菱形练习题(含答案)

特殊的平行四边形——菱形一．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.二．菱形的性质：菱形具有平行四边形一切性质，此外，它还具有如下特殊性质：1.菱形的四条边相等。2.菱形的两条对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角。3.菱形是轴对称图形也是中心对称图形，两条对角线所在的直线是它的两条对称轴。三．菱形的判定办法：1.用菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；2.四条边都相等的四边形是菱形；3.对角线垂直的平行四边形是菱形；4.对角线互相垂直平分的四边形是菱形。四．菱形的面积：等于两条对角线乘积的一半.（有关菱形问题可转化为直角三角形或等腰三角形的问题来解决.），周长=边长的4倍复习：1.如图，在ABC△中，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F，且AFDC，连接CF．（1）求证：D是BC的中点；（2）若ABAC，试猜测四边形ADCF的形状，并证明．解答：（1）证明：AFBC∥，AFEDBE．∵E是AD的中点，AEDE．又AEFDEB，AEFDEB△≌△．AFDB．∵AFDC，DBDC．（2）解：四边形ADCF是矩形，证明：∵AFDC∥，AFDC，四边形ADCF是平行四边形．∵ABAC，D是BC的中点，ADBC．即90ADC．四边形ADCF是矩形．菱形例题讲解：1.已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．若AD平分∠BAC，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由．解答：四边形AEDF是菱形，∵DE∥AC，∠ADE=∠DAF，同理∠DAE=∠FDA，∵AD=DA，∴△ADE≌△DAF，∴AE=DF；∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∴∠DAF=∠FDA．∴AF=DF．∴平行四边形AEDF为菱形．2.已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，BC=CD，AD⊥BD，E为AB中点，求证：四边形BCDE是菱形．证明：∵AD⊥BD，∴△ABD是Rt△∵E是AB的中点，∴BE=DE，∴∠EDB=∠EBD，∵CB=CD，∴∠CDB=∠CBD，∵AB∥CD，∴∠EBD=∠CDB，∴∠EDB=∠EBD=∠CDB=∠CBD，∵BD=BD，∴△EBD≌△CBD（ASA），∴BE=BC，∴CB=CD=BE=DE，∴菱形BCDE．（四边相等的四边形是菱形）3.如图，△ABC与△CDE都是等边三角形，点E、F分别在AC、BC上，且EF∥AB，（1）求证：四边形EFCD是菱形；（2）设CD=4，求D、F两点间的距离．解答：（1）证明：∵△ABC与△CDE都是等边三角形，∴ED=CD=CE．∵EF∥AB∴∠EFC=∠ACB=∠FEC=60°,∴EF=FC=EC∴四边形EFCD是菱形．（2）解：连接DF，与CE相交于点G，由CD=4，可知CG=2，∴∴．4.如图，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点E、F．求证：四边形AFCE是菱形．证明：∵AE∥FC．∴∠EAC=∠FCA．又∵∠AOE=∠COF，AO=CO，∴△AOE≌△COF．∴EO=FO．又EF⊥AC，∴AC是EF的垂直平分线．∵EF是AC的垂直平分线．∴四边形AFCE为菱形5.在ABCD中，EF，分别为边ABCD，的中点，连接DEBFBD，，．（1）求证：ADECBF△≌△．（2）若ADBD，则四边形BFDE是什么特殊四边形？请证明你的结论．解:（1）在平行四边形ABCD中，∠A＝∠C，AD＝CB，AB＝CD．∵E，F分别为AB，CD的中点∴AE=CF,(SAS)AEDCFB△≌△．（2）若AD⊥BD，则四边形BFDE是菱形．证明：ADBD，ABD△是Rt△，且AB是斜边（或90ADB）,E是AB的中点，12DEABBE．由题意可EBDF∥且EBDF，四边形BFDE是平行四边形，四边形BFDE是菱形．ODCBA第5题实战演练1.一菱形周长是20cm，两条对角线的比是4∶3，则这菱形的面积是（B）A.12cm2B.24cm2C.48cm2D.96cm22.如图，已知长方形ABCD，AB=3cm，AD=4cm，过对角线BD的中点O做BD的垂直平分线EF，分别交AD、BC于点E、F，则AE的长为_____78cm__________.分析：连EB,∵EF垂直平分BD,∴ED=EB,设AE=x,则DE=EB=（4-x）,AE²+AB²=BE²,即：x²+3²=（4-x）²,解得：x=7/83.如图,在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，过点O作OH⊥AB，垂足为H，则点O到边AB的距离OH＝12/5．4.如图，菱形ABCD的连长是2㎝，E是AB中点，且DE⊥AB，则菱形ABCD的面积为___23______㎝2．5.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，OE⊥AB，若∠ADC=130°，则∠AOE的大小为65°6.如图，已知四边形ABCD是菱形，∠A=72°，将它分割成如图所示的四个等腰三角形，那么∠1+∠2+∠3=90度．7.在菱形ABCD中，已知AB=10，AC=16，那么菱形ABCD的面积为968.菱形的一边与两条对角线所构成的两个角的差是32°，则菱形较小的内角是58°．9.已知菱形ABCD的两条对角线相交于点O，若AB=6，∠BDC=30，则菱形的面积为183．10.在四边形ABCD中，给出四个条件：①AB=CD，②AD∥BC，③AC⊥BD，④AC平分∠BAD，由其中三个条件推出四边形ABCD是菱形，你认为这三个条件是①③④或②③④．（写四个条件的不给分，只填序号）11.如图，已知在□ABCD中，AD=2AB，E、F在直线AB上，CE与AD交与点M，DF与CB交与点N，且AE=AB=BF，求证:CE⊥DF.证明：连接MN,∵□ABCD,AB=DC,又∵AB=AE,AE=DCAEMCDM,M为AD的中点.又∵AD=2AB,CD=DMCDMN是棱形,所以CE⊥DF.12.如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，CH⊥AB于H，且交BD于点F，DE⊥AB于E，四边形CDEF是菱形吗？请说明理由．解：解法一：四边形CDEF是菱形．理由：如图所示，BD平分∠ABC，CD=DE，因为∠1+∠4=90°，∠2+∠5=90°，∠1=∠2，∠3=∠5，∠3=∠4．CF=CD．CF=DE．因为CF//DE．所以四边形CDEF是平行四边形．所以□CDEF是菱形．13.如图所示，已知△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，再过E，F作EG⊥AC，FH⊥AB，垂足分别为G，H，且EG，FH相交于点K，试说明EF和DK之间的关系．解：EF与DK互相垂直平分．理由：因为DE⊥AB，FH⊥AB，DE∥FH．∵DF⊥AC，EG⊥AC，所以DF∥EG．四边形DEKF是平行四边形．∵AB=AC，∠B=∠C．又因为BD=CD，∠BED=∠CFD=90°，△BDE≌△CDF，DE=DF．DEKF是菱形，EF与DK互相垂直平分．点拨：要说明EF与DK互相垂直平分，只要说明四边形DEKF是菱形，要说明四边形DEKF是菱形，可先说明四边形DEKF是平行四边形，再说明一组邻边相等即可．第4题BADCE第2题第3题第6题DACFHEBKDACFHGEB