隐函数在几何中的应用

目录摘要·······················································1关键词·······················································1Abstract·····················································1KeyWords···················································1引言·························································21.基础知识引用···············································21.1隐函数························································21.2隐函数组的概念················································31.3反函数组的概念················································32.隐函数定理·················································32.1隐函数定理····················································32.2隐函数组定理··················································52.3反函数组定理··················································63.隐函数定理在几何中的应用···································73.1平面曲线的切线与法线··········································73.2空间曲线的切线与法平面········································83.3空间曲线的切平面与法线·······································11结论·······················································13参考文献·····················································141隐函数在几何中的应用摘要：本文对隐函数的概念、隐函数定理进行了简要的论述，并对隐函数定理进行了证明，而且在此基础上推出隐函数组定理以及反函数组定理.最后针对隐函数及其相关的定理在几何中的应用进行了详细的论述，并给出具体的例子加以解释说明.关键词：隐函数定理；应用；证明Abstract：Thispaperbrieflydiscussestheconceptofimplicitfunction,thecontentoftheimplicitfunctiontheoremandprovemethod.Also,fromtheimplicitfunctiontheoremaregiven,andthecorollaryofimplicitfunctiontheoremandthegroupinversefunctiongrouptheorem.Finally,discussedindetailtheapplicationofimplicitfunctionandrelatedtheoremsinthecalculationofgeometricapplication,andgivesconcreteexamplestoexplain.KeyWords：implicitfunctiontheorem;Application;proof2引言通常我们遇到的函数都是因变量用自变量的一个解析式表示的，这种形式的函数我们称之为显函数.但在许多实际问题中，变量之间的函数关系往往不是用显式形式表示的，而是通过一个或多个方程来确定的，由此便产生了隐函数.隐函数的产生为许多数学问题的解决带来了极大的方便，本文就隐函数的存在性定理、连续性定理、可微性定理做了系统的研究.隐函数定理是高等数学和数学分析中的一个非常重要的定理，它不但是高等数学和数学分析中许多问题的理论基础，并且它也为许多数学分支，如微分几何、常微分方程、泛函分析等的进一步研究提供了坚实的理论依据.隐函数定理的应用范围十分广泛，在数学分析、几何、优化理论、条件极值中均有重要作用.对隐函数定理及其应用的研究，可以加深我们对微分学的认识与理解.现今国内外很多学者都在研究隐函数定理及其应用这个课题，也把它的有关知识作为一种工具用于证明、计算其它定理.我国数学家陈文源、范令先教授在1986年出版《隐函数定理》一书，在书中提出许多独到见解，并由隐函数定理得出许多推论.法国数学家扎芒斯凯在1989年出版《普通数学》一书，其中对隐函数定理进行了更深层次的研究.我国学者史艳维在2010年发表期刊《关于隐函数定理和Peano定理的一点注记》，其中给出了隐函数定理的另一种证明方法.我国学者王锋、李蕴洁在2005年发表期刊《隐函数定理在经济学比较静态分析中的应用》，更好的诠释了隐函数定理在其他领域内的应用.本文主要论述了隐函数定理及隐函数定理的一些推论，并给出了隐函数定理在几何应用上的应用.1.