基本不等式课件(共43张PPT)

第三章不等式§3.4基本不等式这是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标．会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。ADCBHFGEab22ba22ba1、正方形ABCD的面积S=＿＿＿＿＿２、四个直角三角形的面积和S’=＿＿ab2３、S与S’有什么样的不等关系？探究１：S____S′问：那么它们有相等的情况吗？ADBCEFGHba22ab重要不等式：一般地，对于任意实数a、b，我们有当且仅当a=b时，等号成立。222ababABCDE(FGH)ab思考：你能给出不等式的证明吗？222abab≥（做差比较法）重要不等式：一般地，对于任意实数a、b，总有当且仅当a=b时，等号成立222abab≥文字叙述为:两数的平方和不小于它们积的2倍.适用范围：a,b∈R0,0,,,,ababab如果我们用分别代替可得到什么结论？2abab≥即：)0,0(ba通常我们把上式写作：(0,0)2ababab≤当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫做基本不等式.在数学中，我们把叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数；2abab文字叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.适用范围：a0,b0你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?Rt△ACD∽Rt△DCB，BCDC所以DCAC2DCBCACab所以ABCDEabO如图,AB是圆的直径,O为圆心，点C是AB上一点,AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD.②如何用a,b表示CD?CD=______①如何用a,b表示OD?OD=______2abab你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?CD=______OD=______2ababOD_____CD＞≥如图,AB是圆的直径,O为圆心，点C是AB上一点,AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD.2abab≥几何意义：半径不小于弦长的一半ADBEOCab适用范围文字叙述“=”成立条件222abab≥2abab≥a=ba=b两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数两数的平方和不小于它们积的2倍a,b∈Ra0,b0填表比较：注意从不同角度认识基本不等式例1.(1)已知并指出等号成立的条件.10,2,xxx求证(2)已知与2的大小关系,并说明理由.abbaab寻找,0(3)已知能得到什么结论?请说明理由.abbaab,0应用一：利用基本不等式判断代数式的大小关系[例2]若ab1，P＝lga·lgb，Q＝lga＋lgb2，R＝lg(a＋b2)，试比较P、Q、R的大小．[解]∵ab1，∴lgalgb0，∴lga·lgblga＋lgb2，即PQ.又aba＋b2，两边取常用对数，得lgablg(a＋b2)，∴lga＋lgb2lg(a＋b2)，即QR，∴PQR.[例3]已知a0，b0，求证：11a＋1b≤ab≤a＋b2≤a2＋b22.应用二：利用基本不等式证明不等式[证明]∵a0，b0，∴1a0，1b0，∴1a＋1b2≥1ab＝1ab0，∴21a＋1b≤ab，∴11a＋1b≤ab2≤ab.又a＋b24＝a2＋b2＋2ab4≤a2＋b2＋a2＋b24＝a2＋b22，∴a＋b2≤a2＋b22.综上：11a＋1b≤ab≤a＋b2≤a2＋b22(当且仅当a＝b时，“＝”号成立)．[例4]已知a，b，c∈{正实数}且a＋b＋c＝1.求证：(1a－1)(1b－1)(1c－1)≥8.[分析]不等式右边数字为8，使它们联想到左边因式分别使用基本不等式，可得三个“2”连乘，又1a－1＝1－aa＝b＋ca≥2bca，可由此变形入手．[证明]∵a，b，c∈{正实数}，a＋b＋c＝1，∴1a－1＝1－aa＝b＋ca＝ba＋ca≥2bca，同理1b－1≥2acb，1c－1≥2abc.由上述三个不等式两边均为正，分别相乘，∴(1a－1)(1b－1)(1c－1)≥2bca·2acb·2abc＝8.当且仅当a＝b＝c＝13时取等号．课堂练习：已知a，b，c∈{正实数}，且a＋b＋c＝1.求证：1a＋1b＋1c≥9.解：证明：1a＋1b＋1c＝a＋b＋ca＋a＋b＋cb＋a＋b＋cc＝3＋(ba＋ab)＋(ca＋ac)＋(cb＋bc)≥3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a＝b＝c＝13时取等号．小结基本不等式1.应用基本不等式要注意的问题2.灵活对公式的正用、逆用、变形用(0,0)2ababab2abab§3.4基本不等式（2）2abab知识回顾1、重要不等式22）（当且仅当a=b时，a等+b≥2ab号成立2、基本不等式；2abab3、均值不等式：ab≤a＋b2(1)基本不等式成立的条件：a0，b0.(2)等号成立的条件：当且仅当时取等号．a＝b4、常用的不等式（1）x＋1x≥2(x0)，当且仅当x=1时取等号(2)ba＋ab≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号．(3)22(211220)0,abaabaabab当且仅当a＝b时取等号．(4)a2＋b22≥a＋b22(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．(5)ab≤a＋b22(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．2应用之三、求函数最值引例1(1)如图,用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？