一山区修建公路的线路设计方案

第卷第期张掖师专学报综合版年月!∀编者按由国家教委与中国工业与应用数学学会组织的全国大学生数学建模竞赛于年月日至。日在北京等个省市、自治区的个赛区举行,甘肃赛区有所院校的个队参赛,经过专家、教授组成的委员会认真评阅,张掖师专队获一等奖,为此,本刊特将这次参赛论文发表,以与众多的参赛者交流。此外,想对数学建模竟赛作更多了解的读者,请看本刊约请我校指导这次竞赛的李万同,费祥历教练的文章《大学生数学建模概述》。一山区修建公路前纷路设计方泉俞光贤张丽华狄正成指导教师李万同张掖师专摘要本文运用图与网络分析理论讨论了题线路设计方案问题。首先根据题中给出的数据表,用计算机模拟了该山区的立体图图略其次通过构造判断矩阵和设计程序估计了满足坡度要求的线路范围。根据路程与费用的权重比,给出了三种设计方案,并对这三种方案进行了误差估计,稳定性分析及优缺点的比较。同时还给出了居民点改为居民区后的两种方案。此外对计算机程序作了必要的说明。一、问题提出要在某一山区修建公路,首先测得一些地点的高程,数据见表平面区域。簇簇,簇簇,表中数据为坐标点的高程,单位米。从数据显示可以看出,在一处有一东西走向的山峰从坐标。。,到,有一西北一东南走向的山谷在,附近有一山口湖,其最高水位略高于米,雨季在山谷中形成一溪流。经调查知,雨量最大时溪流水面宽度。与溪流最深处的坐标的关系可近似表示为。一一、、,一一、一为毛毯。”一、一‘一‘’‘一“除主教练李万同外还有费祥历、赵住二位教练。要求公路从山脚,处开始,经居民点,至矿区,。已知路段工程成本及对路段坡度。上开高程与水平趴离之比的限制如表。试给出一种线路设宝下方案,包括原理、方法及比较精确的线路位置含桥梁、隧道,并估算该方案的总成本。如果居民点改为镇成,簇《的居民区,公路只须经过居民区即可,那么方案有什么改变。二、问题的分析按照通常的理解,修造道路要根据具体的地理青件、施工技术、道路的要求如道路等级、坡度等、路程长度及建造成本等来确定设计方案。一个好的方案应满足如下一些基本要求符合坡度要求。施工量尽可能小。考虑到投入运行后的效率因素,路程应较短,道路较平缓。修路总成本最小。适应自然条件在一定范围内的变化如河流随季节的涨落等基于以上分析,本文根据图与网络分析理论中的求赋权图最短路的方法给出了三种设计方案,这三种方案的路程及成本见表,其特点见四二模型结果分析。三、模型假设、该地区地势变化较平缓,如表。、对于成簇,我们认为可以通过挖垫使之符合坡度要求。、当高程介于两点、的高程之间时,该高程点落在、两点的连线上四、模型建立及培果分析一模型建立对于数据表,首先选定一点为主点,因为路线从,处开始,因此第一次选,为主点,构造判断矩阵△一不之。。一占△一△其中,、表示数据表中点的坐标,,间的高程差,△表示点与主点,间的坡度。二,扮··…与主点表示‘,,与主点,··…。△表示点间的水平距离,把符合坡度要求的点依次选为主点,继续构造判断矩阵,就可以找出符合坡度要求的线”范围,即囊忿黔童童。这一过程的具体操作是用一语言设计程序由计算机完成。见程序在满足坡度要求的条件下,又采用又阶矩阵给出了线路位置、高程及该路段的路程与成本。路程与费用的求解公式如下、·。一丫二十一、十,一一“,,……,其中示,二表示第个点的横坐标,沂表示第点的纵坐标,表示第个点的高程,、表与,,,两点之间的路程,表示经过路程的成本。,其中,表示桥梁起点的坐标,,十表示桥梁终点的坐标,。表示桥长,。表示桥梁费用一一,一“,一一镇!∀#∃#%,yC,zc)表示隧道起点的坐标,(xe+1,ye+,,其中米米zc+1)表示隧道终点的坐标,RC表示隧道长度,MC表示隧道的费用。这一过程的具体操作是用passca[语言设计程序由计算机完成,(见程序互)这样就得到了一个无向赋权图,总费用可用下式表示:M总一“00又i孰R‘+“000XR。