专转本高数第七章第六节 多元函数的极值与最值

第六节二元函数的极值与最值设函数),(yxfz在点),(00yx的某邻域内有定义，对于该邻域内异于),(00yx的点),(yx：若恒有),(),(00yxfyxf，则称函数在),(00yx有极大值；若恒有),(),(00yxfyxf，则称函数在),(00yx有极小值.一、二元函数极值极大值、极小值统称为极值.使函数取得极值的点称为极值点.1(1)(2)(3)例1处有极小值．在函数)0,0(4322yxz例２处有极大值．在函数)0,0(22yxz例３处无极值．在函数)0,0(xyz2的图形观察二元函数22eyxxyz播放3设函数),(yxfz在点),(00yx具有偏导数，且在点),(00yx处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：0),(00yxfx，0),(00yxfy.极值的求法（称驻点）例如,点)0,0(是函数xyz的驻点，但不是极值点.驻点极值点注意：定理1（必要条件）问题：如何判定一个驻点是否为极值点？4设函数),(yxfz在点),(00yx的某邻域内连续，有一阶及二阶连续偏导数，设0),(00yxfx,0),(00yxfy，定理2（充分条件）则),(yxf在点),(00yx处是否取得极值的条件如下：令Ayxfxx),(00，Byxfxy),(00，Cyxfyy),(00，（1）02BAC时具有极值，且当0A时有极大值，当0A时有极小值；（2）02BAC时没有极值；（3）02BAC时可能有极值,也可能没有极值，还需另作讨论．CBBA负定正定5求函数xyxyxyxf933),(2233的极值.求得驻点：)2,1(),2,3(),0,1(),0,3(,二阶偏导数为：66,0,66yffxfyyxyxx,例4解063096322yyfxxfyx令CBA2BAC)0,3()0,1()2,3()2,1(6012601260126012无极值极小值-5极大值31无极值1,3x2,0yf6二元函数的最值若根据实际问题,目标函数有最大值(或最小值),而在定义区域内部有惟一的极大(小)值点,则可以断定该极大(小)值点即为最大(小)值点.设生产某种商品需原料A和B，设A的单价为2，数量为x；而B的单价为1，数量为y，而产量为例5解，yyxxz52102022且商品售价为5,求最大利润.利润函数为yxyyxxyxL2)521020(5),(227yxyyxxyxL2)521020(5),(22令，0242004810xLxLyx解得惟一驻点，2.1,8.4yx惟一驻点为极大值点，.6.229)2.1,8.4(L，yyxx24104851122,20,0,10yyxyxxfCfBfA,02BAC,0A即为最大值点，最大利润为8一块宽24cm的矩形铁皮,两边折起,做成一个梯形槽,当x和为何值时,使槽的截面积最大？例6解sincos222422421xxxxS，cossinsin2sin2422xxx其中120x,20,9其中120x,20,注意到0sin,0x,化简后解得3,8x,由实际问题可知,S必有最大值,且内部唯一驻点,故当3,8x时,槽的截面积最大,348最大S.，cossinsin2sin2422xxxS0)sin(coscos2cos240cossin2sin4sin242222xxxxSxxSx令10用铁皮做一个有盖的长方形水箱,要求容积为V,问怎么做用料最省？二、条件极值与拉格朗日乘数法设水箱的长、宽、高分别为zyx,,,则目标函数：)(2zxyzxyS,约束条件：xyzV,实际问题中,目标函数的自变量除了受到定义域的限制外,往往还受到一些附加条件的约束,这类极值问题称条件极值问题.例7解即表面积最小.，xyVz代入目标函数,化为无条件极值问题：xyz11目标函数化为：)(2yVxVxyS,0,0yx令0)(20)(222yVxSxVySyx,求得唯一驻点3Vyx,从而3Vz,内部唯一驻点,且由实际问题S有最大值,故做成立方体表面积最小.这种做法的缺点：1.变量之间的平等关系和对称性被破坏；2.有时解出隐函数困难甚至不可能.12要找函数),(yxfz在条件0),(yx下的可能极值点，解出,,yx，其中yx,就是可能的极值点的坐标.拉格朗日乘数法其中为参数，引入拉格朗日函数),(),();,(yxyxfyxF令,0),(0),(),(0),(),(yxFyxyxfFyxyxfFyyyxxx若这样的点惟一,由实际问题,可直接确定此即所求的点。