眼科病床安排的数学模型获国家一等奖的数模论文(河南理工大学)

1类比法安排眼科病床模型河南理工大学刘倩斐王贤吴海峰摘要在考虑这篇论文时，发现医院安排病人住院模式与计算机操作系统中作业的调度极其相似，同时借鉴了CPU的线性流水技术，即时间和空间并行，很大程度上提高了运行速率。本文直接引用这里面的优秀的算法，高屋建瓴地采用类比法，对各个问题进行了求解。针对问题一，通过层层分析，分析出住院时间可分为可控时间和不可控时间，提出了平均住院时间有效利用率这一评价指标，克服了其他指标只能衡量院方或患者的利益的缺点，简便有效的评价了病床安排模型的优劣。其中niTbiTpi1。并进一步建立了指标评价体系，针对指标的取值范围，给出相应的评价。并按此方法计算出FCFS安排模型的指标=0.67，属于比较合理的范围。对于问题二，不难发现FCFS算法的主要不足之处在于未考虑到星期一、星期三只能做白内障手术，这样如果住院安排不合理，可能使病人手术前准备工作完成后，会因为受手术时间的限制而不能做，延长了等待时间，造成了时间浪费。因此，在FCFS算法的基础上进行改进，提出了最适合优先服务BFFS安排模型。利用求得的每种病住院的星期适合度和计算出的第二天的出院人数，按照BFFS安排模型对第二天的住院病人进行了合理的分配,利用第一问的评价模型，得到=1，表明这种安排模型非常合理。对于第三问，经题意分析可知，该问题为问题二的推广，是一个动态优化问题，为了简化模型，将以后患者的影响略去，同时留出床位为外伤准备，而且兼顾FCFS模型，问题便简化成线性规划问题，建立以最大星期合适度为目标函数的线性规划模型，编写相应的LINGO程序，从而可以很快求出结果。对于第四问，考虑到星期六、星期日虽不安排手术但可以安排住院、接受门诊，在以提高住院时间有效利用率为目标的基础上调整了各种病住院的星期适合度，在对问题二进行了重新求解后，可知医院需要调整手术时间，即将白内障手术调到周三和周五进行。对于第五问，通过转换思维，把医院这个系统的运转过程优化成在效率很高的流水线上作业，并通过合理分配病床使得流水线工作效率最高，并利用欧氏距离对病床的比例安排进行了线性规划求解，得出了最佳安排模型。关键字:最高响应比时间利用率BFFS安排模型星期适合度2一、问题重述1.1问题背景医院就医排队是大家都非常熟悉的现象，它以这样或那样的形式出现在我们面前，例如，患者到门诊就诊、到收费处划价、到药房取药、到注射室打针、等待住院等，往往需要排队等待接受某种服务。我们考虑某医院眼科病床的合理安排的数学建模问题。该医院眼科门诊每天开放，住院部共有病床79张。该医院眼科手术主要分四大类：白内障、视网膜疾病、青光眼和外伤。附录中给出了2008年7月13日至2008年9月11日这段时间里各类病人的情况。该医院眼科手术条件比较充分，在考虑病床安排时可不考虑手术条件的限制，但考虑到手术医生的安排问题，通常情况下白内障手术与其他眼科手术（急症除外）不安排在同一天做。当前该住院部对全体非急症病人是按照FCFS（Firstcome,Firstserve）规则安排住院，但等待住院病人队列却越来越长，医院方面希望我们能通过数学建模来帮助解决该住院部的病床合理安排问题，以提高对医院资源的有效利用。1.2情况介绍白内障手术较简单，而且没有急症。目前该院是每周一、三做白内障手术，此类病人的术前准备时间只需1、2天。做两只眼的病人比做一只眼的要多一些，大约占到60%。如果要做双眼是周一先做一只，周三再做另一只。外伤疾病通常属于急症，病床有空时立即安排住院，住院后第二天便会安排手术。视网膜疾病和青光眼比较复杂，有各种不同情况，但大致住院以后2-3天内就可以接受手术，主要是术后的观察时间较长。这类疾病手术时间可根据需要安排，一般不安排在周一、周三。由于急症数量较少，建模时这些眼科疾病可不考虑急症。1.3问题提出1、试分析确定合理的评价指标体系，用以评价该问题的病床安排模型的优劣。