静电场

习题八8-1电量都是q的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点．试问：(1)在这三角形的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)?(2)这种平衡与三角形的边长有无关系?解:如题8-1图示(1)以A处点电荷为研究对象，由力平衡知：q为负电荷20220)33(π4130cosπ412aqqaq解得qq33(2)与三角形边长无关．题8-1图题8-2图8-2两小球的质量都是m，都用长为l的细绳挂在同一点，它们带有相同电量，静止时两线夹角为2,如题8-2图所示．设小球的半径和线的质量都可以忽略不计，求每个小球解:如题8-2图示220)sin2(π41sincoslqFTmgTe解得tan4sin20mglq8-3根据点电荷场强公式204rqE，当被考察的场点距源点电荷很近(r→0)时，则场强→∞，这是没有物理意义的，对此应如何理解?解:020π4rrqE仅对点电荷成立，当0r时，带电体不能再视为点电荷，再用上式求场强是错误的，实际带电体有一定形状大小，考虑电荷在带电体上的分布求出的场强不会是无限大．8-4在真空中有A，B两平行板，相对距离为d，板面积为S，其带电量分别为+q和-q．则这两板之间有相互作用力f，有人说f=2024dq,又有人说，因为f=qE,SqE0，所以f=Sq02．试问这两种说法对吗?为什么?f到底应等于多少?解:题中的两种说法均不对．第一种说法中把两带电板视为点电荷是不对的，第二种说法把合场强SqE0看成是一个带电板在另一带电板处的场强也是不对的．正确解答应为一个板的电场为SqE02，另一板受它的作用力SqSqqf02022，这是两板间相互作用的电场力．8-5一电偶极子的电矩为lqp，场点到偶极子中心O点的距离为r,矢量r与l的夹角为,(见题8-5图)，且lr．试证P点的场强E在r方向上的分量rE和垂直于r的分量E分别为rE=302cosrp,E=304sinrp证:如题8-5所示，将p分解为与r平行的分量sinp和垂直于r的分量sinp．∵lr∴场点P在r方向场强分量30π2cosrpEr垂直于r方向，即方向场强分量300π4sinrpE题8-5图题8-6图8-6长l=15.0cmAB上均匀地分布着线密度=5.0x10-9C·m-1(1)在导线的延长线上与导线B端相距1a=5.0cm处P点的场强；(2)在导线的垂直平分线上与导线中点相距2d=5.0cm处Q解：如题8-6图所示(1)在带电直线上取线元xd，其上电量qd在P点产生场强为20)(dπ41dxaxEP2220)(dπ4dxaxEEllPP]2121[π40lala)4(π220lal用15lcm，9100.51mC,5.12acm代入得21074.6PE1CN方向水平向右(2)2220ddπ41dxxEQ方向如题8-6图所示由于对称性lQxE0d，即QE只有y分量，∵22222220ddddπ41dxxxEQy22π4ddlQyQyEE2223222)d(dllxx2220d4π2ll以9100.51cmC,15lcm,5d2cm代入得21096.14QyQEE1CN，方向沿y轴正向8-7一个半径为R的均匀带电半圆环，电荷线密度为,求环心处O点的场强．解:如8-7图在圆上取Rddl题8-7图dddRlq，它在O点产生场强大小为20π4ddRRE方向沿半径向外则dsinπ4sindd0REExdcosπ4)cos(dd0REEy积分RREx000π2dsinπ40dcosπ400REy∴REEx0π2，方向沿x轴正向．8-8均匀带电的细线弯成正方形，边长为l，总电量为q．(1)求这正方形轴线上离中心为r处的场强E；(2)证明：在lr处，它相当于点电荷q产生的场强E解:如8-8图示，正方形一条边上电荷4q在P点产生物强PEd方向如图，大小为4π4coscosd22021lrEP∵22cos221lrl12coscos∴24π4d22220lrllrEPPEd在垂直于平面上的分量cosddPEE∴424π4d2222220lrrlrlrlE题8-8图由于对称性，P点场强沿OP方向，大小为2)4(π44d422220lrlrlrEEP∵lq4∴2)4(π422220lrlrqrEP方向沿OP8-9(1)点电荷q位于一边长为a的立方体中心，试求在该点电荷电场中穿过立方体的一个面的电通量；(2)如果该场源点电荷移动到该立方体的一个顶点上，这时穿过立方体各面的电通量是多少?*(3)如题8-9(3)图所示，在点电荷q的电场中取半径为R的圆平面．q在该平面轴线上的A点处，求：通过圆平面的电通量．(xRarctan)解:(1)由高斯定理0dqSEs立方体六个面，当q在立方体中心时，每个面上电通量相等∴各面电通量06qe．(2)电荷在顶点时，将立方体延伸为边长a2的立方体，使q处于边长a2的立方体中心，则边长a2的正方形上电通量06qe对于边长a的正方形，如果它不包含q所在的顶点，则024qe，如果它包含q所在顶点则0e．如题8-9(a)图所示．