+·1500XRc3000XReRe镇300米Rc300米下面在考虑费用的前提下,用Dijkstra方法(Dijkstra方法见文献〔1〕265页,此处略)解决最短路问题。首先,记起点(o,500)为Vl,居民点(4000,2000)为v。,用Dijkstra方法求得(0,800)到(4000,2000)的最短路并使费用M;较小;其次,记居民点(4000,2000)为Vl,矿区(2000,4000)为Vn,再用Dijksrta方法求得(4000,2000)到(2000,4000)的最短路,并使费用MZ较小。从而,求得从(o,500)开始,经居民点(4000,2000)到矿区(2000,4000)的最短路(并使费用最小)。下面给出从(0,800)出发经居民点到矿区的三种线路设计方案。方案I650(O,800)R,一877.5977750(800,453.3333)R:~807.9879Mz二263279.360MZ一242396.3700850(1600,400)RaK,一839.8591___蔺下产一一戈万二丁二二二万-二二,勺UIvl3二乙勺1,勺了·7d(2400,635.294)R‘一642.5672M;一192770.1600925(2800,1137.5566)RS一405.6150M。一121684.5000900(3200,1200)RB~565.68MB一1131360900(3600,1600)R6~567.8908M。=170367.24950(4000,2000)(4047.0588,2800)(4400,3421.5385)R:=546.6549M7一125149.9804R。=474.7894M。一142439.5092Rl。=404.31031000(4369.2308,2400)Rs一5IG.0376Ms=154811.2677Re=500.843510501100(4500,2933,3333)1140M20~121293.09641190.(4000,3452.Me节1502530.6080R11=417.1666631b);下一一一一二又二几,丁二一下二二下汉112=1乙勺14,·,匕U41240(3600,3560)R,:一407.29R13=426.19M一:=122186.99261290(3200.3618.1818)M13=127857.0081340(2800,3756.5217)R,4=836.4698Mz‘一250940.93221320(2000.4000)方案I(略)·102·方案l(略)如果居民点改为3600蕊x簇4000,2000(y镇240()的居民区,公路只须经过居民区即可采用同样的办法给出两种线路设计方案方案IV650(0,800)Rx一877.5977Ml=263279.31750(800,453.3333)RZ一807.9879MZ=242396.37850(1600,400)R3~839.8591M3二251957.73950(2400,635.294)R‘=642.5672___可下一一一丁下苏二不犷刃-丁二,乙匕」v且‘=1,乙llU·lbR4(28001137.5566)R。=405.615M。一121684.5900(3200,1200)R6~839.3152M。~251794.56965(2800,1935)RB~145.3444MB一290688.6965(2930,2000)R;=290,0431M7~87012.93011000(3200,1900)R。~410.0305Ms一123009.’1461050(3600,1975)R。三440.098M。=132029.41110(374.2857,2400)R一。~434.4642Ml。二130339.261160(3883.8710,2800)R,l=949.5807M21=284874.2Re一2881290(48的,3()13.333)l:一11一:一二一:一:二:Me=4320001310(4800.3301.333)Rl,一1627.6676____犷下~~一一气二不二二下二了一下二13UUM12一46朽jUU.