2、就该住院部当前的情况，建立合理的病床安排模型，以根据已知的第二天拟出院病人数来确定第二天应该安排哪些病人住院。并对你们的模型利用问题一中的指标体系做出评价。3、作为病人，自然希望尽早知道自己大约何时能住院。能否根据当时住院病人及等待住院病人的统计情况，在病人门诊时即告知其大致入住时间区间。4、若该住院部周六、周日不安排手术，请你们重新回答问题二，医院的手术时间安排是否应做出相应调整?5、有人从便于管理的角度提出建议，在一般情形下，医院病床安排可采取使各类病人占用病床的比例大致固定的方案，试就此方案，建立使得所有病人在系统内的平均逗留时间（含等待入院及住院时间）最短的病床比例分配模型。3二、模型假设1．假设只考虑这四种眼科疾病。2．外伤病人就诊后，院方在安排病人入住时首先安排外伤病人入院。3.由于除外伤外其他急症数量较少，建模时这些眼疾病可不考虑急症。4.假设医院医生充足，且每个医生都会做这四种手术。5．假设院方只在门诊结束后统一安排病人入住，此时也包括今天出院的病人空出的床铺。6．假设病人在每天早上出院或入院。7．不考虑手术失败重复手术的情况。三、符号说明i：表示第i个病人；Ti：表示i个病人从就诊到出院花费的时间；Twi：表示第i个病人从就诊到等待住院的时间；Tbi：表示第i个病人从住院到第一次手术的时间；Tpi：表示第i病人的必须的术前准备时间；Tui：表示无意义的术前准备时间；Tri：表示第i个病人从住院到出院的时间，对于双眼白内障病人包括两次手术之间的时间2天；Nj：表示第j天出院的病人数。四、问题分析4.1对病人住院过程的理解病人住院过程分为几部分，入院前等待期间，术前等待期间，手术期间（与手术次数相同）和术后观察期间。流程图如下：在研究病人就诊及住院的过程时发现，医院在安排病人住院和手术的过程与操作系统中作业的调度的过程极其相似，目前医院是按照FCFS（Firstcome,Firstserve）规则安排病人住院，而计算机操作系统中作业调度的算法经过很多科学家的不断研究，取得了很大的成果，从先来先服务FCFS,到最短作业优先法SJF，到最高响应比优先法。每一种算法都对前一种算法进行了改进和综合，直接借用住院就诊手术出院等待时间术前准备术后观察等待时间占用床位时间4最有效的算法，最高响应比优先法，通过类比分析，把两个看起来不相关的过程联系起来。把等待住院的病人看作是等待执行的作业，病人占用病床的时间相当于任务占用CPU的时间，最高响应比优先法的思想是先执行占用CPU内存有效利用率最大的任务，对应到本题中，安排病床的指导思想是病人住院期间不必要的等待时间占整个住院时间的比率尽量小。住院时间有效利用率尽量大这一思想是第一问评价模型指标，也是第二问中建立模型的中心点。4.2对手术时间和医生限制的理解白内障手术每周一、三做，白内障双眼是周一先做一只，周三再做另一只。通常情况下白内障手术与其他眼科手术（急症除外）不安排在同一天做。外伤疾病通常属于急症，病床有空时立即安排住院，住院后第二天便会安排手术。我们认为白内障手术只在周一、三做，视网膜疾病和青光眼只在周二、四、六、日做，外伤手术每天都做，而且安排病人要优先安排外伤病人。4.3对周末不安排手术的理解周末不安排手术，并不是其他工作也停止下来，门诊接待病人及手术的准备工作仍照常进行，因为外伤必须在门诊后第一天入院，第二天天做手术，这与医院的手术时间冲突，故星期四不能接待外伤的病人，一旦出现此种病人，建议其转院治疗。4.4对衡量病床安排模型指标的理解一般来说，病床使用率和周转次数是衡量医院工作效率和治理质量的重要指标，指平均每张床在一定时期内周转的次数(习惯上称之为率)。平均病床周转率(次数)=(次)说明在一定时期内，平均每一张病床收治了多少病人，从而了解病床的利用情况和治疗情况。病床使用率是反映每天使用床位与实有床位的比率，即实际占用的总床日数与实际开放的总床日数之比。