搜索
§1.2综合法与分析法学习目标思维脉络1.理解综合法证明题的思考过程和推理特点,学会运用综合法证明简单题目.2.理解分析法证明题的思考过程和推理特点,学会运用分析法证明简单题目.3.能区分综合法、分析法的推理特点,以便正确选取适当方法进行数学命题的证明.121.综合法从命题的条件出发,利用定义、公理、定理及运算法则,通过演绎推理,一步一步地接近要证明的结论,直到完成命题的证明.我们把这样的思维方法称为综合法.温馨提示1.综合法是一种由因索果的证明方法或者是说从题设到结论的逻辑推理方法,有时也叫作由因导果法(执因索果)或顺推证法.2.用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示所要证的结论,则综合法可表示如下:P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Qn⇒Q.3.综合法从条件推出结论,较简洁地解决问题,但不便于思考.12做一做1已知a,b,c是不相等的正实数,试用综合法证明𝑏+𝑐𝑎+𝑎+𝑐𝑏+𝑎+𝑏𝑐6.证明:∵a,b,c是不相等的正实数,∴𝑏𝑎与𝑎𝑏,𝑐𝑎与𝑎𝑐,𝑐𝑏与𝑏𝑐全不相等,∴𝑏𝑎+𝑎𝑏2,𝑐𝑎+𝑎𝑐2,𝑐𝑏+𝑏𝑐2,三式相加得𝑏𝑎+𝑐𝑎+𝑐𝑏+𝑎𝑏+𝑎𝑐+𝑏𝑐6,即𝑏+𝑐𝑎+𝑎+𝑐𝑏+𝑎+𝑏𝑐6.122.分析法从求证的结论出发,一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件,直到归结为这个命题的条件,或者归结为定义、公理、定理等,我们把这种思维方法称为分析法.温馨提示1.分析法思考起来比较自然,容易寻找到解题的思路和方法,但思路逆行,叙述较烦琐.2.用分析法证明题时,过程必须遵循分析法的模式,不要把结论当条件,而条件成了要证明的结论.3.分析法证明数学问题是“执果索因”,而综合法证明数学问题是“由因索果”,两种方法对立统一,相辅相成,对较复杂问题往往先从结论进行分析,寻求结论与条件、基础知识之间的关系,找到解决问题的思路,再利用综合法证明,或者在证明时将两种方法交叉使用.12做一做2已知a,b,c是不相等的正实数,试用分析法证明𝑏+𝑐𝑎+𝑎+𝑐𝑏+𝑎+𝑏𝑐6.证明:要证𝑏+𝑐𝑎+𝑎+𝑐𝑏+𝑎+𝑏𝑐6,只需证明𝑏𝑎+𝑐𝑎+𝑐𝑏+𝑎𝑏+𝑎𝑐+𝑏𝑐6,∵a,b,c是不相等的正实数,∴𝑏𝑎+𝑎𝑏2,𝑐𝑎+𝑎𝑐2,𝑐𝑏+𝑏𝑐2.∴𝑎𝑏+𝑐𝑎+𝑐𝑏+𝑏𝑎+𝑎𝑐+𝑏𝑐6,原命题得证.探究一探究二探究三探究一综合法综合法就是从已知条件出发,从“已知”过渡到“可知”,关键是充分挖掘已知条件,合理地选择和利用相关公式、定理等.如果是几何问题,要注意挖掘几何图形的性质,充分利用性质定理去推证.典例提升1在△ABC中,三个内角A,B,C对应的边分别为a,b,c,且角A,B,C成等差数列,边a,b,c成等比数列,求证:△ABC为等边三角形.探究一探究二探究三思路分析:将A,B,C成等差数列转化为符号语言就是2B=A+C,A,B,C为△ABC的内角,这是一个隐含条件,明确表示出来是A+B+C=π;a,b,c成等比数列转化为符号语言就是b2=ac.此时,如果能把角和边统一起来,那么就可以进一步寻找角和边之间的关系,进而判断三角形的形状,余弦定理正好可满足要求.证明:由A,B,C成等差数列,得2B=A+C.①因为A,B,C为△ABC的内角,所以A+B+C=π.②由①②,得B=π3.③由a,b,c成等比数列,有b2=ac.④由余弦定理及③,可得b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac.再由④,得a2+c2-ac=ac,即(a-c)2=0,因此a=c,从而有A=C.⑤由②③⑤,得A=B=C=π3,所以△ABC为等边三角形.