高一数学-必修一复习资料

1第一章§1.1集合1.关于集合的元素的特征（1）确定性（组成元素不确定的如：我国的小河流）（2）互异性（3）无序性集合相等：构成两个集合的元素完全一样(1)若集合A中的元素与集合B中的元素完全相同则称集合A等于集合B,记作A=B.(2)BAABBA,例：已知A={1,1+d，1+2d}，B={1，q，q2}，若A=B，求的，d，q的值。解：d=－34，q=－122.元素与集合的关系；（1）如果a是集合A的元素，就说a属于（belongto）A，记作a∈A（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于（notbelongto）A，记作aA子集与真子集：如果集合A中的每一个元素都是集合B中的元素，那么集合A叫做集合B的子集，记作BA或AB.若集合P中存在元素不是集合Q的元素，那么P不包含于Q，或Q不包含P.记作QP若集合A是集合B的子集，且B中至少有一个元素不属于A,那么集合A叫做集合B的真子集.BA或AB.子集与真子集的性质：传递性：若BA，CB，则CA空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集.3.常用数集及其记法非负整数集（或自然数集），记作N正整数集，记作N*或N+；整数集，记作Z有理数集，记作Q实数集，记作R4.集合的表示方法（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，…；（2）描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共2同特征。如：{x|x-32}，{(x,y)|y=x2+1}，{直角三角形}，…；（3）自然语言描述法：小于10的所有正偶数组成的集合。（{2,4,6,8}）问：1、{1，3，5，7，9}如何用自然语言描述法表示？2、用例举法表示集合练习：（1）已知集合M={a，b，c}中的三个元素可构成某一三角形的三条边，那么此三角形一定不是（）A直角三角形B锐角三角形C钝角三角形D等腰三角形5.集合间的基本运算并集（∪）：一般的由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，成为集合A与B的并集，记作A∪B，即：,韦恩图如下：交集（∩）：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B，即：韦恩图如下：全集（U）：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就成这个集合为全集，记为U。补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作CUA，即CUA={xxU且xA}，韦恩图如下：练习：1、若A={0，2，4}，CUA={-1，2}，CUB={-1，0，2}，求B=。2、设A={x|x-2},B={x|x0},求A∩B.3、若A={x|x=4n,n∈Z}，B={x|x=6n,n∈Z}，求A∩B.{|18}AxNx{|,}ABxxAxB或{|,}.ABxxAxB且UCUAA34、A={x|a≤x≤a+3},B={x|x＜-1或x＞5}，分别求出满足下列条件的a的取值范围:(1)A∩B=(2)A∩B=A5、已知A={x|-1＜x＜2},B={x|1＜x＜3}求A∪B.__________}21|{}2|{6BAZmmBZnnA，则，、集合7、已知X={x|x2+px+q=0，p2-4q0},A={1,3,5,7,9},B={1,4,7,10}，且XBX,AX，试求p、q；8、已知集合A={a+2，(a+1)2，a2+3a+3}，且1∈A，求实数a的值9、已知集合A={x|x2－5x＋6=0}，B={x|mx＋1=0}，A∪B=A，求实数m的值组成的集合。10、集合A={x||x－2|≤2，x∈R}，B={y|y=－x2，－1≤x≤2}，则CR(A∩B)等于（）A.RB.{x|x∈R，x≠0}C.{0}D.Φ（空集）11、已知{a，b}A，且A为{a，b，c，d，e}的真子集，则满足条件的集合A的个数是（）12、记函数f（x）=lg（2x－3）的定义域为集合M，函数g（x）=√－2－1的定义域为集合N，求：（1）集合M、N；（2）集合m∩N，M∪N13、已知集合A={x||x－a|≤1}，B={x|x2－5x＋4≥0}，若A∩B=Φ，则实数a的取值范围是（）4§1.2函数函数概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数。记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．构成函数的三要素：定义域、对应关系、值域区间：（1）、开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）、无穷区间；区间的数轴表示例1：已知函数f(x)=3x+21x，求函数的定义域。例2：设一个矩形周长为80，其中一边长为x，求它的面积关于x的函数的解析式，并写出定义域。函数的定义域小结：（1）如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R.（2）如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合.（3）如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合.（4）如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合.（即求各集合的交集）（5）满足实际问题有意义.例3：下列函数中哪个与函数y=x相等？（1）y=(x)2;（2）y=(33x);（3）y=2x;（4）y=xx2√42练习：1.求下列函数的定义域（1）y=12－＋√2－（2）y=（－）（3）已知f（x）的定义域为（－1,1），求函数F（x）=f（1－x）＋f（1）的定义域。