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函数的奇偶性与周期性一、选择题1．(2015·四川绵阳诊断性考试)下列函数中定义域为R，且是奇函数的是()A．f(x)＝x2＋xB．f(x)＝tanxC．f(x)＝x＋sinxD．f(x)＝lg1－x1＋x2．(2014·新课标全国卷Ⅰ)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()A．f(x)g(x)是偶函数B．|f(x)|g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数3．(2015·长春调研)已知函数f(x)＝x2＋x＋1x2＋1，若f(a)＝23，则f(－a)＝()A.23B．－23C.43D．－434．已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(7)等于()A．－2B．2C．－98D．985．函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0,2]时，f(x)＝x－1，则不等式xf(x)0在[－1,3]上的解集为()A．(1,3)B．(－1,1)C．(－1,0)∪(1,3)D．(－1,0)∪(0,1)6．设奇函数f(x)的定义域为R，最小正周期T＝3，若f(1)≥1，f(2)＝2a－3a＋1，则a的取值范围是()A．a－1或a≥23B．a－1C．－1a≤23D．a≤23二、填空题7．(2014·湖南高考)若f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函数，则a＝________.8．(2015·广州市调研)已知f(x)是奇函数，g(x)＝f(x)＋4，g(1)＝2，则f(－1)的值是________．9．(2015·嘉兴模拟)函数y＝(x－2)|x|在[a,2]上的最小值为－1，则实数a的取值范围为________．10．(文科)设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知当x∈[0,1]时，f(x)＝121－x，则①2是函数f(x)的周期；②函数f(x)在(1,2)上递减，在(2,3)上递增；③函数f(x)的最大值是1，最小值是0；④当x∈(3,4)时，f(x)＝12x－3.其中所有正确命题的序号是________．10．(理科)(2015·丽水模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数．若方程f(x)＝m(m＞0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝________.三、解答题11．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且它的图象关于直线x＝1对称．(1)求证：f(x)是周期为4的周期函数；(2)若f(x)＝x(0x≤1)，求x∈[－5，－4]时，函数f(x)的解析式．12．已知函数f(x)＝－x2＋2x，x0，0，x＝0，x2＋mx，x0是奇函数．(1)求实数m的值；(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题1．解析：函数f(x)＝x2＋x不是奇函数；函数f(x)＝tanx的定义域不是R；函数f(x)＝lg1－x1＋x的定义域是(－1,1)．故选C.答案：C2．解析：因为f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，所以有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，于是f(－x)·g(－x)＝－f(x)g(x)，即f(x)g(x)为奇函数，A错；|f(－x)|g(－x)＝|f(x)|g(x)，即|f(x)|g(x)为偶函数，B错；f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|，即f(x)|g(x)|为奇函数，C正确；|f(－x)g(－x)|＝|f(x)g(x)|，即f(x)g(x)为偶函数，所以D也错．答案：C3．解析：根据题意，f(x)＝x2＋x＋1x2＋1＝1＋xx2＋1，而h(x)＝xx2＋1是奇函数，故f(－a)＝1＋h(－a)＝1－h(a)＝2－[1＋h(a)]＝2－f(a)＝2－23＝43，故选C.答案：C4．解析：∵f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)是周期为4的函数，∴f(7)＝f(2×4－1)＝f(－1)，又∵f(x)在R上是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(－1)＝－f(1)，而当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，∴f(1)＝2×12＝2，∴f(7)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，故选A.答案：A5．解析：f(x)的图象如图．当x∈(－1,0)时，由xf(x)0得x∈(－1,0)；当x∈(0,1)时，由xf(x)0得x∈∅；当x∈(1,3)时，由xf(x)0得x∈(1,3)．故x∈(－1,0)∪(1,3)．答案：C6．解析：函数f(x)为奇函数，则f(1)＝－f(－1)．由f(1)＝－f(－1)≥1，得f(－1)≤－1；函数的最小正周期T＝3，则f(－1)＝f(2)，由2a－3a＋1≤－1，解得－1a≤23.答案：C二、填空题7．解析：由偶函数的定义可得f(－x)＝f(x)，即ln(e－3x＋1)－ax＝ln(e3x＋1)＋ax，∴2ax＝－lne3x＝－3x，∴a＝－32.答案：－328．解析：∵g(x)＝f(x)＋4，∴f(x)＝g(x)－4，又f(x)是奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－g(1)＋4＝2.答案：29．解析：y＝(x－2)|x|＝x2－2x，x0，0，x＝0，－x2＋2x，x0.函数的图象如图所示，当x0时，由－x2＋2x＝－1，得x＝1－2.借助图形可知1－2≤a≤1.答案：[1－2，1]10．解析：由已知条件：f(x＋2)＝f(x)，则y＝f(x)是以2为周期的周期函数，①正确；当－1≤x≤0时0≤－x≤1，f(x)＝f(－x)＝121＋x，函数y＝f(x)的图象如图所示：当3x4时，－1x－40，f(x)＝f(x－4)＝12x－3，因此②④正确．③不正确．答案：①②④10．解析：∵f(x)为奇函数并且f(x－4)＝－f(x)．∴f(x－4)＝－f(4－x)＝－f(x)，即f(4－x)＝f(x)，且f(x－8)＝－f(x－4)＝f(x)，即y＝f(x)的图象关于x＝2对称，并且是周期为8的周期函数．∵f(x)在[0,2]上是增函数，∴f(x)在[－2,2]上是增函数，在[2,6]上为减函数，据此可画出y＝f(x)的图象，其图象也关于x＝－6对称，∴x1＋x2＝－12，x3＋x4＝4，∴x1＋x2＋x3＋x4＝－8.答案：－8三、解答题11．解：(1)证明：由函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，有f(x＋1)＝f(1－x)，即有f(－x)＝f(x＋2)．又函数f(x)是定义在R上的奇函数，故有f(－x)＝－f(x)．故f(x＋2)＝－f(x)．从而f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即f(x)是周期为4的周期函数．(2)解：由函数f(x)是定义在R上的奇函数，有f(0)＝0.x∈[－1,0)时，－x∈(0,1]，f(x)＝－f(－x)＝－－x.故x∈[－1,0]时，f(x)＝－－x.x∈[－5，－4]时，x＋4∈[－1,0]，f(x)＝f(x＋4)＝－－x－4.从而，x∈[－5，－4]时，函数f(x)＝－－x－4.12．解：(1)设x0，则－x0，所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，于是x0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.(2)由(1)知f(x)在[－1,1]上是增函数，要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增．结合f(x)的图象知a－2－1，a－2≤1，所以1a≤3，故实数a的取值范围是(1,3]．