探究一探究二探究三点评解决数学问题时,往往要先作语言的转换,如把文字语言转换成符号语言,或把符号语言转换成图形语言等.还要通过细致的分析,把其中的隐含条件明确表示出来.探究一探究二探究三变式训练1已知△ABC为锐角三角形,求证:sinA+sinB+sinCcosA+cosB+cosC.思路分析:考虑锐角三角形中三内角的特点,先构造角的不等式,再用函数的单调性转化为三角函数的不等式.探究一探究二探究三证明:∵锐角三角形中,A+Bπ2,∴Aπ2-B.∴0π2-BAπ2.又正弦函数在0,π2上是增加的,∴sinAsinπ2-𝐵=cosB.即sinAcosB,①同理sinBcosC,②sinCcosA,③由①+②+③,得sinA+sinB+sinCcosA+cosB+cosC.探究一探究二探究三探究二分析法分析法的思维特点是从结论出发,倒着分析,逐步逼近已知条件,分析法的推理过程是寻找上一步成立的充分条件.常用的书面表达方式为“要证……只需证……”或用“⇐”.探究一探究二探究三典例提升2设a0,b0且a≠b,求证:a3+b3a2b+ab2.思路分析:分析法是“执果索因”,一步步寻求上一步成立的充分条件.探究一探究二探究三证明:要证a3+b3a2b+ab2成立,只需证(a+b)(a2-ab+b2)(a+b)ab成立.又a0,b0,∴a+b0,只需证a2-ab+b2ab成立,即证a2-2ab+b20成立,也就是要证(a-b)20成立,而由已知条件可知a≠b,于是有a-b≠0,∴(a-b)20显然成立,由此命题得证.点评证明不等式时,对于不等式的变形应严格按不等式的性质进行.探究一探究二探究三变式训练2已知abc,求证:1𝑎-𝑏+1𝑏-𝑐+4𝑐-𝑎≥0.证明:由abc得a-b0,b-c0,a-c0,要证原不等式成立,只需证明1𝑎-𝑏+1𝑏-𝑐≥4𝑎-𝑐即可,左边通分得(𝑏-𝑐)+(𝑎-𝑏)(𝑎-𝑏)(𝑏-𝑐)≥4𝑎-𝑐,即证𝑎-𝑐(𝑎-𝑏)(𝑏-𝑐)≥4𝑎-𝑐.只需证明(a-c)2≥4(a-b)(b-c)成立,由于a-c=(a-b)+(b-c),因此,该不等式显然成立.探究一探究二探究三典例提升3如图,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,过点A作SB的垂线,垂足为E,过E作SC的垂线,垂足为F.求证:AF⊥SC.思路分析:本例所给的已知条件中,垂直关系较多,我们不容易确定如何在证明中使用它们,因而用综合法比较困难.这时,可以从结论出发,逐步反推,寻求使要证结论成立的充分条件.探究一探究二探究三证明:要证AF⊥SC,只需证SC⊥平面AEF,只需证AE⊥SC(因为EF⊥SC),只需证AE⊥平面SBC,只需证AE⊥BC(因为AE⊥SB),只需证BC⊥平面SAB,只需证BC⊥SA(因为AB⊥BC).由SA⊥平面ABC可知,BC⊥SA.所以AF⊥SC.探究一探究二探究三点评在分析法证明中,从结论出发的每一个步骤所得到的判断都是结论成立的充分条件,最后一步归结到已被证明了的事实.因此,从最后一步可以倒推回去,直到结论,但这个倒推过程可以省略.探究一探究二探究三变式训练3如图所示,在四面体P-ABC中,PA,PB,PC两两垂直,且PH⊥底面ABC于H.求证:H是△ABC的垂心.探究一探究二探究三证明:要证H是△ABC的垂心,只需证BC⊥AH,且AC⊥HB,只需证BC⊥平面PHA,且AC⊥平面PHB,只需证BC⊥PH,且BC⊥PA,AC⊥PH,且AC⊥PB.因为PH⊥底面ABC,所以PH⊥BC,PH⊥AC成立.故只需证BC⊥PA,且AC⊥PB即可.探究一探究二探究三只需证PA⊥平面PBC,PB⊥平面PAC,只需证PA⊥PB,且PA⊥PC,PB⊥PA,且PB⊥PC.因为PA,PB,PC两两垂直,上式显然成立.