题8-9(3)图题8-9(a)图题8-9(b)图题8-9(c)图(3)∵通过半径为R的圆平面的电通量等于通过半径为22xR的球冠面的电通量，球冠面积*]1)[(π22222xRxxRS∴)(π42200xRSq02q[221xRx]*关于球冠面积的计算：见题8-9(c)图0dsinπ2rrS02dsinπ2r)cos1(π22r8-10均匀带电球壳内半径6cm，外半径10cm，电荷体密度为2×510C·m-3求距球心5cm，8cm,12cm各点的场强．解:高斯定理0dqSEs,02π4qrE当5rcm时，0q,0E8rcm时，q3π4p3(r)3内r∴2023π43π4rrrE内41048.31CN，方向沿半径向外．12rcm时,3π4q3(外r）内3r∴420331010.4π43π4rrrE内外1CN沿半径向外.8-11半径为1R和2R(2R＞1R)的两无限长同轴圆柱面，单位长度上分别带有电量和-,试求:(1)r＜1R；(2)1R＜r＜2R；(3)r＞2R处各点的场强．解:高斯定理0dqSEs取同轴圆柱形高斯面，侧面积rlSπ2则rlESESπ2d对(1)1Rr0,0Eq(2)21RrRlq∴rE0π2沿径向向外(3)2Rr0q∴0E题8-12图8-12两个无限大的平行平面都均匀带电，电荷的面密度分别为1和2，试求空间各处解:如题8-12图示，两带电平面均匀带电，电荷面密度分别为1与2，两面间，nE)(212101面外，nE)(212102面外，nE)(21210n：垂直于两平面由1面指为2面．8-13半径为R的均匀带电球体内的电荷体密度为,若在球内挖去一块半径为r＜R的小球体，如题8-13图所示．试求：两球心O与O点的场强，并证明小球空腔内的电场是均匀的．解:将此带电体看作带正电的均匀球与带电的均匀小球的组合，见题8-13图(a)．(1)球在O点产生电场010E，球在O点产生电场'dπ4π3430320OOrE∴O点电场'd33030OOrE；(2)在O产生电场'dπ4d3430301OOE球在O产生电场002E∴O点电场003E'OO题8-13图(a)题8-13图(b)(3)设空腔任一点P相对O的位矢为r，相对O点位矢为r(如题8-13(b)图)则03rEPO，03rEOP,∴0003'3)(3dOOrrEEEOPPOP∴腔内场强是均匀的．8-14一电偶极子由q=1.0×10-6Cd=0.2cm，把这电偶极子放在1.0×105N·C-1解:∵电偶极子p在外场E中受力矩EpM∴qlEpEMmax代入数字4536max100.2100.1102100.1MmN8-15两点电荷1q=1.5×10-8C，2q=3.0×10-8C，相距1r=42cm，要把它们之间的距离变为2r=25cm，需作多少功?解:22210212021π4π4ddrrrrqqrrqqrFA)11(21rr61055.6J外力需作的功61055.6AAJ题8-16图8-16如题8-16图所示，在A，B两点处放有电量分别为+q,-q的点电荷，AB间距离为2R，现将另一正试验点电荷0q从O点经过半圆弧移到C点，求移动过程中电场力作的解:如题8-16图示0π41OU0)(RqRq0π41OU)3(RqRqRq0π6∴RqqUUqAoCO00π6)(8-17如题8-17图所示的绝缘细线上均匀分布着线密度为的正电荷,两直导线的长度和半圆环的半径都等于R．试求环中心O解:(1)由于电荷均匀分布与对称性，AB和CD段电荷在O点产生的场强互相抵消，取ddRl则ddRq产生O点Ed如图，由于对称性，O点场强沿y轴负方向题8-17图cosπ4dd2220RREEyR0π4［)2sin(2sin］R0π2(2)AB电荷在O点产生电势，以0UAB200012lnπ4π4dπ4dRRxxxxU同理CD产生2lnπ402U半圆环产生0034π4πRRU∴0032142lnπ2UUUUO8-18一电子绕一带均匀电荷的长直导线以2×104m·s-1的匀速率作圆周运动．求带电直线上的线电荷密度．(电子质量0m=9.1×10-31kg，电子电量e=1.60×10-19C)解:设均匀带电直线电荷密度为，在电子轨道处场强rE0π2电子受力大小reeEFe0π2∴rvmre20π2得1320105.12π2emv1mC8-19空气可以承受的场强的最大值为E=30kV·cm-1，超过这个数值时空气要发生火花放电．今有一高压平行板电容器，极板间距离为d=0.5cm解:平行板电容器内部近似为均匀电场∴4105.1dEUV8-20根据场强E与电势U的关系UE，求下列电场的场强：(1)点电荷q的电场；(2)总电量为q，半径为R的均匀带电圆环轴上一点；*(3)偶极子qlp的lr处(见题8-20图)解:(1)点电荷rqU0π4题8-20图∴0200π4rrqrrUE0r为r方向单位矢量．(2)总电量q，半径为R的均匀带电圆环轴上一点电势220π4xRqU∴ixRqxixUE2/3220π4(3)偶极子lqp在lr处的一点电势200π4cos])cos21(1)cos2(1[π4rqlllrqU∴30π2cosrprUEr30π4sin1rpUrE8-21证明：对于两个无限大的平行平面带电导体板(题8