2.已知A={1,2,3，k}，B={4,7，a4，a2＋3a}，a∈N*，x∈A，y∈B，f：x→y=3x+1是从定义域A到值域B的一个函数，求a，k，A，B。解：a=2，k=5，A={1,2,3,5}，B={4,7,16,10}映射：一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则，使对于集合A中的任意一个元素，在集合B中都有唯一确定的元素与之对应，那么就称对应：A→B为从集合A到集合B的一个映射．记作“：A→B”fxyff√－25说明：（1）这两个集合有先后顺序，A到B的映射与B到A的映射是截然不同的，其中表示具体的对应法则，可以用多种形式表述．（2）“都有唯一”包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思．例：1.已知A={x，y}，B={a，b，c}，从集合A到集合B的所有不同的映射有（）个。2.已知A={x，y}，B={a，b，c}，从集合B到集合A的所有不同的映射有（）个。函数的表示方法：解析法、列表法、图像法练习：1.已知f（x－2）=2x2－9x＋13，求f（x）——配凑法答案：f（x）=2x2－x＋32.已知f（√＋1）=x＋2√，求f（x＋1），f（x2）——换元法答案：f（x＋1）=x2＋2x，（x≥0）；f（x2）=x4－1，（x≤－1或x≥1）3.已知f（x）是一次函数，且有f[f（x）]=9x＋8，求f（x）——待定系数法答案：f（x）=3x＋2或f（x）=－3x－44.设f（x）满足关系式f（x）＋2f（1）=3x，求f（x）——消元法答案：f（x）=2－x，x∈{x|x∈R，x≠0}6.已知x≠0，函数f（x）满足f（x－1）=x2＋12，则f（x）的表达式为（）A.f（x）=x＋1B.f（x）=x2＋2C.f（x）=x2D.f（x）=（x－1）27.已知函数f（x）={，（﹤）(－)，（），那么f（5）的值为（）A.32B.16C.8D.648.若函数f（2x＋1）x2－2x，则f（3）=（）9.已知函数f（x）=1＋，则f（1）＋f（2）＋f（12）＋f（3）＋f（13）＋f（4）＋f（14）的值为（）10.已知f（2＋1）=lgx，求f（x）11.已知f（x）是二次函数，且f（0）=0，f（x＋1）=f（x）＋x＋1，求f（x）12.定义在（－1,1）内的函数f（x）满足：2f（x）－f（－x）=lg（x＋1），求函数f（x）的解析式.f6§1.3函数的基本性质增函数：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数。注意：(1)函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；(2)必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1x2时，总有f(x1)f(x2)．减函数：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是减函数。函数的单调性定义：如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。例1：物理学中的玻意耳定律P=Vk（k为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减少时，压强P将增大。试用函数的单调性证明之。（设V1＞V2＞0）判断函数单调性的方法步骤:利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：①任取x1，x2∈D，且x1x2；②作差f(x1)－f(x2)；③变形（通常是因式分解和配方）；④定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；⑤下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）.练习：1、用函数单调性的定义证明f（x）=x＋2在（√，＋∞）上是增函数。2、若3x－3－y≥5－x－5y成立，则（）A、x＋y﹥0B、x＋y﹤0C、x＋y≥0D、x＋y≤03、函数y=log1/2（4＋3x－x2）的一个单调递增区间是（）A.（－∞，32）B.[32，＋∞﹚C.（－1，32）D.[32，4﹚4.下列函数中，在区间（0,2）上为增函数的是（）A.y=－x＋1B.y=√C.y=x2－4x＋5D.y=25.函数f（x）=11＋2（x∈R）的值域是（）A.（0,1）B，（0,1]C.[0,1）D.[0,1]6.已知函数f（x）ax2＋2ax＋1，x∈[－3,2]的最大值为4，求其最小值.7函数的奇偶性和周期性：函数的奇偶性定义：1．偶函数：一般地，对于函数()fx的定义域内的任意一个x，都有()()fxfx，那么()fx就叫做偶函数．（学生活动）依照偶函数的定义给出奇函数的定义．2．奇函数：一般地，对于函数()fx的定义域的任意一个x，都有()()fxfx，那么()fx就叫做奇函数．注意：①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．3．具有奇偶性的函数的图象的特征：偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．练习：1.已知函数f（x）是定义在（－∞，＋∞）上的偶函数，当x∈（－∞，0）时，f（x）=x－x4，则当x∈（0，＋∞）时，f（x）=2.已知f（x）是定义在R上的偶函数.且在[0，＋∞﹚上为增函数，若f（a）≥f（2），则实数a的取值范围是：3.函数f（x）对任意实数x满足条件f（x＋2）=1（），若f（1）=－5，则f（f（5））=第二章基本初等函数§2.1指数函数一、指数和指数幂的运算1、n次方根的含义一般地，若nxa，则x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈Ｎ＊2、n次方根的写法nnnanaanana为奇