直升机动力学基础(多自由度系统振动-2011-11)

南京航空航天大学NanjingUniversityofAeronautics&Astronautics直升机技术研究所InstituteofHelicopterTechnology练习1.静止在平衡位置上的单自由度系统，已知参数m、k、c，求其受简谐激振力作用时的振动响应。0()sin()kftFtm南京航空航天大学NanjingUniversityofAeronautics&Astronautics直升机技术研究所InstituteofHelicopterTechnology第三章多自由度系统的振动南京航空航天大学NanjingUniversityofAeronautics&Astronautics直升机技术研究所InstituteofHelicopterTechnology两自由度振动系统南京航空航天大学NanjingUniversityofAeronautics&Astronautics直升机技术研究所InstituteofHelicopterTechnology11112211122112222132221322()()()()()()mukukuucucuuftmukuukucuucuft方程之间存在耦合根据牛顿第二定律得系统的运动方程：南京航空航天大学NanjingUniversityofAeronautics&Astronautics直升机技术研究所InstituteofHelicopterTechnology写成矩阵形式：南京航空航天大学NanjingUniversityofAeronautics&Astronautics直升机技术研究所InstituteofHelicopterTechnology从方程中可以看到描述系统特性的M、K不再是两个常数而是两个常数矩阵。并且系统中各质量块的运动是关联的。这反映在矩阵K中非对角元素不为零。通常将这种系统运动的相互关联称为耦合。南京航空航天大学NanjingUniversityofAeronautics&Astronautics直升机技术研究所InstituteofHelicopterTechnology建立系统微分方程的方法南京航空航天大学NanjingUniversityofAeronautics&Astronautics直升机技术研究所InstituteofHelicopterTechnology(1)刚度影响系数考虑一个系统中的两个坐标i和j。沿坐标j作用单位位移，而把其它坐标固定，由此在坐标i上产生的力，就定义为刚度影响系数ijk1.刚度矩阵的建立南京航空航天大学NanjingUniversityofAeronautics&Astronautics直升机技术研究所InstituteofHelicopterTechnology如果系统具有n个自由度，x1到xn，则根据线性叠加原理，相应的力为:结论：刚度矩阵K中的元素kij是使系统仅在第j个坐标上产生单位位移,而相应于第i个坐标上所需施加的力。11iiinnFkxkx矩阵型式为:FKx南京航空航天大学NanjingUniversityofAeronautics&Astronautics直升机技术研究所InstituteofHelicopterTechnology刚度影响系数南京航空航天大学NanjingUniversityofAeronautics&Astronautics直升机技术研究所InstituteofHelicopterTechnology南京航空航天大学NanjingUniversityofAeronautics&Astronautics直升机技术研究所InstituteofHelicopterTechnology南京航空航天大学NanjingUniversityofAeronautics&Astronautics直升机技术研究所InstituteofHelicopterTechnology2.阻尼矩阵的建立MuCuKufCuf00阻尼影响系数：第个自由度产生单位速度，其他自由度处的速度为零时，需要在第自由度处施加的力。ijcjiijmjiMuf质量影响系数：第个自由度产生单位加速度，其他自由度处的加速度为零时，需要在第自由度处施加的力。MuCuKuf03.质量矩阵的建立南京航空航天大学NanjingUniversityofAeronautics&Astronautics直升机技术研究所InstituteofHelicopterTechnology在分析力学中，基于虚位移原理和达朗贝尔原理，可导出一般完整约束系统的Lagrange方程，即：()jjjjdTTVfdtqqq（j=1，2……N）1.完整定常约束系统的Lagrange方程d(),1,,diiiiTTVQintqqq①系统不存在线性粘性阻尼时动能111122nnTijijijTmqqqMqT广义坐标iqV势能111122nnTijijijVkqqqKqiq与广义坐标对应的非保守外力(除有势力以外的所有外力).iQ②系统存在线性粘性阻尼时的Lagrange方程111122NNdefTijijijDcqqqCq耗散函数:iiVfq广义力等于势能对于相应广义坐标的偏导数的负值.理论力学,刘延柱编著idiDfq阻尼力:d(),1,,diiiiiTTDVQintqqqq1f1m1k2k3k1c2c3c2m3m2f3f22211221332111()()222Dcucuucuu耗散函数：对于离散系统,耗散函数的计算类似于系统弹性势能的计算,只不过需要将弹性势能的计算中的刚度系数换成阻尼系数,广义位移换成广义速度2.