10-5对坐标曲面积分的计算

第五节对坐标的曲面积分•一、基本概念•二、概念的引入•三、概念及性质•四、计算法•五、两类曲面积分之间的联系•六、小结思考题一、基本概念观察以下曲面的侧(假设曲面是光滑的)曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧n曲面的分类:1.双侧曲面;2.单侧曲面.典型双侧曲面莫比乌斯带典型单侧曲面:播放曲面法向量的指向决定曲面的侧.决定了侧的曲面称为有向曲面.曲面的投影问题:面在xoyS,在有向曲面Σ上取一小块.0cos00cos)(0cos)()(时当时当时当xyxyxyS.)(表示投影区域的面积其中xy为上的投影xyS)(曲面S二、概念的引入实例:流向曲面一侧的流量.(1)流速场为常向量v,有向平面区域A,求单位时间流过A的流体的质量(假定密度为1).Av0nAAvnvAvA0cos流量(2)设稳定流动的不可压缩流体(假定密度为1)的速度场由kzyxRjzyxQizyxPzyxv),,(),,(),,(),,(给出,Σ是速度场中的一片有向曲面,函数),,(),,,(),,,(zyxRzyxQzyxP都在Σ上连续,求在单位时间内流向Σ指定侧的流体的质量.xyzoxyzoiS),,(iiiivin把曲面Σ分成n小块is(is同时也代表第i小块曲面的面积),在is上任取一点),,(iii,1.分割则该点流速为.iv法向量为.in该点处曲面Σ的单位法向量kjiniiiicoscoscos0,通过is流向指定侧的流量的近似值为).,,2,1(niSnviii,),,(),,(),,(),,(kRjQiPvviiiiiiiiiiiii2.求和通过Σ流向指定侧的流量niiiiSnv1iiiiiiiiiniiiiiSRQP]cos),,(cos),,(cos),,([1]))(,,())(,,())(,,([1xyiiiixziiiiyzniiiiiSRSQSP3.取极限0.的精确值取极限得到流量]))(,,())(,,())(,,([lim10xyiiiixziiiiyzniiiiiSRSQSP定义设Σ为光滑的有向曲面,函数在Σ上有界,把Σ分成n块小曲面iS(iS同时又表示第i块小曲面的面积),iS在xoy面上的投影为xyiS)(,),,(iii是iS上任意取定的一点,如果当各小块曲面的直径的最大值0时,nixyiiiiSR10))(,,(lim存在,则称此极限为函数),,(zyxR在有向曲面Σ上对坐标yx,的曲面积分(也称第二类曲面积分)三、概念及性质记作dxdyzyxR),,(,即nixyiiiiSRdxdyzyxR10))(,,(lim),,(被积函数积分曲面类似可定义niyziiiiSPdydzzyxP10))(,,(lim),,(nizxiiiiSQdzdxzyxQ10))(,,(lim),,(存在条件:当),,(),,,(),,,(zyxRzyxQzyxP在有向光滑曲面Σ上连续时,对坐标的曲面积分存在.组合形式:dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP),,(),,(),,(物理意义:dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP),,(),,(),,(性质:2121.1RdxdyQdzdxPdydzRdxdyQdzdxPdydzRdxdyQdzdxPdydzdxdyzyxRdxdyzyxRdzdxzyxQdzdxzyxQdydzzyxPdydzzyxP),,(),,(),,(),,(),,(),,(.2四、计算法设积分曲面Σ是由方程),(yxzz所给出的曲面上侧,Σ在xoy面上的投影区域为xyD,函数),(yxzz在xyD上具有一阶连续偏导数,被积函数),,(zyxR在Σ上连续.),(yxfzxyDxyzoxyS)(nixyiiiiSRdxdyzyxR10))(,,(lim),,(),(,)()(,0cos,iiixyxyizS又取上侧nixyiiiiinixyiiiizRSR1010)))(,(,,(lim))(,,(limxyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR)],(,,[),,(即,)()(,0cos,xyxyiS取下侧若xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR)],(,,[),,(则有给出由如果,),(zyxxyzDdydzzyzyxPdydzzyxP],),,([),,(则有给出由如果,),(xzyyzxDdzdxzxzyxQdzdxzyxQ]),,(,[),,(注意:对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧.例1计算xyzdxdy其中Σ是球面1222zyx外侧在0,0yx的部分.解两部分和分成把21;1:2211yxz,1:2222yxzxyz2112xyzdxdyxyzdxdyxyzdxdyxyxyDDdxdyyxxydxdyyxxy)1(12222xyDdxdyyxxy2212.1521cossin222xyDrdrdrr五、两类曲面积分之间的联系设有向曲面Σ是由方程),(yxzz给出,Σ在xoy面上的投影区域为xyD,函数),(yxzz在xyD上具有一阶连续偏导数,),,(zyxR在Σ上连续.对坐标的曲面积分为xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR)],(,,[),,(xyD),(yxfzxyzodsn有向曲面Σ的法向量的方向余弦为在点),,(zyx处的单位法向量为}cos,cos,{cosn,.11cos,1cos,1cos222222yxyxyyxxzzzzzzzz对面积的曲面积分为xyDdxdyyxzyxRdSzyxR)],(,,[cos),,(所以dSzyxRdxdyzyxRcos),,(),,((注意取曲面的两侧均成立)dSRQPdxdyRQdzdxPdydz)coscoscos(两类曲面积分之间的联系对坐标的曲面积分为xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR)],(,,[),,(向量形式dSAsdAdSnASdAn或其中}cos,cos,{cos},,,{nRQPA为有向曲面Σ上点),,(zyx处的单位法向量,},,{dxdydzdxdydzdSnSd称为有向曲面元,nA为向量A在n上的投影.例2计算zdxdydydzxz)(2,其中Σ是旋转抛物面)(2122yxz介于平面0z及2z之间的部分的下侧.解dydzxz)(2有上在曲面,dSxzcos)(2dxdyxzcoscos)(2dxdyzxxzzdxdydydzxz]))([()(22xyDdxdyyxxxyx)}(21)(])(41{[2222xyDdxdyyxx)](21[2222022220)21cos(rdrrrd.11cos,1cos2222yxyxx.8六、小结1.对坐标曲面积分的物理意义2.对坐标曲面积分的计算时应注意以下两点a.曲面的侧b.“一投,二代,三定号”思考题设为球面1222zyx，若以其球面的外侧为正侧，试问221zxy之左侧（即oy轴与其法线成钝角的一侧）是正侧吗？那么221zxy的左侧是正侧吗？思考题解答此时的左侧为负侧，221zxy而的左侧为正侧.221zxy一、填空题:1、dzdxzyxQdzdxzyxQ),,(),,(=_______________________.2、第二类曲面积分dxdyRQdzdxPdydz化成第一类曲面积分是__________，其中,,为有向曲面上点),,(zyx处的___________的方向角.二、计算下列对坐标的曲面积分:1、ydzdxxdydzzdxdy,其中是柱面122yx被平面0z及3z所截得的在第一卦限内的部分的前侧；练习题2、yzdzdxxydydzxzdxdy,其中是平面1,0,0,0zyxzyx所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧；3、dxdyyxez22,其中为锥面22yxz和2,1zz所围立体整个表面的外侧.三、把对坐标的曲面积分dzdxzyxQdydzzyxP),,(),,(dxdyzyxR),,(化成对面积的曲面积分,其中是平面63223zyx在第一卦限的部分的上侧.练习题答案一、1、0；2、dSRQP)coscoscos(,法向量.二、1、23；2、81；3、22e.三、dSRQP)5325253(.