xyABDC若x、y皆为正数，则当xy的值是常数P时，当且仅当x=y时，x+y有最小值_______.2P例1(2)如图，用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？xyABDC若x、y皆为正数，则当x+y的值是常数S时，当且仅当x=y时，xy有最大值_______；214S（1）一正：各项均为正数（2）二定：两个正数积为定值，和有最小值。两个正数和为定值，积有最大值。（3）三相等：求最值时一定要考虑不等式是否能取“＝”，否则会出现错误小结：利用求最值时要注意下面三条：2(0,0)ababab结论：已知都是正数，（1）如果积是定值P，那么当时，和有最小值,xyxyxy2Pxyxyxy214Sxy（2）如果和是定值S，那么当时，积有最大值例1：已知：0＜x＜31，求函数y=x（1-3x）的最大值两个正数和为定值，积有最大值。学练考P40例1（1）和变式（2）例2：求函数的最小值4522xxy变式2：求函数的最小值)3(31xxxy9()2loglogaafxxx变式1：求的最大值。1,10ax变式3：若则函数的最小值是____。1x11072xxxy两个正数积为定值，和有最小值。§3.4基本不等式（3）2abab1、重要不等式22）（当且仅当a=b时，a等+b≥2ab号成立2、基本不等式；2abab3、均值不等式：ab≤a＋b2(1)基本不等式成立的条件：a0，b0.(2)等号成立的条件：当且仅当时取等号．a＝b4、常用的不等式（1）x＋1x≥2(x0)，当且仅当x=1时取等号(2)ba＋ab≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号．(3)22(211220)0,abaabaabab当且仅当a＝b时取等号．(4)a2＋b22≥a＋b22(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．(5)ab≤a＋b22(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．（1）一正：各项均为正数（2）二定：两个正数积为定值，和有最小值。两个正数和为定值，积有最大值。（3）三相等：求最值时一定要考虑不等式是否能取“＝”，否则会出现错误小结：利用求最值时要注意下面三条：2(0,0)ababab5：用均值不等式求最值：已知都是正数，（1）如果积是定值P，那么当时，和有最小值,xyxyxy2Pxyxyxy214Sxy（2）如果和是定值S，那么当时，积有最大值题型11的代换例1、已知x，y为正实数，且x+2y=1，（1）求xy的最大值，及取得最大值时的x，y的值；（2）求的最小值。11xy变式1：已知x,y为正实数，若，则恒成立的实数m取值范围是。4xy14mxy变式3：求的最小值，并指出取最小值时x的值。291()(0)122fxxxx变式2:已知，求的最小值。(0,)2219sincosy解：4949212212212fxxxxxxx41292131323625122xxxx10,20,1202xxxQ当且仅当41292122xxxx即时取等号。15x两个正数积为定值，和有最小值。（巧用常数来配凑）911例2：在式子中，填入两个，使这两正数的正数和最小。即x＝12，y＝4时取等号.∴当x＝12，y＝4时，x＋y有最小值为16.(3)∵9x＋1y＝1，∴x＋y＝(x＋y)9x＋1y＝10＋9yx＋xy≥10＋29yx·xy＝16.当且仅当9yx＝xy，且9x＋1y＝1，zxxk解题型2利用基本不等式整体换元【例2】若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，求ab及a＋b的取值范围.思维突破：本题主要考查均值不等式在求最值时的运用，并体现了换元法、构造法等重要思想.解：方法一：ab＝a＋b＋3≥2ab＋3，即ab－2ab－3≥0.即(ab－3)(ab＋1)≥0.∵ab≥0，∴ab＋1≥1.故ab－3≥0，∴ab≥9.zxxk当且仅当a＝b＝3时取等号.∴ab的取值范围为[9，＋∞).又∵ab≤a＋b2，∴ab＝a＋b＋3≤a＋b22.当且仅当a＝b＝3时取等号.即(a＋b)2－4a＋b－12≥0，(a＋b－6)(a＋b＋2)≥0.∵a＋b＋2＞0，有a＋b－6≥0，即a＋b≥6.∴a＋b的取值范围是[6，＋∞).zxxk方法二：ab＝a＋b＋3，则b＝a＋3a－1.ab＝a＋4aa－1＝a＋4＋4a－1＝a－1＋4a－1＋5≥2a－1·4a－1＋5＝9，当且仅当a＝b＝3时取等号.∴ab的取值范围是[9，＋∞).zxxk整体思想是分析这类题目的突破口，即a＋b与ab分别是统一的整体，把a＋b转换成ab或把ab转换成a＋b.zxxkzxxk学练考P40例2反思：应用题，先弄清题意（审题），建立数学模型（列式），再用所掌握的数学知识解决问题（求解），最后要回应题意下结论（作答）。小结巅峰回眸豁然开朗1、注意公式的正用、逆用、变形使用。2、牢记公式特征“正”、“定”“等”，它在求最值的题型中绽放绚丽的光彩。我们积累了知识,于枯燥中见奇,于迷茫之中得豁朗。懂得灵活运用公式乐在成功之中，就能领略到公式平静的美。1、设且a+b=3,求２a＋２b的最小值___。Rba,2,20,lglg____;xyxyxy、正数满足的最大值练习：3、已知则xy的最大值是。)0,0(232yxyx61课堂小结本节课运用基本不等式求最值。要注意基本不等式的三个条件:（一）不具备“正值”条件时，需将其转化为正值；（二）不具备“定值”条件时，需将其构造成定值条件；（构造：积为定值或和为定值）（三）不具备“相等”条件时，需进行适当变形或利用函数单调性求值域；同时要灵活运用“1”的代换。①各项皆为正数；②和或积为定值；③注意等号成立的条件.一“正”二“定”三“相等”利用基本不等式求最值时，要注意已知x,y都是正数,P,S是常数.(1)xy=Px+y≥2P(当且仅当x=y时,取“=”号).(2)x+y=Sxy≤S2(当且仅当x=y时,取“=”号).14小结评价你会了吗？1。本节课主要学习了基本不等式的证明与初步应用。巅峰回眸豁然开朗2。注意公式的正用、逆用、变形使用