隐函数的定理及其应用论文原稿

1隐函数的定理及其应用摘要：本文主要讨论了隐函数和隐函数组的相关定理,并举例说明其应用.关键词：隐函数隐函数组可微性导数引言我们在初中时就开始接触到函数,在我们眼中,函数就是一种关系,这种关系使一个集合里的每一个元素对应到另一个(可能相同的)集合里的唯一元素.在之前我们所接触到的函数,其表达式大多是自变量的某个算式,如21,(sinsinsin)xyzyxuexyyzzx这种形式的函数即为显函数.然而我们在很多地方也会遇到另一种形式的函数,它的自变量与因变量之间的对应法则是由一个方程式所确定的.简单来说,若能由函数方程(,)0Fxy,①确定y为x的函数()yfx,即(,())0Fxfx,就称y是x的隐函数.1.关于隐函数的一些定理1.1隐函数存在惟一性若(1)函数F在以000(,)Pxy为内点的某一区域0DR上连续；(2)00(,)0Fxy(通常称为初始条件)；(3)在D内存在连续的偏导数(,)yFxy；(4)00(,)0yFxy,则在点0P的某邻域0()UPD内,方程(,)0Fxy惟一地确定了一个定义在某区间00(,)xx内的函数(隐函数)()yfx,使得(1)00()fxy,x00(,)xx时(,())xfx0()UP且(,())0Fxfx；(2)()fx在00(,)xx内连续.需要注意的是,上述定理中的条件仅仅是充分的.如方程330yx在点(0,0)不满足条件2(4)((0,0)0yF),但它仍能确定惟一的连续函数yx.当然,由于条件(4)不满足,往往会导致定理结论的失效.事实上,条件(3)和(4)只是用来保证存在0P的某一邻域,在此邻域内F关于变量y是严格单调的.因此对本定理的结论来说,可以把后两个条件减弱为：F在0P的某邻域内关于y严格单调.采用较强的条件(3)和(4)只是为了在实际应用中便于检验.如果把定理的条件(3)和(4)改为(,)xFxy连续,且00(,)0xFxy,这时结论是存在惟一的连续函数()xgy.1.2隐函数的可微性定理设(,)Fxy满足隐函数存在惟一性定理中的条件(1)-(4),又设在D内还存在连续的偏导数(,)xFxy,则由方程①所确定的隐函数()yfx在其定义域00(,)xx内有连续导函数,且'(,)()(,)xyFxyfxFxy.②若已知方程①确定存在连续可微的隐函数,则可对方程①应用复合求导法得到隐函数的导数,因为把(,())Fxfx看作(,)Fxy与()yfx的复合函数时,有'(,)(,)0xyFxyFxyy当(,)0yFxy时,由它即可推得与②相同的结果.对于隐函数的高阶导数,可以用和上面一样的方法求得,此时只要假定函数F存在相应的连续的高阶偏导数.我们可以类似的推出由方程12(,,,,)0nFxxxy所确定的n元隐函数的概念.1.3n元隐函数的惟一存在与连续可微性定理若(1)函数12(,,,,)nFxxxy在以点0000012(,,,,)nPxxxy为内点的区域1nDR上连续；(2)000012(,,,,)0nFxxxy；(3)偏导数12,,,nxxxyFFFF在D内存在且连续；(4)000012(,,,,)0ynFxxxy,3则在点0P的某邻域0()UPD内,方程12(,,,,)0nFxxxy惟一地确定了一个定义在000012(,,,)nQxxx的某邻域0()nUQR内的n元连续函数(隐函数)12(,,,)nyfxxx,使得(1)当120(,,,)()nxxxUQ时,12120(,,,,(,,,))()nnxxxfxxxUP,且1212(,,,,(,,,))0nnFxxxfxxx,000012(,,,)nyfxxx.(2)12(,,,)nyfxxx在0()UQ内有连续偏导数：12,,nxxxfff,而且1212,,,nnxxxxxxyyyFFFfffFFF.例1设方程1(,)sin02Fxyyxy③由于F及,xyFF在平面上任一点都连续,且(0,0)0F,1(,)1cos02yFxyy,故依上述定理,方程③确定了一个连续可导隐函数()yfx,按公式②,其导数为'(,)12()1(,)2cos1cos2xyFxyfxFxyyy.上述都是由一个方程所组成的隐函数,下面来讨论由方程组所确定的隐函数组.设(,,,)Fxyuv和(,,,)Gxyuv为定义在区域4VR上的两个四元函数.若存在平面区域D,对于D中每一点分别有区间J和K上惟一的一对值,uJvK,它们与,xy一起满足方程组(,,,)0(,,,)0FxyuvGxyuv④则说方程组④确定了两个定义在2DR上,值域分别落在J和K内的函数.我们称这两个函数为由方程组④所确定的隐函数组.若分别记这两个函数为(,)ufxy,(,)vgxy,则在D上成立恒等式(,)yyux,(,)vvux.为了探索由方程组④所确定隐函数组所需要的条件,不妨假设④中的函数F和G是可微的,4而且由④所确定的两个隐函数u与v也是可微的.那么通过对方程组④关于,xy分别求偏导数,得到00xuxvxxuxvxFFuFvGGuGv⑤00yuyvyyuyvyFFuFvGGuGv⑥要想从⑤解出xu与xv,从⑥解出yu与yv,充分条件是它们的系数行列式不为零,即0uvuvFFGG⑦⑦式左边的行列式称为函数F和G关于变量u,v的函数行列式(或雅可比Jacobi行列式),亦可记作(,)(,)FGuv.