化工数学答案(全)

化工数学各章习题选解（仅供参考）第一章习题1.（√）在一个有效容积为V的半连续式搅拌反应器中，由原料Ａ生产物质Ｂ，若浓度为c0流量为Q的Ａ溶液加入空反应器，反应遵循以下连串-可逆步骤CBAkkk321且所有的反应均为一级，证明在反应器中Ｂ的克分子数NB是以下微分方程的解CRNdtdNPdtNdBBB22式中1031321kQcCkkRkkkP证明：对A、B分别作质量衡算，有A：)1(210dtdNNkNkQcABAB：)2(321dtdNNkNkNkBBBA由（2）得到：102(3)AABdNkNcQkNdt（3）代入（2），得：210131232()(4)BBBdNdNkcQkkNkkkdtdt令123130,,PkkkRkkCcQ得22(5)BBBdNdNPRNCdtdt证毕。2.冬天的池塘水面上结了一层厚度为l的冰层，冰层上方与温度为Tw的空气接触，下方与温度为0℃的池水接触。当Tw＜0℃时，水的热量将通过冰层向空气中散发，散发的热量转化为冰层增加的厚度。已知水结冰的相变潜热为Lf，冰的密度为ρ，导热系数为k，导温系数为α，求：1)当气温Tw不随时间变化时，给出冰层厚度随时间变化的关系，若Lf＝3.35×105J/kg，ρ＝913kg/m3，k＝2.22W/m°K，Tw＝－10℃，问冰冻三尺，需几日之寒？2）当气温随时间变化时，设Tw＝Tw(t)已知，导出冰层厚度变化的完整数学模型。解：(1)冰层的温度为0℃，水通过冰层向空气散发热量，记为Q，该热量用于水结成冰。假设冰层面积为s，厚度为l根据导热方程，可得：sdlLdtlsTkQfw)0(代入数值，Lf＝3.35×105J/kg，ρ＝913kg/m3，k＝2.22W/m°K，Tw＝－10℃，l＝1m，求解积分上式得：100511035.39132.22dtdttt＝79.7天≈80天若冰冻三尺，在Tw＝－10℃时，需要约80天。(2)若Tw＝Tw(t)，冰层厚度为l根据热量守恒：sdlLdtlsTkQfw)0(dtkTldlLwf两边积分：dtkTldlLtwlf00tfTwdtklL025.0厚度变化与Tw的关系为：twfdtTLkl023.（√）在一个半分批式搅拌反应器中进行着一级放热化学反应，反应速率常数由Arrhenius关系式给出，反应热由釜内的冷却盘管移出，请自行设定有关的参数，导出该反应器的数学模型。解：设物料以恒定的体积流量F加入，则反应器中反应物浓度CA与温度T由以下物料衡算与热量衡算方程给出○1物料衡算方程000()(1)exp()AAAAdVCFCVrdtrkCVVFtEkkRT○2能量衡算方程0()()()(2)ppcArdCTVFCTKTTAkCVHdt○1○2合并，得数学模型为00000()()()()(3)exp()(0)0,(0)AAppcArAdVCkVCFCdtdCTVFCTKTTAkCVHdtVVFtEkkRTcTT式中K(T－Tc)A为冷却移热，kCAV(-ΔHr)为反应热。4．（√）采用微元分析法推导出柱坐标系中的不定常热传导方程。解：考虑柱坐标系中热传导方程的形式。柱坐标系下的三个空间变量：向径r，经度角，高度z。在这三个方向上，与自变量的微分变化所对应的线段微元长度分别是(,,)ddrrddz（4）r由偏导数的定义，温度梯度T在三个方向的分量即温度在每个方向上的微元增量除以相应的线元长度，即(,,)TTTTrrZ（5）于是Fourier热传导定律在柱坐标系中的分量形式为,,-(,,)rzTTTqqqkrrZ（）（6）接着考虑各方向输入和输出的微元通量，首先考虑r方向()()()()()TkrddzrTTkrddzkrdrddzrrr输入项：（7）输出项：（8）于是r方向的净输入通量为：()Tkrdrddzrr（9）对方向作同样的分析，()()()()()()TkdrdzrTTkdrdzkdrddzrrTkdrddzr输入项：（10）输出项：（11）净输入通量：（12）z方向的分析，()()()()()()TkrddrzTTkrddrkrdrddzzzzTkrdrddzzz输入项：（13）输出项：（14）净输入通量：（15）微元体内的积累项：()pTCdrrddzt（16）将三个方向输入微元的热流净增量加和并令其等于积累项，就得到2222211[()]TTTTrtrrrrz（17）5.风吹过皮肤表面时，人会有干燥凉爽的感觉，这是因为风的吹拂强化皮肤表面的对流传热与传质，形成一个速度，温度，浓度（含水量）的边界层，设流动为层流（微风），考虑出汗的蒸发潜热，求：1）列出皮肤表面的三传问题的边界层方程，根据实际情况适当简化并给出问题的边界条件；2）将上述问题无量纲化，并解释所得到的各无量纲参数的物理意义；3）试分析速度分布，温度分布，含水量分布分别与哪些无量纲参数有关，并用简单的函数关系示意；4）根据所得结果定性的解释一些经验常识：为什么风越大越感觉到冷？为什么出汗后擦了汗感觉更凉快？当空气中湿度变化时，对表面散热会带来哪些影响？在冬天和夏天，人体对空气湿度的增加会有什么样的感觉？