乙t)(3200,3600)Rl,=1265.0692‘___天匕一于弓共三于袄舟1320Ml:~379520.76--一方案v(略)在方案I、l、班、(2000,4000)在方案I、l、l、W、v中:—一表示一般路段—表示桥梁一三一万一:表示隧道、v中,总的线路长度、总费用、一般路段长度、费用、桥梁长度及费用、隧道长度及费用见表三。由于架桥时必须考虑雨量最大时溪流水面宽度。,。与x坐标的关系可近似表示为。(X卜占黔〕)”十5(2400令和00)表四给出:‘雨量最大时溪流在山谷中几个特殊位置的水面宽度。在架桥时可以依据下面的不等式组确定架桥的位置、高程、桥长及水面宽度。设桥起点的坐标为(x。,y、),桥终点的坐标为(x6十,,y、十;)起点的高程为h、,终点的高程为h、l,(x宜,yi)表示桥起点,前面一个点的坐标,h、为高程,(x1+1,yi+1)表示桥终点后面一个点的坐标,hi+,为高程。103,、:_上、t,_,门:、‘兰二里丝旦、%二;、人b+‘姚2万,、了”+lJ“//、22400簇x簇4000}h、一h、}0.125(x。一xi):+(yb一yi)2}h‘二1一h;二,}-一一一一一止二理二三一二二上二一-—-一0.125(x。+1一父,+,)2+(y。+,一y;+1)2=hb+z!1.||卜!、、甘|l|l!It各方案中桥长与溪流水面宽度。(x)(雨量最大时)的比较,见表五。(二)模型的结果分析1、居民点为定点(4000,2000)在居民点为定点(4000,2000)时,给出了三种线路设计方案:方案I、方案兀、方案兀,它们之间的总路程差见表六,它们之间的总费用差见表七,从表三、表六、表七可以看出:方案I是赋权图中的最短路,它的路程比方案兀短1172.3082米,比方案1短460.047米,但费用较高,是三者之间最大的。如果所需公路的流量大,矿区有很大的发展潜力,则认为方案I是较优方案。方案亚的优点在于费用比方案I少495924.74元,坡度较小,道路较平缓,可以提高公路运行车辆的速度,增大流量,减少运行费用,缺点在于路程较长。方案l的费用最低,路程介于方案1与方案卫之间,只比方案I多460.047米,节约了大量的费用(包括人力、物力、财力),如果矿区的发展潜力不是巨大的,节约资金的增值大于公路开通后取得的效益,方案班应优于方案I和方案l,方案兀的总费用是4567852.748元。2、居民点(4000,2000)改为居民区3600簇x镇4000,2000簇y镇2400居民点改为居民区后,给出了两种线路设计方案,方案IV和方案v它们之间的总路程差见表六,总费用差见表七。方案W的优点是费用较低,节省了大量的人力、物力、财力,缺点是路线较长,方案V路程较短,路线的弯度小。从表三可以看出,当居民点改为居民区,方案的总费用大大减少.而路程并没有增加多少。五、模型的误差分析1、表一中所给出的测量点的坐标和高程会带入测量误差,这是影响结果正确的一个重要因素。2、在选点过程中,对所选点坐标的计算、路程的计算、费用的计算,由于对数字进行四舍五入处理,也会导致最终的结果产生误差。3、假设“该地区地势变化较平缓”对最后的结果也产生较大的误差影响。4、“当高程介于两点A、B的高程之间时,该高程点落在A、B两点的连线上”,这一假设,也会对结果产生误差。六、模型的稳定性分析我们建立的模型具有较好的稳定性,当起点变动较小时,如起点在。镇x簇4如.800簇y杯.104.变动,从上述方案可以看出,其线路基本没有变化,因此线路设计方案在起点的变动不太大时,具有较好的稳定性。在居民点改为居民区后,线路设计方案除桥梁与隧道做了较小的变动,其它线路基本没有变化,也具有较好的稳建性。七、模型的优缺点及改进方向(一)模型的优点:模型最大的优点在于适用性广。模型所采用的方‘法给山区修路提供了理论依据,而且运算简单,并且具有