行列式计算方法总结(12.15)

行列式计算方法总结【练习18】•设行列式=6，•则=（）•A．－12B．－18C．18D．12111213212223313233aaaaaaaaa111213313233213122322333333aaaaaaaaaaaaC111213313233213122322333333aaaaaaaaaaaa1112133132332131223223333(1)aaaaaaaaaaaa111213313233212223(3)aaaaaaaaa111213212223313233(3)aaaaaaaaa行列式计算元素为数值元素为字母二、三阶公式利用性质化简基本运算化简观察特点化简利用性质观察化简计算行列式常用方法：(1)对角线法（二、三阶）;(2)化三角行列式法；(3)降阶（按行列展开法，选0元较多的）；（4）拆行列式；（5）各行（列）求和（适用类型？）；（6）利用性质化简其他形式．小结计算行列式的基本方法(一)、利用“化三角法”计算行列式（1）先把11a变换为1或-1.一般可通过变换行(列)、111a乘以第1行要注意保值，同时要避免元素变为分数，否则将给后面的计算增加困难.)(11iikcckrr等变换来实现，或1、数字元素行列式化为三角行列式的方法62174051431D如172650434152174052432D521240124163811047523D3423025100752（2）把第一行分别乘以13121,,,naaa加到第行对应元素上去，n,3,2就把第一列以下的元素全化为零.11a再逐次用类似的方法把主对角线以下(以上)的元素全部化为零.（3）利用三角行列式求值.这样【说明】在上述变换过程中，主对角线上可通过行(列)变换使得主对角线上不为元素不能为零，iia),,2,1(ni若出现零，零.【说明】53004200211020115342)1(112例11230302101121201D计算行列式12301201解：D)1(2)2(0132)1(1)3(022223101201)2(2)3(0082)2(3)4(00755728)1(126目标：1、最好首非零元是12、最好能化为三角行列式例20110121211240132D计算行列式解：0110121211240132D)1(2)2(0110013208310431)1(1)3(13400132)4()2(0110138023100110)2(4)3(0011)2(8)4(0051231001100011)3(5)4(00048(二)、利用“降阶法”计算行列式所谓降阶法就是应用行列式按行(列)展开定理，把高阶行列式的计算转化为低阶行列式的计算。先结合行列式的性质，把行列式的某一行(列)的元素尽可能多的转化为零，然后再展开。这是行列式最常用、最有效的方法。方法：行列式展开定理定理n阶行列式nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211们对应的代数余子式的乘积之和，即等于它的任意一行(列)中所有元素与它ininiiiiAaAaAaD2211),2,1(1niAankikik或njnjjjjjAaAaAaD2211),2,1(1njAankkjkj其中，ijA是元素在中的代数余子式Dija称上式为行列式按第行(列)的nDij展开式.例1计算行列式1201300101121201解：1201300101121201)1(22)1(1213011211213011211212)1(122121)1(332选零元最多的行（列）2121312.___________4958050300200100D计算练习244958050300200100D提示：503020100)1(44450302010040320)1(1431)6(424例2选择题1、,4521011130112101D则D=（）A.34333231AAAAB.34333231452AAAAC.4333135AAAD.4444344324421441)1()1()1()1(AMMMC2、,4521011130112101D则D=（）A.333231AAAB.34333231452AAAAC.4333232AAAD.4444344324421441)1()1()1()1(AMMMA例3已知,451011130112101xD(1)、若第二行的余子式为：2,0,3,1(2)、若第二行的代数余子式为：2,0,3,1求：D注意区分余子式与代数余子式451011130112101x2,0,3,12,0,3,1解：(1)、若第二行代数的余子式为：,1,3,02D3100)2(32)1()1((2)、D3100)2(32)1()1(练习四阶行列式第三行的元素分别是,4,3,7,6对应的余子式分别为,4,10,2,1求：D提示：第三行的代数余子式为：,1,2,104D)4(4103271)6(22定理2行列式D中任意一行(列)的各元素与另一行(列)对应元素的代数余子式乘积ji时，之和等于零，即当01nkjkikAa或01nkkjkiAa【说明】综合定理1和定理2可得：nkkjkiAa1当时ji当时jiD0如：nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211nnAaAaAaD1112121111nnAaAaAa31321231110例4已知,4521011130112101DA.34333231AAAAB.34333231452AAAAC.4333135AAAD.4444344324421441)1()1()1()1(AMMM则下列等于零（）B241253069103410013536(1)(1)9134107365130103276(1)(1)953