五、模型建立与求解5.1问题一模型一：最高响应比优先法5.1.1概念说明：（1）最高响应比优先法(HRN)最高响应比优先法(HRN)是CPU作业调度时运用的优化方法，是对FCFS方式和SJF方式的一种综合平衡。FCFS方式只考虑每个作业的等待时间而未考虑执行时间的长短，而SJF方式只考虑执行时间而未考虑等待时间的长短。因此，这两种调度算法在某些极端情况下会带来某些不便。HRN调度策略同时考虑每个作业的等待时间长短和估计需要的执行时间长短，从中选出响应比最高的作业投入执行。响应比R定义如下：R=W+T/T=1W/T，其中T为该作业估计需要的执行时间，W为作业在后备状态队列中的等待时间。每当要进行作业调度时，系统计算每个作业的响应比，选择其中R最大者投入执行。这样，即使是长作业，随着它等待时间的增加，W/T也就随着增加，5也就有机会获得调度执行。这种算法是介于FCFS和SJF之间的一种折中算法。由于长作业也有机会投入运行，在同一时间内处理的作业数显然要少于SJF法，从而采用HRN方式时其吞吐量将小于采用SJF法时的吞吐量。（2）类比建模法类比法是依据两个对象的已知的相似性，把其中一个对象的已知的特殊性质迁移到另一对象上去，从而获得另一个对象的性质的一种方法。因此类比法是一种寻求解题思路、猜测问题答案或结论的发现的方法。类比法使用可靠性的三个原则，一是所根据的相似属性要尽可能多；二是所根据的相似属性之间的联系要尽可能紧密；三是所根据的相似数学模型要尽可能精确。5.1.2类比法建立模型：1）类比分析并建模CPU处理任务的过程如下：病人去医院接受治疗的流程图如下：对比两个流程图,发现两个过程相似度很高,而且最高响应比这一指标也相当准确。于是采用类比法参照CPU处理任务的模式进行处理。对于医院来说，一个好的安排模型应该具有这样的标准：1）在这个安排模型下床位占用率最高。2）病人的平均占用病床的时间最短，减少许多不需要的等待时间。这样病人减少了住院花费，医院也可以安排更多的病人。由题意可知医院床位供不应求，表中数据也显示目前住院人数为79，即病床利用率为100%，而且还有等待入院的病人。故只需要考虑第二个标准即可。病人在接受治疗过程中占用病床的时间是由住院到出院这一段时间：TsiTbiTri包括从住院到手术和术后观察的所有时间，要满足第二个标准即Tri最短。进入CPU任务到来CPU处理结束任务Twi等待时间占用CPU时间Tri住院就诊手术出院等待时间术前准备Tbi术后观察TsiTwi等待时间Tri占用床位时间6而术后观察时间由于每个病人的个体差异不同会有少许的波动，是不可预测的，也不由医院的安排方法不同而变化。因此说合理的安排算法使得Tri最短,也就是使得从病人住院到进行手术这一段时间Tbi最短。对于Tbi主要由两部分构成，一部分是必要的术前准备时间Tpi，而另一部分则是由于医院的安排不合理或一些特殊情况造成的，毫无意义的等待时间Tui。例如：对于青光眼病人按预期能进行手术那天是星期一或星期三，可能因为那天只能进行白内障手术，因此就要多等待一天，而这一天很显然是浪费的，对于医院和病人都是损失。因此我们根据最高响应比优先法提出以下模型，通过定义住院时间有效利用率衡量作为评价指标。TbiTpi术前准备时间必要的准备时间其中Tpi是必要的准备时间，术前等待时间Tbi包括有效的准备时间和无意义的等待时间段，即：TuiTpiTbi为了衡量安排方法的合理性，可以通过建立平均住院时间有效利率这一指标来衡量。niTbiTpi1进一步建立评价体系，我们把的取值区间[0,1]划分为四个区域，根据住院时间有效利用率值的大小，给予相应的评价。如下表所示：的值1,0.750.75,0.50.5,0.250.25,0相关评价非常合理比较合理不太合理不合理2）确定相关数据对于一种特定的眼病手术来说，这个手术的准备时间便是确定的，题中给出白内障手术的术前准备时间只需1-2天，视网膜疾病和青光眼大致需要2-3天。这些时间只是一个区间，但可由表中给出的数据，在Excel中统计出每种病人所必