第6章热传导问题的有限元法

6热传导问题的有限元法本章应用变分原理，将求解域的微分方程，转化为泛函，然后通过求泛函的极值，找到原问题的解。6-1问题的提出前面对于力学问题，采用直接法或者虚功原理，建立了有限元的求解格式。但是对于非结构问题，必须借助数学工具：变分原理分析，求泛函的极值。比如，热传导中稳定温度场的求解是工程中经常遇到的问题。对于均质物体内温度不随时间变化的情况，温度分布函数T=T(x,y,z)应满足拉普拉斯方程：再加上用得最多（一般）的边界条件0222222zTyTxT上式称为定解问题。物体边界。—外界介质温度；—有关）；对流换热系数（与温度—度有关）；热传导系数（与温度梯—00TTTnT除非几何形状特别简单，如无限大平面，半无限大平面，圆平面，一般无法得到解析解。为此要采用数值方法。有限元法即是其中的一种可选的方法。有限元法求解偏微分方程的思路：1）利用变分原理将偏微分方程转化为等价的泛函；2）假设单元上的场变量变化形式，即插值函数或试探函数；3）寻找试探函数的系数—节点场变量，以使泛函取极值。下面首先简要介绍变分、泛函，然后推导有限元格式。6-2泛函与变分的基本概念函数：z=f(x)，x变，z变。泛函：平面上两点A、B之间的距离Iy变，I变。I是y的泛函—函数的函数。xyxyyAAyxA,BByxB,OBAxxdxdxdyI21一泛函定义：函数值因另外一个或几个函数确定，这个函数称为泛函。二泛函的极值函数z=f(x)有极值问题。如果表明，z相对于x的变化具有局部稳定性，z向左也不是，向右也不是，此时，z取极值。泛函I也有极值。使泛函取极值的自变函数ｙ称为泛函的极值点，它使泛函在该处的值具有稳定性。0dxdz当然，使泛函取得极值的自变函数ｙ的变化要复杂的多。三变分法函数取极值的条件：，称为微分。泛函取极值的条件：，称为变分。四变分函数微分可以用来研究函数z在x处的变化。0dxdzd0xI为任意小的正数，dxxfxxfdz'0类似，泛函在某点y的变化，可以通过对泛函的变分来观察。I—泛函，ε—任意小的正数。五泛函取极值的条件函数在x0处取极值的条件：yxyII000xxfdz泛函I=I[y(x)]在y=y0(x)处取极值的必要条件是δI=0，即上式的含义是：异于y0(x)的y都使I偏离最大值点或最小值点，此时，I处于“左也不是，右也不是”的状态。可见，函数取极值的必要条件和泛函取极值的必要条件是类似的。只不过函数的自变量在极值点附近的变化方式，比泛函中的自变函数的变化方式要简单一些而已。000yxyII六变分法预备定理设函数F(x)在[x1,x2]连续，对于δy(x)，如果有则。δy(x)是y的变分。δy(x)的条件：一阶或若干阶可微，在x1,x2处为零；|δy|ε或|δy|及|δy’|ε，等。这些话的意思是：y是连续区间[x1,x2]中一段曲线。该曲线的变分，就是说它可以变化。这种变化可以是：值的变化，一阶导数的变化，高阶导数的变化等。021xxydxxF21,,0xxxF下面证明：一维泛函（只与一个函数有关）取极值的条件。设有泛函其中：泛函中的自变函数y(x)（平面上的曲线）在积分区间[x1,x2]的端点x1,x2处的值是已知的，即认为函数三阶可微。21',,xxdxxyxyxFxyI2211,yxyyxyxyxyxF',,根据变分的定义，要使泛函取极值，则其中，y使I取极值，y+εδy是一个微小的变化。00yxyIIdxyyyyyyxFyyyyyyyyxFyydxyyyyxFyxyIIxxxx'''',,'''',,'',,2121dxyyyyyxFyyyyyyxFydxyyyyyyxFyyyyyyyyxFyyxxxx''',,''',,'''',,'''',,2121令ε=0，则（y成为使I取极值的点）上式右端中，因为21''0xxdxyyFyyFyxyII2121212121''''''xxxxxxxxxxydxyFdxdyFydyyFydyFdxyyF带入前式由变分基本定理知，一维泛函取极值的条件上面的过程可以总结为（1）写出泛函表达式；（2）设使泛函取得极值的自变函数为y，那么，异于y的自变函数可写成y+εδy，它的高阶项为y’+εδy’；0'21xxydxyFdxdyFI0'yFdxdyFFdxI（3）使泛函取极值的条件（4）展开上式，将其中的δy设法从变分中分离出来。这个过程要用到分步积分。最后形成（5）根据变分基本定理，在δy满足一般性条件时，即可得出：δI=0或I取极值的条件（）=000IydxI0对于一个场的描述有两种方法：1）积分法；2）微分法。两种方法的求解基本思路：（1）积分法假设场变量的变化模式。这种变化方式可以用多项式或三角函数多项式表达，它含有若干待定系数，即每一项前的系数。将这一多项式带入泛函积分表达式中。根据系统达到的最终状态，就是能量最小状态（泛函极值的条件），可以求出多项式前的各系数，这样即可求出对原问题的近似解。