对数与对数函数(共45张PPT)

[小题热身]1．函数y＝xln(1－x)的定义域为()A．(0,1)B．[0,1)C．(0,1]D．[0,1]解析：由题意，得x≥0，1－x0，解得0≤x1，故函数y＝xln(1－x)的定义域为[0,1)．答案：B2．(2017·河南八市质检)已知a＝413，b＝log1413，c＝log314，则()A．abcB．bcaC．cbaD．bac解析：因为a＝4131,0b＝log1413＝log431，c＝log3140，所以abc，故选A.答案：A3．函数y＝lg|x|()A．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增B．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减C．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减D．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增解析：y＝lg|x|是偶函数，由图象知在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．答案：B4．函数f(x)＝log12x2的单调递增区间为()A．(0，＋∞)B．(－∞，0)C．(2，＋∞)D．(－∞，－2)解析：因为y＝log12t在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t＝x2的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(－∞，0)．答案：B5．(2015·安徽卷)lg52＋2lg2－12－1＝________.解析：lg52＋2lg2－12－1＝lg5－lg2＋2lg2－2＝(lg5＋lg2)－2＝1－2＝－1.答案：－16．函数y＝loga(x－1)＋2(a0，a≠1)的图象恒过一定点是________．解析：依题意，当x＝2时，函数y＝loga(x－1)＋2(a0，a≠1)的值为2，所以其图象恒过定点(2,2)．答案：(2,2)[知识重温]一、必记4●个知识点1．对数的概念(1)对数的定义如果①________________，那么数x叫做以a为底N的对数，记作②________，其中③________叫做对数的底数，④________叫做真数．(2)几种常见对数对数形式特点记法一般对数底数为a(a0且a≠1)⑤________常用对数底数为⑥________⑦________自然对数底数为⑧________⑨________ax＝N(a0且a≠1)x＝logaNaNlogaN10lgNelnN2.对数的性质与运算法则(1)对数的性质(ⅰ)alogaN＝⑩________；(ⅱ)logaaN＝⑪________(a0且a≠1)．(2)对数的重要公式(ⅰ)换底公式：⑫___________(a，b均大于零且不等于1)；(ⅱ)logab＝1logba，推广logab·logbc·logcd＝⑬________.NNlogbN＝logaNlogablogad(3)对数的运算法则如果a0且a≠1，M0，N0，那么(ⅰ)loga(MN)＝⑭________；(ⅱ)logaMN＝⑮________；(ⅲ)logaMn＝⑯________(n∈R)；(ⅳ)logmaMn＝nmlogaM.logaM＋logaNlogaM－logaNnlogaM3．对数函数的图象与性质a10a1图象(1)定义域：⑰________(2)值域：⑱________(3)过点⑲________，即x＝⑳________时，y＝○21________(4)当x1时，○22________当0x1时，○23________(4)当x1时，○24________当0x1时，○25________性质(5)是(0，＋∞)上的○26______________(5)是(0，＋∞)上的○27______________(0，＋∞)R(1,0)10y0y0y0y0增函数减函数4.反函数指数函数y＝ax与对数函数○28________互为反函数，它们的图象关于直线○29________对称．y＝logaxy＝x二、必明2●个易误点1．在运算性质logaMn＝nlogaM中，易忽视M0.2．在解决与对数函数有关的问题时易漏两点：(1)函数的定义域；(2)对数底数的取值范围．考向一对数的基本运算[自主练透型][例1](1)(3＋2)(32)2log5等于()A．1B.12C.14D.15(2)lg32－lg9＋1lg27＋lg8－lg1000lg0.3·lg1.2＝________；(3)若log147＝a,14b＝5，则用a，b表示log3528＝________.[解析](1)原式＝(3＋2)(32)log5＝(3＋2)(32)1log5＝15.(2)原式＝lg32－2lg3＋132lg3＋3lg2－32lg3－1·lg3＋2lg2－1＝1－lg3·32lg3＋2lg2－1lg3－1·lg3＋2lg2－1＝－32.(3)因为14b＝5，所以log145＝b，又log147＝a，所以log3528＝log1428log1435＝log141427log145＋log147＝2－aa＋b.[答案](1)D(2)－32(3)2－aa＋b——[悟·技法]——对数运算的一般思路及解题策略(1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算性质化简合并．(2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．——[通·一类]——1．(2017·山东青岛模拟)计算lg1125－lg82÷412＝________.解析：由题意知原式＝(lg5－3－lg23)2÷2－1＝(－3lg5－3lg2)2×2＝9×2＝18.答案：182．