利用Lagrange方程建立系统运动微分方程的步骤①选定系统的广义坐标;②计算系统的动能,势能和耗散函数,并计算有关偏导数;③计算对应于各个广义坐标的非保守广义力.3.用Lagrange方程建立系统运动微分方程的优点不用做隔离体的受力分析,免去处理约束力,是建立复杂离散系统运动微分方程的首选方法.由微振动假设,系统各个广义位移和广义速度都可以看作是一阶小量,从而导出的微幅振动方程也将精确到一阶小量.利用Lagrange方程求系统的运动微分方程时，系统的能量要对广义坐标求一阶导数，由于求导运算将使精度降低一阶，所以在计算动能和势能的时候必须精确到二阶小量。4.注意事项21221112121[()]2NiiiNiiiiTmuVkukuuuuuukkkkkmmmmNNNfffNf121212312N1N1N11N【例】建立图示系统的运动方程解:取为广义坐标，则该系统的动、势能分别为：12,,Nuuu_______________________iVu__________idTdtu_____iTu1____________Vuiimu0______________NVu11221()kukuu111()()iiiiiikuukuu(2,1)iN1()NNNkuud(),1,,diiiiTTVQiNtqqq21221112121[()]2NiiiNiiiiTmuVkukuu1,,iN111122111111()()(),2,,1()iiiiiiiiiNNNNNNmukukuufmukuukuufiNmukuuf11221122NNNNWfufufuQuQuQu非保守外力在虚位移上所做虚功之和【例】建立图示系统的运动方程取小车的绝对位移和圆柱体的绝对位移为广义坐标.2u1u2221122022211222212211221111222111()22411()22TmumuJmumumuuVkukuu1______________dTdtu1_________________Vu112211()2mumuu11221()kukuu2______________dTdtu1_________________Vu222211()2mumuu221()kuu2211212122()()022mmmuukkuku运动方程:221221223022mmuukuku220211,=()2mJruur【例】建立图示系统的运动方程uMmkc取小车的绝对位移和摆的偏转角为广义坐标.u计算动能:llu22211()2cos22TMumlulu22211()cos22Mmumlmlu计算势能:取为系统的零势能位置.0,0u22211(1cos)222Vkumglkumgl22211()22Mmumlmlu计算耗散函数:212Dcu22211()22TMmumlmlu22122Vkumgl212DcudTdtuVuDudTdtDV运动方程:()0Mmumlcuku20000000Mmmlucukumlmlmgl()Mmumlcuku2mlmlu0mgl20mlumlmgl南京航空航天大学NanjingUniversityofAeronautics&Astronautics直升机技术研究所InstituteofHelicopterTechnology无阻尼系统的自由振动南京航空航天大学NanjingUniversityofAeronautics&Astronautics直升机技术研究所InstituteofHelicopterTechnology•二自由度的固有振动如图所示系统的自由振动响应由下述微分方程组和初始条件确定，即南京航空航天大学NanjingUniversityofAeronautics&Astronautics直升机技术研究所InstituteofHelicopterTechnology如上方程组的解具有以下形式将其带入到方程中，得到一二元齐次线性方程组，写成矩阵形式如下：对于二自由度系统，系统矩阵式2*2的对称矩阵。欲使系统振动，则应有非零解，这要求0()()0(0)0,(0)Mxtkxtxxx12()[]sin()xtt11121122122220000kkmkkm2111112221222det[]0kkkkkm南京航空航天大学NanjingUniversityofAeronautics&Astronautics直升机技术研究所InstituteofHelicopterTechnology展开上述行列式，可得视上式为的二次代数方程，解出一对根将其分别带回二元齐次方程组求非零解，可确定两个实数向量222211221122121212()()0kkkkkmmmm22221222111222111122121,21212121()4()22mkmkmkmkkkkmmmmmm1112121222[],[]南京航空航天大学NanjingUniversityofAeronautics&Astronautics直升机技术研究所InstituteofHelicopterTechnology因此，二自由度无阻尼系统的自由振动响应为上述分析表明，二自由度无阻尼系统具有两种不同频率的同步自由振动仿照研究单自由度系统的术语，将这两个频率从小到大依次称为第一阶和