现代控制理论1状态空间表达

现代控制理论教材及参考书时域部分：刘豹主编，现代控制理论，机械工业出版社复频域部分：郑大钟主编，线性系统理论，清华出版社其它参考：线性系统理论；线性系统理论前修课程：线性代数；自动控制原理。学时数：32考核形式与要求：1）听课率80%以上2）独立完成作业3）完成自学内容。4）课堂提问达到要求5）期末考试主讲：刘贺平1状态空间表达式1．1状态变量及状态方程（1）状态变量：完全表达系统运动状态的最小个数的一组变量.例如，n阶微分方程描述的系统有n个变量)(,,nyy。变量的选取不唯一，但要相互独立.（2）状态向量：若nitxi~1),(，为状态向量，则)()(1txtxxn称为状态向量，)()()(1txtxtxnT。（3）状态空间:以x(t)各分量为坐标轴所构成的n维空间。x(t)在状态空间中是一条轨迹，称为状态轨迹。（4）状态方程：形式为BuAxx，其中，nRx，rRu，A，B为矩阵，当u为标量时B→b为n1矩阵.（5）输出方程：y=Cx+Du,y∈mRy，nmRC,rmRD,（6）状态空间表达式：将状态方程和输出方程合并一起表示一个系统.rnrnnrrnnnnnnnnnuuubbbbbbbbbxxxaaaaaaaaaxxx21212222111211212222211121121rmrmmrrnmnmmnnmuuudddddddddxxxcccccccccyyy212122221112112121222211121121（7）方块图：uxxy1.2模拟结构图。见P13图1-3，1-4，1-5，1-6.1.3状态方程的建立(1)由框图→状态方程例P15,图1-7，（a）,uy-变换方法：例如第一个环节，rSTKC111→CTrTKSC1111→rTKCTC1111→rcrccBACDsTK111rsTK121rsTK13sTK111r11TK-由此可得P15的图1-7-b)。u3xx32xx21xyx1状态方程为:114122233101000TTKKTKTTKx321xxxuTK11000011xy321xxx∫11T11TTK11TK11T11TK22TK33TK11K4T21(2)机理分析根据研究对象的物理规律，用数理分析方法写出描述运动规律的数学表述.例：直流他励电动机工作原理如图:u选ix1，2x=,则有dtdix1，dtdx2.电枢回路；uedtdiLiR，bKe动力学方程为：iKBdtdJaaK——转矩系数，bK——反电势系数，B——摩擦系数.整理后得：uLLKiLRdtdib1JBiJKdtda即uLxxJBJKLKLRxxab0121211.4由传函写状态方程(1)传函中无零点的情况)()()(01110SUSYasasasbSWnnn对应的微分方程为：ubyayaynnn00)1(1)(设0)1(0201,,,byxbyxbyxnn则，uxaxaxaxxxxxnnn121103221即1102101000010nnaaaxxxnxxx21+100unxxxbxby2101000011001000010naaaA100b000bc例：uyyyy5846设...32151yyyxxx，则，cxybuAxx648100010A,100b,005c.(2)传函中有零点的情况)()()(0111011SUSYasasasbsbsbSWnnnmmmm①mn，设ybsbsbyuasasasymmnnn~)(1~010111作拉普拉斯反变换，由第一式得：uyayaynnn~~~0)1(1)(由第二式得：ybybybymmmm~~~0)1(1)(设状态变量为：)1(21~~~nnyyyxxx，可得uxxxaaaxxxnnn1000010000102111021nmxxxbbby211000例：uuuyyyy51025853358100010A，100b，25105c.②m=n时，用长除法可得：)()(sUsY=d+)()(sAsB,)()()()()(sUsAsBsdUsY状态变量选取如前，只是输出方程有变化.ducxy(3)多输入多输出系统的实现以一双入双出系统为例241423223121122111ubyayayubububyayay(1-35)按高阶导数项求解则:242211223122211111)()(ubyayayububyaubyay进一步：dtubyayaydtububyadtubyay)()()(2422142223122211111结构图如图1-17(P28)取每个积分器的输出为一个状态变量，则:24331432312322112111ubxaxaxububxaxubxxax,3211xyxy用状态方程表示则：cxyBuAxx其中：343100001aaaaA，432100bbbbB，100001c1.5状态向量的线性变换(1)状态方程的非唯一性设给定系统：DuCxyxxBuAxx0)0(,设T为nn维非奇异矩阵，作变换：xTzTzx1,则变换后DuCTzyxTxTzBuTATzTz01111)0()0(,uDzCyuBzAz,变换矩阵T可取任意非奇异矩阵，因此，状态空间表达式是不唯一的。(2)特征值的不变性证明：变换后的特征方程：ASITASITATTSTTATTSI1111(3)变换A为约旦标准型原系统为：CxyBuAxx,作xTzTzx1,变换后：CTZyBuTJzz,1其中J为约当标准形矩阵1)一般情况：①A有n个互异根nii1,，设iP为i的特征向量，则变换矩阵为：nPPPT21由特征向量的定义niPAPiii,,1,，则有nnnnTPPPPPPAT0000112121两边用1T左乘得nATT0011例：xyux00110051166116110令:051166116110AI解得特征方程为：0)3)(2)(1(611623可以解得特征根为321321由312111111PPPPAP，即51166116110312111312111PPPPPP进一步写成:00061166106111312111*PPP(注:1*原为-1)61160101110312111PPP0050040101131211PPP0000010101131211PPP得:1011P,(令P13=1,为计算方便需取基础解系的最简形式).由222PAP，得07116696112322212PPP行变换07116120112322212PPP行变换0336120112322212PPP行变换0000120112322212PPP行变换0000120012322212PPP，取简单形式，得:4212P类似地，由333PAP，可得：9613P于是：321PPPT=941620111，123134322531T)1(*1TTT变换后:321000003211ATT111941620111001CTC132100123134322531BTB，于是得到变换后的状态空间描述为:321321111132321zzzyuzzzz2)A为标准型110101000010naaaAA的特征根无重根1121121111nnnnnTA的特征根有重根，以1为三重根为例,T=114211121111122412141)(21)(120111001nnnnnnnndddd1.6由状态方程求传递函数矩阵设系统的状态方程为：（1）一般情况DuCxyBuAxx,在零初始条件下，将上式进行拉氏变换可得:)(}{)()()()()(111SUDBASICSDUSBUASICSYSBUASISX因此传递函数矩阵为：DBASICSW1)(如果线性变换为:xTzTzx1,变换后DuCTzyxTxTzBuTATzTz01111)0()0(,传递函数矩阵为:DBASICDBTATTSITCDBTATTSICTSW