lg427－lg823＋lg75＝________.解析：原式＝lg4＋12lg2－lg7－23lg8＋lg7＋12lg5＝2lg2＋12(lg2＋lg5)－2lg2＝12.答案：12考向二对数函数的图象及应用[互动讲练型][例2](1)在同一直角坐标系中，函数f(x)＝xa(x≥0)，g(x)＝logax的图象可能是()D[解析](1)根据对数函数性质知，a0，所以幂函数是增函数，排除选项A(利用(1,1)点也可以排除)；选项B从对数函数图象看a1，与幂函数图象矛盾；选项C从对数函数图象看a1，与幂函数图象矛盾，故选D.(2)当0x≤12时，4xlogax，则a的取值范围是()A.0，22B.22，1C．(1，2)D．(2，2)B(2)方法一：构造函数f(x)＝4x和g(x)＝logax，当a1时不满足条件，当0a1时，画出两个函数在0，12上的图象，可知，f(12)g(12)，即2loga12，则a22，所以a的取值范围为22，1.方法二：∵0x≤12，∴14x≤2，∴logax4x1，∴0a1，排除选项C，D；取a＝12，x＝12，则有412＝2，log1212＝1，显然4xlogax不成立，排除选项A.——[悟·技法]——利用对数函数的图象可求解的两类热点问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．——[通·一类]——3．(2017·新疆乌鲁木齐一诊)设f(x)＝|ln(x＋1)|，已知f(a)＝f(b)(ab)，则()A．a＋b0B．a＋b1C．2a＋b0D．2a＋b1解析：作出函数f(x)＝|ln(x＋1)|的图象如图所示，由f(a)＝f(b)，得－ln(a＋1)＝ln(b＋1)，即ab＋a＋b＝0.0＝ab＋a＋ba＋b24＋a＋b，即(a＋b)(a＋b＋4)0，显然－1a0，b0，∴a＋b＋40.∴a＋b0.故选A.答案：A4．若函数y＝logax(a0，且a≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是()解析：由图象可知loga3＝1，所以a＝3.A选项，y＝3－x＝13x为指数函数，在R上单调递减，故A不正确．B选项，y＝x3为幂函数，图象正确．C选项，y＝(－x)3＝－x3，其图象和B选项中y＝x3的图象关于x轴对称，故C不正确．D选项，y＝log3(－x)，其图象与y＝log3x的图象关于y轴对称，故D选项不正确．综上，可知选B.答案：B考向三对数函数的性质及应用[互动讲练型][例3](1)(2016·全国卷乙)若ab1,0c1，则()A．acbcB．abcbacC．alogbcblogacD．logaclogbc(2)(2017·大连模拟)函数f(x)＝log12(x2＋2x－3)的单调递增区间是________．[解析](1)特殊值验证法，取a＝3，b＝2，c＝12，因为32，所以A错；因为32＝1823＝12，所以B错；因为log312＝－log32－1＝log212，所以D错；因为3log212＝－32log312＝－2log32，所以C正确．故选C.(2)由x2＋2x－30，得(x－1)(x＋3)0，即x－3或x1.令t＝x2＋2x－3，该二次函数在(－∞，－3)上为减函数．又对数函数y＝log12t为减函数，由复合函数的单调性可得，函数f(x)＝log12(x2＋2x－3)的单调递增区间是(－∞，－3)．[答案](1)C(2)(－∞，－3)——[悟·技法]——1.求对数形函数定义域的策略列出对应的不等式(组)求解，注意对数函数的底数和真数的取值范围．2．比较对数式大小的类型及相应的方法(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论．(2)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较．(3)若底数与真数都不同，则常借助1,0等中间量进行比较．3．解对数不等式的类型及方法(1)形如logaxlogab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a1与0a1两种情况讨论．(2)形如logaxb的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式．——[通·一类]——5．若实数a，b，c满足loga2logb2logc2，则下列关系中不可能成立的是()A．abcB．bacC．cbaD．acb解析：由loga2logb2logc2的大小关系，可知a，b，c有如下四种可能：①1cba；②0a1cb；③0ba1c；④0cba1.作出函数的图象(如图所示)．由图象可知选项A不可能成立．答案：A6．函数y＝log3(x2－2x)的单调减区间是________．解析：令u＝x2－2x，则y＝log3u.∵y＝log3u是增函数，u＝x2－2x(u0)的单调减区间是(－∞，0)，∴y＝log3(x2－2x)的单调减区间是(－∞，0)．答案：(－∞，0)微专题(四)——数形结合思想解对数不等式(2015·北京卷)如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是()A．{x|－1x≤0}B．{x|－1≤x≤1}C．{x|－1x≤1}D．{x|－1x≤2}[解题视点]此不等式为超越不等式，无法直接求解，但可借助函数图象直观地得出不等式的解集，解题时要注意图象交点坐标确定．[解析]如图，作出函数f(x)与y＝log2(x＋1)的图象．易知直线BC的方程为y＝－x＋2，由y＝－x＋2，y＝log2x＋1得D点坐标为(1,1)．由图可知，当－1x≤1时，f(x)≥log2(x＋1)，所以所求解集为{x|－1x≤1}．[答案]C[答题启示]对于较复杂的不等式有解或恒成立问题，可借助函数图象解决，具体做法为：(1)对不等式变形，使不等号两边对应两函数f(x)，g(x)；(2)在同一坐标系