13如果目标函数是三元函数),,(zyxf,且约束条件有两个,0),,(zyxg,0),,(zyxh,则构造拉格朗日函数为.),,(),,(),,(),;,,(zyxhzyxgzyxfzyxL令,0),,(0),,(),,(),,(),,(0),,(),,(),,(0),,(),,(),,(zyxhzyxgzyxhzyxgzyxfzyxhzyxgzyxfzyxhzyxgzyxfzzzyyyxxx解出zyx,,，就是可能的极值点的坐标.14用铁皮做一个有盖的长方形水箱,要求容积为V,问怎么做用料最省？例7目标函数：)(2zxyzxyS,约束条件：xyzV,解构作拉格朗日函数)()(2VxyzzxyzxyL,令VxyzxyyxLxzzxLyzzyLzyx0)(20)(20)(2,解得唯一驻点3Vzyx,由实际问题,即为最小值点.设水箱的长、宽、高分别为zyx,,,则xyz15三、多元函数最大值、最小值及其应用在实际问题中，经常要求某多元函数在已知区域D内的最大值和最小值.根据实际情况，我们往往可以判断最大值或最小值在区域D的内部达到，若函数在D内仅有一个驻点，则可以断定，该驻点就是最大值点或最小值点.16在周长为p2的一切三角形中,求出面积最大的三角形.设三角形的三条边长分别为zyx,,,则面积为))()((zpypxppS,约束条件:pzyx2,目标函数取为：))()((),,(zpypxpzyxf,令pzyxypxpLzpxpLzpypLzyx20))((0))((0))((,例8解，)2())()((pzyxzpypxpL解得唯一驻点，pzyx32即做成正三角形时面积最大.17用一根长为p2的铁丝做一个网兜边框：五边形(正):222752.051025251pp；圆：2223183.0/ppRS,最大.三角形中,以正三角形面积为最大:.1925.09322pp四边形中,以正方形面积为最大：.25.04122pp18求二元函数)4(),(2yxyxyxfz在由直线6yx，x轴和y轴所围成的闭区域D上的极值、最大值与最小值.解xyo6yxD例9先求函数在D内的驻点，0)4(),(0)4(2),(222yxyxxyxfyxyxxyyxfyx得区域D内惟一驻点)1,2(,解方程组06)268()1,2()1,2(2yxyyfAxx4)438()1,2()1,2(2xyxxfBxy,82)1,2()1,2(2xfCyy,02BAC,0A.4)1,2(是极大值所以f19xyo6yxD再求),(yxf在D边界上的最值，在边界0x和0y上0),(yxf,是极大值4)1,2(f在边界6yx上，即xy6，得4,021xx，,2|64xxy,64)2,4(f比较后可知4)1,2(f为最大值,64)2,4(f为最小值.,)6(223xx)2)(6(2xxz)60(x,0)4(6xxz,)4(),(2yxyxyxfz20某产品的生产函数414380),(yxyxQ，其中yx,分别表示投入的劳力数和资本数，Q是产量。若每个单位劳力需600元，每单位资本为2000元，而劳力和资本投入的总预算为40万元，试求最佳资金投入分配方案。例10解目标函数414380),(yxyxQ，约束条件4000002000600yx,或2000103yx,，)2000103(804143yxyxL21由，)2000103(804143yxyxL200010301020036043434141yxyxLyxLyx，3103yx，yx10,50,500yx由实际问题，此即最佳分配方案.22设两种产品的需求量21,QQ分别为112.024pQ，2205.010pQ(21,pp为其价格),总成本为)(403521QQC,问如何定价，才能获取最大利润？解法1),(),(21221121QQCQpQpQQL,139605.02.01232222121pppp01.01204.0322121pLpLpp,1208021pp故当120,8021pp时，利润最大。例11因驻点惟一，且由问题的实际含义可知必有最大利润，23设两种产品的需求量21,QQ分别为112.024pQ，2205.010pQ(21,pp为其价格),总成本为)(403521QQC,问如何定价，才能获取最大利润？故当120,8021pp时，利润最大。例11因驻点惟一，且由问题的实际含义可知必有最大利润，解法2CpQpQQQL221121),(,3520160580222211QQQQ0108011QLQ,81Q04016022QLQ,42Q212211404035)20200()5120(QQQQQQ,801p,1202p24练习：P324习题七25