常微分方程的基本概念

1.微分方程的基本概念2.一阶常微分方程3.二阶线性微分方程十七世纪末，力学、天文学、物理学及工程技术提出大量需要寻求函数关系的问题。在这些问题中，函数关系不能直接写出来，而要根据具体问题的条件和某些物理定律，首先得到一个或几个含有未知函数的导数的关系式，即微分方程，然后由微分方程和某些已知条件把未知函数求出来。学科背景例1一曲线通过点(1,2),且在该曲线上任一点),(yxM处的切线的斜率为x2,求这曲线的方程.解)(xyy设所求曲线为xdxdy2xdxy22,1yx时其中,2Cxy即,1C求得.12xy所求曲线方程为A.求曲线方程问题的提出：一质点在重力作用下自由下落（不计空气阻力），试求质点下落距离S与时间t的函数关系。解：将质点的初始位置取为原点，沿质点运动方向取正向。已知自由落体的加速度为g,即：B.质点自由下落,dd22gtS.,21,dd,d)ddd(212121为任意常数，其中再积一次分得：两边积分得：将上式改写成CCCtCgtSCgttStgtS定义1:含有未知函数的导数的方程称为微分方程.未知函数是一元函数,含有未知函数的导数的微分方程称为常微分方程.未知函数是多元函数,含有未知函数的偏导数的微分方程称为偏微分方程.例如5.1微分方程的基本概念,dd22gtS，xdxdy2.:出现但未知函数的导数必须及自变量可以不出现，微分方程中，未知函数注意例如022lgdtdmdtd定义2:(微分方程的阶)未知函数的导数的最高阶数称为微分方程的阶.,24xdxdy一阶二阶二阶及二阶以上的微分方程称为高阶微分方程.的阶数相同的解且常数个数与微分方程个独立的任意常数，的包含阶常微分方程nn),,,(1nCCxfy.)(,)(是微分方程的一个解则称函数为恒等式成代入微分方程后使方程如果把函数xyyxyy定义3:(微分方程的解)称为微分方程的通解.通解中各任意常数取特定值时所得到的解称为特解.微分方程的通解：定义5:(积分曲线与积分曲线族)积分曲线族.),(称为积分曲线族平面上的一族曲线，对应于通解xyCxfy.0dd,.0dd)(sincos.0022221特解并求满足初始条件的通解是微分方程是非零常数验证函数例xxxyAyykxykkxCkxCy1.微分方程的通解和特解有何区别和联系?2.判断下列函数是否是微分方程02yy的解，是通解还是特解?xCey2xCey2xey22xey22(1)(2)(3)(4)§5.2一阶常微分方程1.变量可分离型3.一阶线性方程)()(ygxfdxdydyygdxxf)()(或)()(xqyxpdxdy2.可化为可分离变量主要类型5.2.1可分离变量的微分方程如果一阶微分方程),(ddyxfxy.)()(dd),()(),()()(),(程可分离变变量的微分方的方程，称为则形如即的乘积，的函数和的函数可以表示为右端的yhxgxyyhxgyxfyhyxgxyxf这类方程的解法，通常是先将变量分离，再两边积分即可.解方程例]1[dxdyyxy2231)2(dxxfdyyg)()(两边积分Cdxxfdyyg)()(通解分离变量xydxdy2)1()()(yxfdxdy这两个方程的共同特点是变量可分离型dxxdyy21(1)[解]dxxdyy2112lnCxy两边积分分离变量1212CxCxeeey21,0xCeeyy时当21,0xCeeyy时当即则有记,C1Ce)0(2CCeyx!0也是方程的解注意：y也可以等于零故C于是得到方程通解)(2RCCeyxxydxdy22231xdxydyyCxy3112212(2)[解]分离变量两端积分,得Cxy3112通解dxdyyxy2231!,也是方程的解即注意：112yy奇异解成正比,求解:根据牛顿第二定律列方程tvmdd00tv初始条件为对方程分离变量,然后积分:得)0(vkgm此处利用初始条件,得)(ln1gmkC代入上式后化简,得特解并设降落伞离开跳伞塔时(t=0)速度为0,)1(tmkekgmvmgvk设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度降落伞下落速度与时间的函数关系.kmgvt足够大时例5.2.2可化为可分离变量的方程的微分方程称为形如)('xyfy.齐次微分方程解齐次方程时,通常用变量替换法,即,xyu设将齐次方程化为可变量分离的方程..,,,ln)(d,d)(d:)(dd,,dddd,即得原方程的通解代替再用求出积分后两边积分得分离变量得得代入原方程由uxyCxuufuxxuufuufxuxuxuxuxyuxyxyxydxdytan]1[例yxyxdxdy]2[例这两个方程的共同特点是什麽?)(xygdxdy可化为齐次型方程xyxydxdy11求解方法xyu令xuy即dxduxudxdy代入得到xuugdxdu)(这是什麽方程？可分离变量方程！