数理统计之假设检验

第四章假设检验基本要求理解假设检验的概念及其基本思想。理解拒绝域、临界值、显著水平等概念。掌握假设检验的基本步骤。了解假设检验可能产生的两类错误。一假设检验基本概念例，对某产品进行了工艺改造或研制了新产品，要比较原产品和新产品在某一项指标上的差异，这样我们面临选择是否接受假设必须作一些试验，也就是抽样。根据得到的样本观察值nxxx,,,21来作出决定。假设检验问题就是根据样本的信息，检验关于总体的某个假设是否正确。“新产品的某一项指标优于老产品”。假设检验是一种统计推断方法为了了解总体的某些性质，首先作出某种假设，然后进行试验，取得样本，根据样本值，构造统计方法，判断是否接受这个假设，即检验这种假设是否合理，合理则接受，否则拒绝。小概率事件在一次试验中发生的概率记为α，1.0,01.0,05.0在假设检验中,称α为显著水平、检验水平。解决办法与基本思想1明确所要处理的问题，答案只能是“是”或“否”2取得样本，同时要知道样本的分布3把“是”转化到分布上得到一个命题或假设4根据样本值，按照一定的规则，作出接受或拒绝假设的决定。基本思想（规则或前提）小概率事件在一次试验中几乎不会发生。带概率性质的反证法通常的反证法设定一个假设以后,如果出现的事实与之矛盾,(即如果这个假设是正确的话,出现一个概率等于0的事件)则绝对地否定假设.带概率性质的反证法的逻辑是:如果假设H0是正确的话,一次试验出现一个概率很小的事件,则以很大的把握否定假设H0.检验一个H0时,是根据检验统计量来判决是否接受H0的,而检验统计量是随机的,这就有可能判决错误.这种错误有以下两类:H0事实上是正确的,但被我们拒绝了,称犯了“弃真”的(或称第一类)错误.H0事实上是不正确的,但被我们接受了,称犯了“存伪”的(或称第二类)错误.假设检验的两类错误H0为真实际情况决定拒绝H0接受H0H0不真第一类错误正确正确第二类错误P{拒绝H0|H0为真}=,P{接受H0|H0不真}=.犯两类错误的概率:显著性水平为犯第一类错误的概率.当样本容量n固定时，一类错误概率的减少导致另一类错误概率的增加.要同时降低两类错误,必须增加样本容量.在统计学中,通常控制犯第一类错误的概率.一般事先选定一个数,(01),要求犯第一类错误的概率≤.显著性检验：只对犯第一类错误的概率加以控制，而不考虑犯第二类错误的概率。称为显著性水平。P{拒绝|为真}0H0H参数假设检验解题步骤1根据问题提出原假设H0，同时给出对立假设H1（备选假设）；2在H0成立的前提下，选择合适的统计量，这个统计量要包含待检的参数，并求得其分布；3给定显著性水平，按分布写出小概率事件及其概率表达式；4由样本计算出需要的数值；5判断小概率事件是否发生，是则拒绝，否接受二单个正态总体参数的假设检验00:H在实际中，往往把不轻易否定的命题作为原假设.-----原假设（零假设）01:H-----备选假设（对立假设）一、总体均值的假设检验其中是已知常数021.已知时，的检验例1某车间生产铜丝，X的大小。主要质量指标是折断力由资料可认为)8,570(~2NX今换了一批原料，从性能上看，估计折断力的方差不会有变化，但不知折断力的大小有无差别。解此问题就是已知方差228检验假设01:570,:570HH抽出10个样品进行检验，测得其折断力为584596572570570572568570578572（=0.05）看在H0条件下会不会产生不合理的现象，样本均值为X的无偏估计，X0~01XUNn（，）X能较好反映的大小.当为真时，0H差异不能过大。{PX有较大偏差}较小若差异较大，即小概率事件发生，则拒绝假设0.H当为真时，0H0xun衡量的大小0xukn0xukn设一临界值k0，若就认为有较大偏差；则认为不真，拒绝0H0H0H则接受若0,XPkn0~01XUNn（，）/2kz0/2XZn显著性检验：P{拒绝|为真}0H0H拒绝域由样本值求出2.575x这说明小概率事件竟在一次试验中发生了，故拒绝H0，可以接受H1。20.0251.96;zz0575.2570810xn即认为折断力大小有差别5845965725705705725685705785725.2102.0551.968提出原假设和备择假设第一步：已知已知，第二步：选取统计量检验假设的过程分为六个步骤：第三步：拒绝域为第四步：查表确定临界值0xun第六步：判断/2||uz则否定H0，接受H1/2||uz则H0相容，接受H00x)(x22z2z第五步：计算α/2α/2Xφ(x)接受域P(|Z|zα/2)=α拒绝域拒绝域zα/2-zα/2双侧统计检验Z检验某车间用一台包装机包装葡萄糖.包得的袋装糖当机器正常时,某日开工后为检验包装机是否正常,包装的糖9袋,称得净重为(公斤):0.4970.5060.5180.5240.4980.5110.5200.5150.512问机器是否正常?例2重是一个随机变量X,且),(~2NX其均值为μ=0.5公斤,标准差σ=0.015公斤.随机地抽取它所5.0:0H5.0:1H解：先提出假设（=0.05）5.000XUn选取统计量：拒绝域：0/2||xuzn计算得022.21.96xuzn511.0)512.0497.0(91x/20.0251.96,zz0H于是拒绝，认为包装机工作不正常。选择假设H1表示Z可能大于μ0,也可能小于μ0这称为双边假设检验。