直升机动力学基础(单自由度系统振动-2011-11)

第二章单自由度系统振动特性一、概述1.简谐振动的描述三角函数表示法：简谐振动三要素：振幅、频率、初相位)sin()(0tAtx)sin()()()sin()()(020002tAtxtatAtxtu简谐振动的速度和加速度)sin()(0tAtx一、概述1.简谐振动的描述旋转矢量表示法：一长度等于振幅a的矢量，自角φ开始以等角速度ω绕原点逆时针旋转，其在纵轴上的投影即代表一简谐振动。一、概述1.简谐振动的描述复数表示法：ietiAetiAetZ)()())(Im()(tZtx一、概述2.周期振动及其谱分析周期振动)()(txTtx1000sincos2)(nnntnbtnaatxTdttxTaT000)(22TnTntdtntxTbtdtntxTa0000sin)(2cos)(2一、概述2.周期振动及其谱分析周期振动谱分析1000sincos2)(nnntnbtnaatx,,22200nnnnnnbaarctgbaAaA100)sin()(nnntnAAtx一、概述令x为位移，以质量块的静平衡位置为坐标原点，为静变形。当系统受到初扰动时，由牛顿第二定律，得：()mxmgkx二、无阻尼单自由度系统自由振动1.振动微分方程在静平衡位置：mgk()()0mxtkxt二、无阻尼单自由度系统自由振动固有振动或自由振动微分方程：设其解有如下形式：()stxtxex20msk二、无阻尼单自由度系统自由振动式中和s为常量。将上式带入微分方程这个以s为变量的方程称为特征方程()()0mxtkxt化简后得：特征方程的解1,2nsjnkm二、无阻尼单自由度系统自由振动其中：系统的固有圆频率（固有频率）2.固有频率特征根振动微分方程的通解一般表示为特征解的线性叠加：12()cossinnnxtatat()sin()nxtAt二、无阻尼单自由度系统自由振动式中a1和a2为常数，由系统运动的初始条件来决定。根据三角公式，上式又可写为：式中A和分别称为振幅和初相位。3.简谐振动设系统在初始时刻t=0的位移和速度为：00(0),(0)xxxx0102a,anxx二、无阻尼单自由度系统自由振动将上式带入系统的通解，得：于是：00()cossinnnnxxtxtt220000(),arctan()nnxxAxx二、无阻尼单自由度系统自由振动上式所确定的振动被称为无阻尼自由振动。由系统的初始条件也可以得：于是方程的解也可以写成：()sin()nxtAt4.弹簧的串联和并联121211pkk1212kkkkk二、无阻尼单自由度系统自由振动等效刚度为:右图所示相互串联的两个弹簧受静载P作用时，总变形量为：因此：弹性元件并联将提高总刚度串联将降低总刚度12kkk二、无阻尼单自由度系统自由振动当两个弹簧并联时等效刚度为：5.等效单自由度系统在工程实际中，存在许多可以简化成典型单自由度系统的的结构系统。Tlk二、无阻尼单自由度系统自由振动（1）单自由度扭振系统如右图，假设盘和轴都为均质体，不考虑轴的质量。设扭矩T作用于盘面，此时圆盘产生一角位移θ，根据材料力学可知：该系统的扭转振动方程为：0IknkI二、无阻尼单自由度系统自由振动系统固有频率为：()()0mxtkxt1,2nsjnkm20msk()stxtxe系统对初始扰动的自由振动响应为：(0)()(0)cossinnnnttt二、无阻尼单自由度系统自由振动00()cossinnnnxxtxtt（2）简支梁横向振动如图所示为一均匀简支梁的横向振动模型348plEI二、无阻尼单自由度系统自由振动假设系统的质量M全部集中在梁的中部，中部受到一个力p的作用。取梁的中部挠度作为系统的位移，根据材料力学得静挠度为：则系统自由振动方程为：()()0eMxtkxtenkM二、无阻尼单自由度系统自由振动振动固有频率为：定义简支梁等效刚度：348ePEIkl（3）桨叶微幅摆动二、无阻尼单自由度系统自由振动练习一、图示直升机桨叶，实验测得其对摆振铰的质量静矩为ml，试建立其摆动微分方程，并设计一个实验，用于测定桨叶对摆振铰的转动惯量。•实际机械的系统总存在着各种各样的阻力。振动中将阻力称为阻尼，例如摩擦阻尼、电磁阻尼、介质阻尼和结构阻尼。尽管已经提出了许多数学上描述阻尼的方法，但是实际系统中阻尼的物理本质仍然难以确定。•最常用的一种阻尼力学模型是粘性阻尼。在流体中低速运动或沿润滑表面滑动的物体，通常就认为受到粘性阻尼。三、有阻尼单自由度系统自由振动1.振动微分方程()()()0mxtcxtkxt00(0),(0)xxxx()stxtxe三、有阻尼单自由度系统自由振动初始条件:根据常微分方程理论，振动微分方程解的形式为：解带入到微分方程，得到特征方程：20mscsk21,21nns2ncm三、有阻尼单自由度系统自由振动解出一对特征根并化简得：其中：阻尼比2.过阻尼情况（）122(1)(1)12()nnttxtaeae2200(1)(1)001222,2121nnxxnnxxaa三、有阻尼单自由度系统自由振动这时特征根是一对互异实根，方程的通解是：将上式及其导数代入到初始条件中，可得：三、有阻尼单自由度系统自由振动可以证明，这种运动至多过平衡位置一次就会回到平衡位置，没有没有振荡特性。下图为其典型的时间历程。3.