条件⑦在隐函数组定理中所起作用与隐函数存在惟一性的条件(4)相当.1.4隐函数组定理若(1)V和(,,,)Gxyuv在以点0()UQ为内点的区域4VR内连续；(2)0000(,,,)0Fxyuv,0000(,,,)0Gxyuv(初始条件)；(3)在V内F,G具有一阶连续偏导数；(4)0(,)0(,)PFGuv在0P点不等于零,则在点0P的某一(四维空间)邻域0()UPV内,方程组④惟一确定了定义在点000(,)Qxy的某一(二维空间)邻域0()UQ内的两个二元隐函数000(,)ufxy,000(,)vgxy,使得(1)000000(,);(,)ufxyvgxy且当0,()xyUQ时0(,,(,),(,))()xyfxygxyUP,(,,(,),(,))0(,,(,),(,))0FxyfxygxyGxyfxygxy(2)(,),(,)fxygxy在0()UQ内连续；(3)(,),(,)fxygxy在0()UQ内有一阶连续偏导数,且51(,)(,)vFGxJxv,1(,)(,)vFGxJux,1(,)(,)vFGyJyv,1(,)(,)vFGyJuy.应该注意的是,本定理中若将条件(4)改为0(,)0(,)PFGuv,则方程组④所确定的隐函数组相应是(,),(,)yyuxvvux；其他情形均可类似推得.总之,当我们遇到由方程组定义隐函数组及隐函数组求导的问题时,首先应明确那些变量是自变量,那些变量是因变量,然后再进行有关讨论和运算.2.隐函数在几何方面的应用2.1平面曲线的切线与法线设平面曲线由方程①给出,它在点000(,)Pxy的某邻域内满足隐函数定理条件,于是在0P附近所确定的连续可微隐函数()yfx或(()xgy)和方程①在0P附近表示同一曲线,从而该曲线在点0P处存在切线和法线,其方程分别为'000()()yyfxxx(或'000()()xxgyyy)与00'01()()yyxxfx(或00'01()()xxyygy)由于'xyFfF(或'yxFgF),所以曲线①在点0P处的切线和法线方程分别为切线：000000(,)()(,)()0xyFxyxxFxyyy,⑧法线：000000(,)()(,)()0yxFxyxxFxyyy.⑨例2求笛卡儿叶形线332()90xyxy在点(2,1)处的切线与法线.解设33(,)2()9Fxyxyxy,于是269xFxy,269yFyx在全平面连续,且(2,1)150xF,(2,1)120yF.依次由公式⑧与⑨分别求得曲线在点(2,1)处的切线与法线方程分别为15(2)12(1)0xy即5460xy,612(2)15(1)0xy即45130xy.2.2空间曲线的切线与法平面下面我们讨论由参数方程L：(),(),(),xxtyytzztt⑴表示的空间曲线L上的某一点0000(,,)Pxyz处的切线和法平面方程,其中00()xxt,00()yt,00()zt,0t,并假定⑴式中的三个函数在0t处可导,且'2'2'2000[()][()][()]0xtytzt.则曲线L在0P处的切线方程为000'''000()()()xxyyzzxtytzt.⑵由此可见当'0()xt,'0()yt,'0()zt不全为零时,它们是该切线的方向数.过点0P可以作无数条直线与切线l垂直,且这些直线都在同一平面上,称这平面为曲线L在0P处的法平面n.它通过点0P,且以为它的法线,所以法平面n的方程为'''000000()()()()()()0xtxxytyyztzz当空间曲线方程L由方程组L：(,,)0(,,)0FxyzGxyz⑶给出时,若它在点0000(,,)Pxyz的某邻域内满足隐函数定理条件(这里不妨设条件(4)是0(,)0(,)PFGuv),则方程组⑴在点0P附近所能确定惟一连续可微的隐函数组()xz,()yz,使得0000(),()xzyz,且(,)(,)(,)(,)FGdxzyFGdzxy,(,)(,)(,)(,)FGdyxzFGdzxy.L在0P附近的参数方程为7(),(),xzyzzz那么由⑵式曲线在0P处的切线方程为000001PPxxyyzzdxdydzdz即000000(,)(,)(,)(,)(,)(,)PPPxxyyzzFGFGFGyzzxxy.曲线在0P处的法平面方程为000000(,)(,)(,)()()()0(,)(,)(,)PPPFGFGFGxxyyzzyzzxxy同理我们可以推得：当(,)(,)FGyz或(,)(,)FGzx在0P处不等于零时,曲线在点0P处的切线与法平面方程仍分别取上述形式.由此可见,当000(,)(,)(,),,(,)(,)(,)PPPFGFGFGyzzxxy不全为零时,它们是空间曲线⑶在0P处的切线的方向数.例3求平面22250xyz与锥面222xyz所截出的曲线在点(3,4,5)处的切线与法平面方程.解设222(,,)50Fxyzxyz,222(,,)Gxyzxyz.它们在点(3,4,5)处的偏导数和雅可比行列式之值为：6Fx,8Fy,10Fz,6Gx,8Gy,10Gz(,)160(,)FGyz,(,)120(,)FGzx,(,)0(,)FGxy.8所以曲线在点(3,4,5)处的切线方程是：3451601200xyz,即3(3)4(4)05xyz.法平面方程为4(3)3(4)0(5)0xyz,即430xy.2.3曲面的切平面和法线设曲面由方程(,,)0Fxyz⑷给出,它在点0000(,,)Pxyz的某邻域内满足隐函数定理条件(不妨设000(,,)0zFxyz).于是方程⑷在点0P附近确定惟一连续可微的隐函数(,)zfxy使得000(,)zfxy,且(,,)(,,)xzFxyzzxFxyz,(,,)(,,)yzFxyzzyFxyz