单边检验0010:;:HH0010:;:HH右边检验左边检验0100:;:)1(HH右边检验查表确定临界值kz（4）取,0xuzn0xun(6),uz0XUn（2）选取统计量：（3）拒绝域为（5）计算则拒绝，接受1;H0H0.H反之，接受左边检验查表确定临界值kz（4）取,0xun(6),uz0XUn（2）选取统计量：（3）拒绝域为（5）计算则拒绝，接受1;H0H0.H反之，接受0100:;:)1(HH0xuzn例32~(,3),XN(0.05)0XUn（2）选取统计量：1700某大学男生身高今测得9名男生身高平均为172,Xcm问是否可以认为该校男生平均身高超过170cm呢？0010(1):;:HH0xuzn（3）拒绝域为解查表确定临界值0.05kzz65.193170172265.1H;H10用用H;H10用用（4）取,0xun（5）计算可以认为该校男生平均身高超过170cm.则拒绝，0H如题目问：是否有明显提高是否有明显下降)05.0(解0xuzn0XUn（2）选取统计量：02000(3)拒绝域为例4设某厂灯泡平均寿命为2000小时,标准差为250小时从技术改造后的灯泡中随机抽取n=25只，测得平均寿命为2250小时,问此产品寿命是否较前有显著提高.0010(1):;:HH2250200025025565.1查表确定临界值0.05kzz65.1（4）取,0xun（5）计算则拒绝，0H即认为这些产品较以往有显著提高.212)(11nkkXXnS提出原假设和备择假设第一步：第二步：选取统计量nSXT0第四步：查表确定临界值0100::HH/2kt第三步：拒绝域为0/2(1)xttnSn22.未知时，的检验未知，可用样本方差2代替2选择假设H1表示Z可能大于μ0,也可能小于μ0这称为双边假设检验。0xtsn第六步：判断2||tt则否定H0，接受H12||tt则H0相容，接受H00x)(x22t2t第五步：计算显著差别？爆破压力X服从正态分布=0.05解:提出假设H0：=549；H1：549nSXT0对一批新的某种液体存储罐进行耐裂试验,重复测量5次,测得爆破压力数据为（单位斤/寸2）:545545530550545过去该种液体存储罐的平均爆破压力为549斤寸(可看作真值),因为未知方差σ2，故采用t检验法。取统计量例5试问这批新罐的平均爆破压力与过去有无5490由样本算得这里接受H0。新罐的平均爆破压力与过去无显著差别。拒绝域776.2)4()1(025.02tnt查表32.56,29.66,31.64,30.00,31.87,31.03例6解(1)(2)(3)拒绝域5.320nSXT0取统计量某工厂生产一种螺钉,标准要求是长度是32.5毫米,实际生产的产品其长度X服从正态分布未知，现从该厂生产的一批产品中抽取6件，得尺寸数据如下：问这批产品是否合格？（5）将样本值代入算出统计量T0的实测值,没有落入拒绝域2.9974.0322t故接受为真，即可认为产品是合格的。0H(4)查表0100:;:)1(HH右边检验查表确定临界值(1)ktn（4）取,0(1)xttnsn0xtsn(6),tt0XTSn（2）选取统计量：（3）拒绝域为（5）计算则拒绝，接受1;H0H0.H反之，接受左边检验查表确定临界值(1)ktn（4）取,0xtn(6),tt0XTSn（2）选取统计量：（3）拒绝域为（5）计算则拒绝，接受1;H0H0.H反之，接受0100:;:)1(HH0(1)xttnsn4.28;4.40;4.42;4.35;4.37.如果标准差不变,解:拒绝H0例1某日测得5炉铁水含碳量如下:该日铁水的平均含碳量是否显著偏低?=0.05已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下0XUn（2）取统计量某次考试的考生成绩从中随机地抽取36位考生的成绩,平均成绩为63.5分，),,(~2NX2,未知，例2标准差s=15分,⑴问在显著水平0.05下是否可以认为全体考生的平均成绩为70分？⑵求μ的置信水平为0.95的置信区间。001:70:70HH拒绝域为0/2||||(1)/xttnsn-解⑴先提出假设计算||2.6t0.025(35)2.0301t||2.6t故落在拒绝域之内，拒绝H0，接受H1即不能认为全体考生的平均成绩为70分。⑵μ的置信水平为0.95的置信区间为/2(1)sxtnn0.0251563.5(35)36t(58.425,68.575)设总体220),,(~检验NX3.已知时，2的检验提出原假设和备选假设第一步：第二步：在假设成立前提下取统计量第三步：)(),(,2/212/2nn查表的给定拒绝域为第四步第五步计算最后设总体),(~2NXnXXX,,,21为X的样本。对σ2作显著性检验（，其中2检验）引例已知某种延期药静止燃烧时间2~(,)TN今从一批延期药中任取10副测得静止燃烧时间（单位秒）数据为3804.1857.13836.14059.13405.13424.14021.13789.14053.13760.1问：是否可信这批延期药的静止燃烧时间T的方差为)05.0(.025.0223.未知时，2的检验解提出假设0010:0.025:HH取统计量).1(~2n222S)1(n22S/221222(1)(1)nSnSPkk或为的无偏估计，22S的观察值应集中在1附近/2221(1)2Pn/