临界阻尼（）此时特征根是一对相等的实根11,2ns三、有阻尼单自由度系统自由振动如过阻尼的情况类似，这种运动也按指数规律很快衰减，至多只过平衡点一次，没有振荡特性。4.欠阻尼（）0121,21nnsj三、有阻尼单自由度系统自由振动方程的通解（系统的振动响应）为：特征方程的根是一对共轭复根12()cossinntddxteatat()sin()ntdxtAet或设系统在初始时刻t=0的位移和速度为：00102a,andxxx将上式带入系统的通解，得：于是：三、有阻尼单自由度系统自由振动00(0),(0)xxxx000()cossinntndddxxxtextt或：22000000)(arctannddnxxAxxxx三、有阻尼单自由度系统自由振动()sin()ntdxtAet三、有阻尼单自由度系统自由振动()sin()ntdxtAet欠阻尼系统的位移时间历程是在系统平衡位置附近的往复振动，但幅值不断衰减，不再是周期振动。欠阻尼系统的特性：ntAe三、有阻尼单自由度系统自由振动1.阻尼系统的自由振动幅值按指数规律衰减。2221ddnT三、有阻尼单自由度系统自由振动2.阻尼系统的自由振动是非周期振动，但其相邻两次沿同一方向经过平衡位置的时间间隔相等，均为：阻尼振动周期221dndT三、有阻尼单自由度系统自由振动阻尼固有频率（自然频率）2221ddnT阻尼振动频率和阻尼振动周期是阻尼系统自由振动的重要参数。当阻尼比很小时，他们与系统的固有频率以及固有周期差别很小，甚至可以忽略。3.振幅对数衰减率振幅对数衰减率定义为经过一个自然周期相邻两个振幅之比的自然对数，即：()22ln1nndttTee三、有阻尼单自由度系统自由振动有阻尼自由振动特性()()()0mxtcxtkxt21dnnkm2ncm三、有阻尼单自由度系统自由振动有阻尼自由振动特性1)非周期振动x(t+Td)≠x(t)2)等时性Td=2π/ωd3)振幅按指数规律衰减4)当ζ1时，ωn≈ωd5)当ζ1时，对数衰减率δ≈2πζ三、有阻尼单自由度系统自由振动1.简谐力激励下的振动运动微分方程该方程的解为齐次方程和非齐次方程的一个特解叠加由微分方程关于解的理论，特解具有如下形式：将特解带入方程即可解出00()()()sin()sinmxtcxtkxtftFtft*()()()xtxtxt*()sin()ddxtBt四、单自由度系统受迫振动无阻尼单自由度系统运动方程的通解：代入到初始条件0222,tan()()ddfcBkmkmc30102222222200022222222()(2)[()2][()(2)]nnnnnnnddnnBaxxxBa00fBk式中~12()(cossin)ntddxteatat00(0),(0)xtxxtx四、单自由度系统受迫振动特点：1）自由衰减振动通解与简谐振动特解的叠加。2）随时间增加，自由衰减振动趋近于零，为瞬态解；受迫振动响应是简谐振动，为稳态解，与初始条件无关。3）系统振动趋近于稳态解，阻尼越大，过渡时间越短。4）若只求稳态解，只需求特解。四、单自由度系统受迫振动四、单自由度系统受迫振动稳态振动响应因系统的过渡过程很短暂，故在大多数实际问题中主要关心系统的稳态响应。因此定义两个无量纲参数：频率比和位移振幅放大因子：将这两个参数带入到和中可得：d00,/dddnBBBfkdBtand22212,arctan()1(1)(2)dd四、单自由度系统受迫振动稳态振动的幅值随外激励频率的变化可通过的关系曲线描述，称为位移幅频特性曲线。而稳态振动的初相位随外激励频率的变化通过的关系曲线描述，称为位移相频特性曲线。显然，系统的阻尼对这两条曲线有影响dB~dd~d四、单自由度系统受迫振动1）在=1（图中为S）左侧附近位移幅频特性曲线出现峰值，阻尼比越小，峰值越高；四、单自由度系统受迫振动1）在λ=1（图中为S）左侧附近位移幅频特性曲线出现峰值，阻尼比越小，峰值越高；2）在激励频率相对系统固有频率很大时，此时稳态振动的振幅与静态位移接近；3）在激励频率相对系统固有频率很大时，此时稳态振动的振幅约为零，系统在稳态时几乎静止不动。dB0BdB四、单自由度系统受迫振动位移相频特性曲线如下图：1当上，不管阻尼比如何变化，位移在相位上总是落后于激励。2当阻尼比很小时，在左右两侧相位差接近，因而通常称为反相点。3当时，之间的关系曲线在时接近直线。12110.707~d1四、单自由度系统受迫振动根据位移振幅放大因子，我们也可以定义速度振幅放大因子以及加速度振幅放大因子，并且很容易知道加速度和位移之间的相位差为，速度和位移之间的相位差为。根据上述分析可知稳态响应具有如下特征：（1）低频段（）由各幅频特性曲线可知这说明；在低频段振动的位移振幅近似等于激振力幅作用下的静位移，而速度振幅和加速度振幅近于零，此时可以将系统看作为静态。vd2ad2011,0,0dva四、单自由度系统受迫振动（2）高频段（）在高频段有这表明，系统在高频段的稳态位移和速度都很小，而稳态加速度幅值为同时，加速度和激振力基本同相位，故系统运动主要由惯性力和激振力间的平衡关系给出，系统基本呈惯性。10,0,1,,,02dvadva0afBm四、单自由度系统受迫振动（3）共振（）对于的欠阻尼系统，当激励频率由低向高缓慢增加时，系统稳态振动的位移、加速度和速度都会在此时出现极大值，系统发生强烈振动。称这种现象为共振。位移共振频率比速度共振频率比加速度