行列式的性质

线性代数初步行列式性质及其计算欧阳顺湘北京师范大学珠海分校•利用行列式的性质来简化行列式的计算行列式的性质性质1用一个数乘行列式的某一行等于用这个数乘以行列式，即.32132111312113213211131211nnnnniniiinnnnnniniiinaaaaaaaaaaaakaaaakakakakaaaaa性质2若一行的元素全为0，则行列式值为0．性质3分行相加性，即nnnnininiiiinaaacbcbcbaaa21221111211nnnniniinaaabbbaaa212111211nnnniniinaaacccaaa212111211性质4两行对调，行列式改变符号.推论两行（列）对应元素相同，行列式为0.推论若两行（列）对应元素成比例，则此行列式的值为零．性质6：性质5将行列式的某一行(列)的所有元素乘以数k后加到另一行（列）的相应元素上，行列式的值不变.)2()1(001121kcba121100kckbka2第一行乘以k加到第二行上转置行列式112111222212nnnnnnaaaaaaaaa行列式111212122212,nnnnnnaaaaaaDaaa设称为D的转置行列式，记作或.TDD行列互换，行列式不变，即111211121121222122221212nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaa性质7,DD推论：上述对行的性质，对列也成立。【解】原式=233313223212213111323232aaaaaaaaa232313222212212111353535aaaaaaaaa23331322321221311132aaaaaaaaa033231332221231211132aaaaaaaaa=18.求设,3333231232221131211aaaaaaaaa.352352352232333132222321221213111aaaaaaaaaaaa【例1】补充练习利用行列式的性质计算行列式计算行列式时可多次利用行列式的性质把它化为上三角形或下三角形，从而算得行列式的值．计算3111131111311113例21231nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn例3【例2】计算0112012120112110D【解】0112012121102011D)4()1(2)3()1(2011211021104130)4()2(3)3()2(2110201100-2400-22)4()3(1420021102011000-2=4补充练习【例3】计算n阶行列式abbbbabbbbabbbbaDn特点：各行（列）元素相加后都相等.方法：可把行列式的各列（行）都加到第一列（行）上，提出公因子后再化简成行列式计算.【解】abbbnababbnabbabnabbbbnaDn)1()1()1()1(])1([bnaabbbabbbabbb1111)()1(1)2()1(1n])1([bnababababbb0000000001.)]()1([1nbabna练习•P1731(1)、(2)•上次九章算术题中行列式的计算，用这次学的方法进行计算。