解：1）同时考虑流动传热传质时的边界层传递方程是2222pi22ii2(()()TTC(k()Hryycc(DyyxxiuupuugTTgCCxyxyTuuxycuxi)＝-)＝)＝xg表示重力在x方向的分量，为热膨胀系数，为密度变化系数H水汽化潜热ir水蒸发速度由于px可忽略，0xg，2()uy可忽略，化简后222pi22ii2(TTC(kHryycc(DyyiuuuuxyyTuxcuxi)＝)＝)＝边界条件y＝0，u＝0（皮肤表面气流速度）T＝T0（皮肤表面温度）c＝c0（皮肤表面的含水量）y＝δ1u＝u∞（速度边界层外气流速度）y＝δ2T＝T∞（温度边界层外气流温度）y＝δ3c＝c∞（浓度边界层外气流中含水量浓度）δ1，δ2，δ3分别为速度边界层，温度边界层，浓度边界层的厚度。2）无量纲化0000xTcuuTTTTcccc无量纲物理性质的比值1PrvTciScD无量纲化后222TTi2pp2cci2HrkyCyCDyyvvvvvvTTTTcccuxyvyuxTuxc＝＝＝边界条件在0,0,1yy对于较大的Pr或Sc，热传导与扩散效应与黏性比较相对较弱，热边界层和扩散边界层位于速度边界层内部，反之，对于较小的Pr或Sc，热传导与扩散速率大于黏性传递速率，热和扩散边界层就有可能扩展到速度边界层之外。3）速度分布，温度分布，含水量分布的简单函数关系式000000(1)1(1)1(1)(1)1(1)1(1)(1)1(1)xxTTTcccuuuuTTTTTTcccccc4）风越大，皮肤表面的气体更新速度越快，水的蒸发速度变快，传热越快，感觉到冷出汗后感觉更凉快，是因为减小了汗水层的厚度，蒸发速度加快当空气中湿度变大时，皮肤表面水的蒸发速度变慢，不利于传热夏天空气湿度增加，汗水蒸发困难，人感觉闷热冬天空气湿度增加，少量的汗水在皮肤表面使人感觉温暖。6．（√）在管式反应器模型（1.4.15）中，当Pe0时，相当于完全返混的情况。试从方程（4.15）出发，通过适当的体积积分和取极限Pe0，导出均相釜式反应器模型。解：当Pe0时，由原方程（4.15）及边界条件可知，c=const，说明在完全返混的情况下，反应器内具有均匀的浓度。对于任意的Peclet数，对方程4.15进行体积积分得到2111120000110011cccdzDacdzdzdzPezzccDaccPez＝（31）式中c为反应器内的平均浓度。将边界条件（4.15）代入（31），得到110c0zdcDaccd=，(0)=（32）上式对任意Peclet数均成立，仅当Pe0时，反应器内浓度均匀，1czc，上式成为无量纲的理想混合釜式反应器数学模型。7.（√）烯烃在Zieglar－Natta催化剂颗粒上的气相聚合过程可用最简单的固体核模型来描述，如附图所示。气相中的烯烃单体在催化剂颗粒（图中阴影部分）表面聚合后生成一多孔的固体聚合物壳层并将催化剂包裹在内部，外部的气相烯烃单体只有扩散穿过此固体聚合物壳层后才能到达催化剂表面参与反应。试求：（i）证明单体在壳层中的扩散及聚合物粒子的生长由以下方程描述221()MMDrtrrrRrsWrMDMdtdR|式中Ｍ为单体浓度(mol/m3)，ρs为聚合物壳层的密度(kg/m3),Ｄ为单体在壳层中的扩散系数(m2/s),MＷ为单体的分子量，R为聚合物颗粒的半径。（ii）设催化剂核半径为rc，单体在外部气相本体中的浓度为ＭＢ，以上述参量为r和M的特征尺度，并引入适当的时间尺度，将上述方程无量纲化。然后根据气相单体与固体聚合物密度之间的巨大差别(ρs/ρg~103)将问题进一步简化。（iii）设单体在催化剂核表面的浓度恒为0（瞬时反应），R的初始值为R0(R0rc)，求解上述简化后的模型并给出聚合物粒子半径R随时间的变化关系。提示：对单体的浓度分布可采用拟稳态假定。解：为简化计算，令单体分子量Mw的单位是kg（1）问题建模如图1所示，对微元dr作物料衡算2()()0(18),4MAdrAJdrtrMJDArr得221()(19)MMDrtrrr如图2.对微元dR作物料衡算2244(20)swrRRdRMRMDdtr得(21)wrRsMDdRMdtrRrrdr+RRdR+图1图2（2）无量纲化与简化分析：本问题存在着两个特征时间尺度，一个是单体组分内扩散通过聚合物壳层的时间尺度21crD，该尺度可以从内扩散方程（19）中得出，为此，近似取1M代替Mt，M/r代替Mr，M/r2代替22Mr，就可估算出21crD；另一个是聚合物颗粒生长的特征时间尺度2，可以从方程（20）中用类似的比值代替微分的办法估算出211sg。在对问题进行无量纲化时，不同时间尺度的选择代表着所关注的不同过程。○1如果选取21crD为时间尺度，式（20）和（21）可分别无量纲化为（仍然用当前变量表示无量纲变量）：221()(22)(23)cRrrMMrtrrrdRMdtr,1ggBwsMM此时式（23）中出现一个小参数。时间尺度1称为快时间尺度，选择这一尺度所得到的方程（22）中不含有小参数，表示我们关注的是单体M通过聚合物壳层的不定常扩散而不是粒子的生长。略去（23）中的小参数项后得到Rconst，说明在考虑单体内扩散时，由于时间较短，可以将粒子半径作为常数考虑。因此，选择1为时间尺度显然不妥，得到的不是我们希望关注的问题。○2如果选取22csgrD为时间尺度，（20）、（21）式可无量纲化为：221()(25)(26)cRrrMMrtrrrdRMdtr此时粒子生长方