:]1[的解例xyu令uudxduxutan分离变量xdxduucot两端积分1||ln|sin|lnCxu代入得到则,dxduxudxdy)0(sin1CCxxeuC由此又得到)0()arcsin(CCxxy0,0:Cy所以可以有也是原方程的一个解注意通解)R()arcsin(CCxxyyxyxdxdy]2[例][解,xyu令uuxuu11'则'',xuuyuxyuuuxu121'2即dxxduuuu12112凑微分dxxuuuud121)12(2122两端积分12lnln)12ln(21Cxuu得2212xCuu通解Cxxyy222的通解。求例)cos(']3[yxy][解,uyx令''1uyuucos1'则dxuducos1dxuducos1dxudu2sin22Cxyx2cot通解例31)1(y的特解.解原方程变形为22ddxxyyxy作变量代换xyu,代入原方程得1dd2uuxuxu,求方程xyxyxyxydddd22满足初始条件1)/(2xyxy,即11dd2uuuuuxux,,xuy,ddddxuxuxy积分得：Cxuu||ln||ln,或写成Cxuu||ln,再将xyu代入,得通解为Cyxy||ln；分离变量得xxuudd)11(,再由初始条件1)1(y,得1C,于是得所求特解为1||lnyxy.即11dd2uuuuuxux,oyx可得OMA=OAM=例在制造探照灯反射镜面时,解:设光源在坐标原点,则反射镜面由曲线绕x轴旋转而成.过曲线上任意点M(x,y)作切线MT,由光的反射定律:入射角=反射角xycotxyy22yxOMTMAPy取x轴平行于光线反射方向,从而AO=OMOPAP要求点光源的光线反射出去有良好的方向性,试求反射镜面的形状.而AO于是得微分方程:xyy22yx利用曲线的对称性,不妨设y0,,yxv令21ddvyvyyvyvyxddddCyvvlnln)1(ln2积分得故有1222CvyCy得)2(22CxCy(抛物线)221)(vvCy故反射镜面为旋转抛物面.于是方程化为(齐次方程)顶到底的距离为h,hdC82说明:)(222CxCy则将这时旋转曲面方程为hdxhdzy1642222hd若已知反射镜面的底面直径为d,代入通解表达式得)0,(2CoyxA22112.0)补充题：1.求微分方程的通解.求微分方程(dydxxyyxdxxydy)2(0)(yxpdxdy)1()()(xqyxpdxdy(1)如何解齐次方程？0)(yxpdxdy标准形式：5.3一阶线性微分方程分离变量dxxpydy)(dxxpcey)(齐次通解解得非齐次齐次)1()()(xqyxpdxdy(2)用常数变易法解非齐次方程假定(1)的解具有形式)()(1xyxCy将这个解代入(1),经计算得到)2(0)(yxpdxdy齐次方程的对应于)1()()2(1)(xCyCeydxxp的通解为)(')()()(11xyxCxyxC)()()()(1xqxyxCxp）的解，（是2)(1xy0)()()()(')(11xyxCxpxyxC化简得到)()()(1xqxyxCdxxpexqxC)()()(即积分CdxexqxCdxxp)()()(从而得到非齐次方程(1)的通解))(()()(dxexqCeydxxpdxxp非齐次通解)1()()(xqyxpdxdy))(()()(dxexqCeydxxpdxxp)2(0)(yxpdxdy非齐次通解dxxpcey)(齐次通解xexyysincos0cossinxexyy例1求的通解。原方程化为xexqxxPsin)(,cos)(其中CdxexqeydxxPdxxP)()()(CdxeeexdxxxdxcossincosCdxeeexxxsinsinsin.sinCxex解例2.解方程)(,)1(edd)1(1为常数xyxyxx解：)1(e1ddxyxxyx利用求解公式]de)1(e[e)d1()d1(Cxxyxxxxx]de)1(e[e)1ln()1ln(Cxxxxx]d)1(1)1(e[)1(Cxxxxx]de[)1(Cxxx)(e)1(Cxx练习：求1dydxxy利用熟悉的微分公式，通过凑微分的方法将微分方程变为某些函数的微分形式。()xdyydxdxy)2(22yxdydyxdx)(2xydxydxxdy)(2yxdyxdyydx例如)(arctan22xydyxydxxdy)(arctan22yxdyxxdyydx)(2222yxdyxydyxdx)2(2222yxdydyxdxxy[解]0)(2ydyydxxdydxx0)2()()3(23ydxydxd0)23(23yxyxd通解Cyxyx23230)()(2dyyxdxyx解方程例凑微分例0)ln(3dyyxdydxxy0)lnln(3dyyxdyxyd0)4()ln(4ydxyd通解为Cyxy441ln0)ln(3dyxydxxy解方程[解]改写为