基础知识引用隐函数与以前接触的函数有所不同，它是数学分析中相对于显函数而言的一种函数变现形式.在这里，我们将具体地研究隐函数.1.1隐函数以前就接触的函数)(xf（对应关系）多是用自变量的数学表达表示的，一般称这样的函数为显函数。如2)(xxf，xxfcos)(等.定义1.1若自变量x与因变量y之间的对应关系f是由某个方程0)(xf所确定的，即有两个非空数集A与B，对任意Ax,通过方程0),(yxF对应唯一一个By,这种对应关系称为由方程0),(yxF所确定的隐函数.记为)(xfy，Ax，By则成立恒等式30))(,(xfxF，Ax例如，二元方程02454),(yxyxF在R上确定（从中解得）一个隐函数.隐函数不一定能写成)(xfy的形式，如122yx，隐函数不一定是函数，而是方程.其实总的来说，函数都是方程，而方程却不一定是函数.1.2隐函数组的概念定义1.2设),,,(vuyxF和),,,(vuyxG为定义在区域4RV上的两个四元函数，若存在平面区域D,对于D中每一点),(yx分别在区间J和K上有唯一一对值Ju，Kv，它们与x，y一起满足方程组0),,,(0),,,(vuyxGvuyxF(1-1)则称方程组(1-1)确定了两个定义在区域D上，值域分别在J和K内的函数，称这两个函数为方程组(1-1)所确定的隐函数组.若分别记这两个函数为),(yxfu,),(yxv则在D上成立恒等式0)),(),,(,,(yxyxfyxF，0)),(),,(,,(yxyxfyxG.1.3反函数组的概念定义1.3设有函数组),(yxuu，),(yxvv（1-2）如果能从此函数组（1-2）中，把x，y分别用u，v的二元函数表示出来，即),(vuxx，),(vuyy（1-3）则称（1-3）为函数组（1-2）的反函数组.2.隐函数定理2.1隐函数定理定理2.1若函数),(yxF满足下列条件:（i）函数F在以点),(000yxP为内点的某一域2RD上连续；（ii）0),(00yxF（通常称为初始条件）；（iii）在D内存在连续的偏导函数),(yxFy；（iv）0),(.00yxFy；则在点),(000yxP的某个邻域DPU)(0内，方程0),(vxF唯一确定了一个定义坐在某区间),(00xx内的隐函数)(xfy，使得：①)(00xfy，),(00xxx时，)())(.(0PUxfx且0))(,(xfxF；4②)(xfy在区间),(00xx内连续.证明首先证明隐函数)(xfy的存在性和唯一性.由条件（iv），不妨设0),(00yxFy（若0),(00yxFy则可讨论0),(yxF）.由条件（iii）),(00yxFy在D内是连续的，由),(vxFy的连续性和局部保号性可知，存在闭矩形区域Dyyxx0000,,，使得)),((0),(DvxyxFy.所以，对每个固定的00,xxx，),(yxF作为y的一元函数，必定在00,yy上严格增且连续.由初始条件（ii）可知:0),(00yxF，0),(00yxF再由F的连续性条件（i），又可知),(00yxF与),(00yxF在],[00xx上也是连续的，因此由保号性存在)(0，当),(00xxx时，恒有0),(0yxF，0),(0yxF在矩形区域的0yy边上F取负值，在0yy边上F取正值.因此对),(00xx内每个固定值x，同样有0),(0yxF，0),(0yxF根据前已指出的),(yxF在00,yy上严格增且连续，由介值性保证存在唯一的),(00yyy，使得满足0),(yxF，由x在),(00xx中的任意性，这就确定了一个隐函数)(xfy，它的定义域为),(00xx，值域含于),(00yy.若记),(),()(00000yyxxPU则)(xfy满足（i）的各项要求.再证明f的连续性.对于),(00xx内的任意点x，)(xfy，则由上述结论可知00yyy。任给0，且设00,minyyyy，使得00yyyy从而0),(yxF，0),(yxF.由保号性存在x的某邻域),(),(00xxxx，使得当x属于该邻域时同样有50),(yxF，0),(yxF因此存在唯一的y，使得0),(yxF，yy,由于y的唯一性，推知)(xfy。这就证得：当xx时)()(xfxf，即)(xf在x连续.由x的任意性，证得)(xf在),(00xx内处处连续.定理2.2如果满足下列条件（i）函数在),,,,(21yxxxFn在以点),,,,(000201yxxxPn为内点的区域1nRD上连续；（ii）0),,,,(000201yxxxFn；（iii）偏倒数1xF，2xF，…，nxF，yF在D内存在且连续；（iv）0),,,,(000201yxxxFny；则在点),,,,(0002010yxxxPn的某个邻域DPU)(0内，方程0),,,,(21yxxxFn唯一确定了一个定义在点),,,(002010nxxxQ某邻域nRQU)(0内的n元隐函数),,(21nxxxfy，使得①当)(),,(021QUxxxn时)()),,(,,,,(02121PUxxxfxxxnn且0)),,(,,,,(2121nnxxxfxxxF，),,,(002010nxxxfy；②),,(2nxxxxfy在邻域)(0QU内具有连续的偏导数，满足niyxxxFyxxxFxynynxii,,2,1,),,,,(),,,,(2121.2.2隐函数组定理下面将给出由方程组0),,,(0),,,(vuyxFvuyxG，所确定的隐函数组),(),(yxfuvxgv的存在定理.定理2.3设),,,(vuyxF，),,,(vuyxG以及它们的一阶偏导数在以点),,,(00000vuyxP为内点的某区域4RV内连续，且满足