyxP则设2000000(,)(,0)()(31)3143||||232OFPOFFPxcycxcctcxcSOFyyc…………………………………………………………………………………………8分2222004343||(3)()2326OPxycccc………………10分∴当且仅当)32,32(,,62||,2,343OPOPccc此时取最小值时即)3,2()1,0()32,32(33OM或)1,2()1,0()32,32(33OM…………12分椭圆长轴12,48)03()22()03()22(222222baa或2171,2171171)01()22()01()22(222222baa故所求椭圆方程为112162