（2）微分法假设场变量的值y，写出空间某点y的变化率，y的解与边界条件有关。积分法和微分法的联系微分方程是泛函取极值的必要条件，但它对函数性态的要求稍高。七变分原理变分原理：即泛函极值与求解特定微分方程及其边界条件等价的原理。即：满足微分方程及其边界条件的函数，一定使泛函取极值；使泛函取极值的必要条件就是对应的微分方程及其边界条件。[例]最速降线问题。平面上两点A和B，不在同一水平线上，也不在同一铅垂线上。现有一物体从A沿某条曲线y=f(x)滑到B。求解使物体下滑速度最快或时间最短的曲线y=f(x)。不计物体与曲线间的摩擦力。[解]分析：物体从A点到达B点所花的时间t与路径y=f(x)有关。可以将时间t看成是路径y的泛函，y是自变量函数。物体下滑时间最短，意味着求泛函t的极值。问题的关键：建立时间t与路径y的一般表达式。设A点与坐标原点重合，B点的坐标为B(x1,y1)。从A点到达任意点P的速度为v，失去的位能为mgy，获得的动能为1/2mv2。由能量守恒定律从另一方面看，弧长s对时间的导数即为速度0,0AyxP,yxv11,yxBgyvmvmgy2212或gydtds2因为所以从A到B积分，便得到下滑所需的时间dxdxdyds21gydxdxdyvdsdt21210221xgydxdxdyt即：下滑时间t是y(x)的泛函，记作T[y(x)]这一命题可表达如下：在满足y(0)=0，y(x1)=y1的一切函数y(x)中，选取一个函数，使泛函T[y(x)]为最小。上面问题的求解可以采用两种方法：1）积分法；2）微分法。10221xgydxdxdyxyT1）积分法：把y写成多项式的形式，然后写出积分的显示表达式。使T对多项式中的各项系数分别求导，并令其等于零，可以得到一组方程，求解这组方程，得到各系数，则求得对原问题的近似解。2）微分法：求解使泛函达到极值的微分方程及其边界条件。下面采用微分法求解该问题。由T[y(x)]的表达式可见被积函数为根据使泛函取极值的条件10221xgydxdxdyxyTxyxyFF',0'yFdxdyF展开上式（注意到F不显含x）另一方面比较上面两式可得dxdydxdyyFdxdyyyFyFdxdyyFFdxd''''2220''''222dxdyyFdxdyyyFyFyFdxdyF0'dxdyyFFdxd积分一次有上式即为泛函中被积函数不显含x时的极值条件。对于最速降线问题，已知带入泛函取极值的条件有CdxdyyFF'''12'',2'122yygyydxdyyFgyyFCyygyygyy''12'2'122整理后所以这是一个常微分方程，用参数解法。令有12221'1CgCyy21'1yCy2'ctgy2sin21'1212121CctgCyCy由，可得积分可得由边界条件y(0)=0，可得C2=0。从而dxydy'dCctgCdydydxcos1222sin'12121sin2CCxcos12sin211CyCx由平面解析几何知识可知，该曲线是以C1/2为半径的圆的旋轮线（摆线）。常数C1可由y(x1)=y1求出。6-3稳定温度场的变分原理前述给出三维稳定温度场应满足的微分方程和边界条件。为简单起见，下面只讨论轴对称问题的稳定温度场的微分方程及其边界条件与泛函和变分的联系。轴对称问题的特征：1）几何形状轴对称；2）边界条件和外界温度负载轴对称。上面的1和2保证了物体内任意一点的温度只与r和z有关，而与θ无关，这样，三维的轴对称问题就降为二维平面问题。z是轴线方向，r是半径线方向，θ是圆周方向。rz轴对称问题的微分方程和边界条件为上式的泛函是0222201TfTnTrTrrTzTSrdsfTTrdrdzzTrTI22222轴对称稳定温度场的变分原理：满足微分方程及其边界条件的函数T(r,z)使上面的泛函取极小值；使上述泛函取极小值的函数T(r,z)一定满足微分方程及其边界条件。（证明过程略）泛函并不比微分方程及其边界条件简单。但利用变分原理将问题转化为求泛函的极值至少有两点好处：（1）从微分方程出发，无法导出有限元计算格式，从泛函出发就可以；（2）利用泛函求解与直接求解微分方程有不同的特点：1）边界条件：对于微分方程边值问题，边界条件必须作为定解条件列出，而求泛函极值问题时，这一条件将自动满足；2）导数阶次：微分方程含有二阶导数，泛函只含一阶导数，所以采用泛函求极值方法解稳定温度场问题，求解相对容易。尤其是采用有限元法求解近似解时，这些有利因素可以充分发挥。6-4二维稳定温度场的有限元格式下面从稳定温度场的泛函表达式出发，利用等参数单元的思想，推导8节点平面和轴对称稳定温度场的等参数单元的计算格式。一单元温度刚阵格式的形成1温度泛函说明：（1）上式是单元泛函表达式，因此其中x,y的变化范围，仅限于单元内部。整个求解域的泛函为单元泛函的代数和。)()(222)()()(22eeSeZGRdsfTTdxdyyTxTRUee如果温度场使整个求解域的泛函取极小值，那么就意味着要将所