所以原结论成立,即H是△ABC的垂心.探究一探究二探究三探究三易错辨析易错点:因不按分析法的格式证题而致误典例提升4求证:3+64+5.错证:由不等式3+64+5.①平方得9+629+45.②即3225.③则1820.④因为1820,所以3+64+5.错因分析:由于上述分析证法的过程是①⇒②⇒③⇒④,因而上述书写格式导致了逻辑错误.其证明的模式(步骤)以论证“若A,则B”为例:要证命题B成立,只需证命题B1成立,只需证命题B2成立,……,只需证A成立.由已知A成立,故B必成立.探究一探究二探究三正确证法:要证不等式3+64+5成立,只需证3+218+64+220+5成立,即证1820成立,即证1820成立.由于1820是成立的,故3+64+5.123451.要证a2+b2-1-a2b2≤0,只要证明()A.2ab-1-a2b2≤0B.a2+b2-1-𝑎4+𝑏42≤0C.(𝑎+𝑏)22-1-a2b2≤0D.(a2-1)(b2-1)≥012345解析:∵a2+b2-1-a2b2=(a2-1)(1-b2),∴要证a2+b2-1-a2b2≤0,只需证(a2-1)(b2-1)≥0.答案:D123452.已知函数f(x)=lg1-𝑥1+𝑥,若f(a)=b,则f(-a)等于()A.aB.-bC.1𝑏D.-1𝑏解析:∵f(-x)=lg1+𝑥1-𝑥=-lg1-𝑥1+𝑥=-f(x),∴f(-a)=-f(a)=-b.答案:B123453.已知三棱锥S-ABC的三视图如图所示,在原三棱锥中给出下列命题:①BC⊥平面SAC;②平面SBC⊥平面SAB;③SB⊥AC.其中命题正确的是(填序号).12345解析:由三视图知在三棱锥S-ABC中,底面ABC为直角三角形且∠ACB=90°,∴BC⊥AC,又SA⊥平面ABC,∴BC⊥SA,由于SA∩AC=A,∴BC⊥平面SAC.故命题①正确,由已知推不出②③命题.答案:①123454.已知sinα是sinθ,cosθ的等差中项,sinβ是sinθ,cosθ的等比中项.求证:cos4β-4cos4α=3.证明:由已知,得sinθ+cosθ=2sinα,①sinθ·cosθ=sin2β,②①2-2×②得4sin2α-2sin2β=1.③又sin2α=1-cos2𝛼2,sin2β=1-cos2𝛽2,代入③得,2cos2α=cos2β,∴4cos22α=cos22β.∴4·1+cos4𝛼2=1+cos4𝛽2.∴cos4β-4cos4α=3.123455.△ABC的三个内角A,B,C成等差数列,其对边分别为a,b,c.求证:(a+b)-1+(b+c)-1=3(a+b+c)-1.证明:方法一:要证(a+b)-1+(b+c)-1=3(a+b+c)-1,只需证1𝑎+𝑏+1𝑏+𝑐=3𝑎+𝑏+𝑐,即证𝑎+𝑏+𝑐𝑎+𝑏+𝑎+𝑏+𝑐𝑏+𝑐=3,即证𝑐𝑎+𝑏+𝑎𝑏+𝑐=1,即证c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c),即证c2+a2=ac+b2.∵△ABC三个内角A,B,C成等差数列,∴∠B=60°.由余弦定理,得b2=c2+a2-2cacos60°,即b2=c2+a2-ac,c2+a2=ac+b2,此式即分析中要证的等式,即原式得证.12345方法二:∵△ABC三个内角A,B,C成等差数列,∴∠B=60°.由余弦定理,有b2=c2+a2-2cacos60°,得c2+a2=ac+b2,两边加ab+bc得c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c),两边除以(a+b)(b+c)得𝑐𝑎+𝑏+𝑎𝑏+𝑐=1,∴𝑐𝑎+𝑏+1+𝑎𝑏+𝑐+1=3,即1𝑎+𝑏+1𝑏+𝑐=3𝑎+𝑏+𝑐.∴(a+b)-1+(b+c)-1=3(a+b+c)-1.