新华师大 27.1.2第2课时 垂径定理(两课时)ppt

27.1圆的认识导入新课讲授新课当堂练习课堂小结2.圆的对称性第2课时垂径定理1.进一步认识圆，了解圆的对称性.2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.（重点）3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.（难点）学习目标问题：你知道赵州桥吗?它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？导入新课问题引入37米7.23米讲授新课垂径定理一做一做：剪一个圆形纸片，在圆形纸片上任意画一条垂直于直径CD的弦AB,垂足为P，再将纸片沿着直径CD对着，比较AP与PB，AC与CB，你能发现什么结论？⌒⌒·OABDP互动探究线段:AP=BP弧:AC=BC,AD=BD⌒⌒⌒⌒理由如下：把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AP与BP重合，AC和BC,AD与BD重合．⌒⌒⌒⌒·OABDPC想一想：能不能用所学过的知识证明你的结论？·OABDCP试一试已知：在☉O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD，垂足为P.求证：AP=BP，⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.证明：连接OA、OB、CA、CB，则OA=OB.即△AOB是等腰三角形.∵AB⊥CD，∴AP=BP.又∵CP=CP，∴Rt△APC≌Rt△BPC，∴AC=BC，⌒⌒∴AC=BC.（同一个圆中，如果弦相等，那么它们所对的弧相等）⌒⌒AD=BD.由此易得垂径定理·OABCDP垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧.∵CD是直径，CD⊥AB，∴AP=BP,⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.归纳总结推导格式：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？是不是，因为没有垂直是不是，因为CD没有过圆心ABOCDEOABCABOEABDCOE议一议垂径定理的几个基本图形：ABOCDEABOEDABODCABOC·OABDCP1.已知：在☉O中，CD是直径，AB是弦（不是直径），与CD交于点P，且P是AB的中点.求证：AB⊥CD，⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.试一试证明：连接OA、OB、CA、CB，则OA=OB.即△AOB是等腰三角形.∵P是AB的中点，∴AB⊥CD.即AP=BP，∵CD是直径，CD⊥AB，∴⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.（垂径定理）·OABDCP2.已知：在☉O中，CD是直径，AB是弦，求证：CD垂直平分AB.⌒⌒AC=BC,证明：连接OA、OB、CA、CB，则OA=OB.即△AOB是等腰三角形.⌒⌒AC=BC,∵∴AC=AB.（在同一个圆中，如果弧相等，那么它们所对的弦相等.）∵OC=OC，∴△AOC≌△BOC，∴∠AOC=∠BOC，即OC是∠AOB的角平分线.∴CD垂直平分AB.思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧；平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦.垂径定理的推论·OABCD特别说明：圆的两条直径是互相平分的.归纳总结练习、按图填空：在⊙O中，（1）若MN⊥AB，MN为直径，则________，________，________；（2）若AC＝BC，MN为直径，AB不是直径，则________，________，________；（3）若MN⊥AB，AC＝BC，则________，________，________；（4）若AN=BN，MN为直径，则________，________，________．ＡＢNMCＯ⌒⌒AC=BCAN=BNAM=BM⌒⌒⌒⌒MN⊥ABAN=BNAM=BM⌒⌒⌒⌒MN经过圆心AN=BNAM=BM⌒⌒⌒⌒AC=BCAM=BMMN⊥AB⌒⌒例1如图，OE⊥AB于E，若☉O的半径为10cm,OE=6cm,则AB=cm.·OABE解析：连接OA，∵OE⊥AB，∴AB=2AE=16cm.16一垂径定理及其推论的计算二∴22221068AEOAOEcm.典例精析例2如图，☉O的弦AB＝8cm，直径CE⊥AB于D，DC＝2cm，求半径OC的长.·OABECD解：连接OA，∵CE⊥AB于D，∴1184(cm)22ADAB设OC=xcm，则OD=x-2,根据勾股定理，得解得x=5，即半径OC的长为5cm.x2=42+(x-2)2，你能利用垂径定理解决求赵州桥主桥拱半径的问题吗?试一试ABOCD解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R.经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D，与弧AB交于点C，则D是AB的中点，C是弧AB的中点，CD就是拱高.∴AB=37m，CD=7.23m.∴AD=AB=18.5m，OD=OC-CD=R-7.23.解得R≈27.3（m）.即主桥拱半径约为27.3m.R2=18.52+(R-7.23)2222OAADOD∵如图a、b,一弓形弦长为cm，弓形所在的圆的半径为7cm，则弓形的高为＿＿＿____＿.64CDCBOADOAB图a图b2cm或12cm练一练在圆中有关弦长a,半径r,弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.方法归纳1、涉及垂径定理时辅助线的添加方法弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：2、弓形中重要数量关系ABCDOhrd2a2222ardd+h=rOABC·1.已知☉O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为.5cm2.☉O的直径AB=20cm,∠BAC=30°则弦AC=.103cm3.（分类讨论题）已知☉O的半径为10cm，弦MN∥EF,且MN=12cm,EF=16cm,则弦MN和EF之间的距离为.14cm或2cm当堂练习4.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD，垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.解:连接OC.●OCDEF,CDOE11600300(m).22CFCD222,OCCFOF22230090.RR设这段弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m.根据勾股定理，得解得R=545.∴这段弯路的半径约为545m.拓展提升：如图，☉O的直径为10，弦AB=8,P为AB上的一个动点，那么OP长的取值范围.3cm≤OP≤5cmBAOPE已知：如图１，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。求证：AC＝BD。.ACDBO图１垂径定理内容推论辅助线一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦;③平分弦（不是直径）;④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（“知二推三”）垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧.两条辅助线：连半径，作弦心距构造Rt△利用勾股定理计算或建立方程.基本图形及变式图形课堂小结ABOCDE