《周易》中的数学文化

《周易》中的数学文化主讲人：秦少青《周易》是我国最古老、最有权威、最著名的一部经典著作，是中华民族聪明智慧的结晶。它是保罗万象的百科全书，具有多学科性，包括自然、社会、思维各大领域，内容渉及哲学、地理、天文、医学、乐理、物理、相对论、场论、信息论、…，甚至若干现代尖端科学的渊源都可追溯到《周易》，如：遗传密码、军事战略、计算机、未来学等。《周易》同时也是一部“数学巨著”。《周易》的作者大致以两种猜测：周文王：公元前1182——公元前1135：伏曦、周文王、孔丘等所做。伏曦完成其中八卦，周文王将其演化为64卦，以此研究天文、地理及用人之道，为他出狱后启用姜子牙，灭商纣王作精心准备。孔子作为春秋时期的思想家、教育家，及儒家的创史人。在他中年以后却从头去学《周易》，成语“韦编三绝”就是指孔子学习《周易》的故事。人们认为《周易》中的《易传》部分由孔子所作。《周易》分为《易经》与《易传》两部分，《易经》要早于《易传》七百多年。《易经》：是具有哲学思想萌芽的巫书，内容东鳞西爪、文字简古难读。《易经》记载了六十四卦，每卦六爻。乾卦另有“用九爻”(多一卦)，坤卦另有“用六爻”(也多一卦），讲述六十四卦为“经”，所有这些卦合起来共有386爻。(64×6＋2=386).《易传》：是解释《易经》的书，是具有浓厚哲学思想的书。有七种十篇。一、八卦的形成要了解《周易》的宇宙观，了解八卦是怎样形成的，了解从太极到六十四卦的演化，首先我们必须懂得《周易•系辞》中的一些东西的含义。如“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦，……”。“易有太极”“易有太极”：是指阴阳未分，天地混沌时期。太极就是太一，不是数学意义上的一，而是哲学意义的、整体的、绝对的一。太极，是大到极点，物极必反，就会出现分化，故阴阳分离，形成了天和地。太极生两仪太极生两仪：体现了数的可分性。两仪就是天和地，古人用符号“”和“”分别来表示“阳爻”和“阴爻”阳爻：代表天、火、男、白天…阴爻：代表地、水、女、黑夜…两仪图（阴阳鱼）（易学家绘制的太极图）两仪中的数学阳爻：代表正数、奇数、加号＋、数字1，…。阴爻：代表负数、偶数、减号-、数字0，…。两仪的面积正好相等。两个对称圆的面积正好为大圆面积的一半。22212RrSRr“两仪生四象”四象是在两仪一奇一偶之上复生一奇一偶而产生的，它象征着春、夏、秋、冬四季以及东、南、西、北四个方向。四象分成太阴：少阴少阳太阳“四象”在坐标中的图像表示中国人将“笛卡尔直角坐标系”的四个部分称为四个象限，各象限的正、负值完全符合易经中的四象。少阴太阳太阴少阳（－，＋）（＋，＋）（－，－）（＋，－）“四象生八卦”在四象之上再生一阴一阳，就产生第三爻。以阴阳三爻错综复杂的排列，最终可得八种卦形：1乾卦2兑卦3离卦4震卦（天）（泽）（火）（雷）5巽卦6坎卦7艮卦8坤卦（风）（水）（山）（地）八卦象征着世界形成了八种基本物质。八卦与“笛卡尔”直角坐标系中卦限符号的关系1（＋，＋，＋）2（－,＋，＋）3（－，－，＋）4（＋，－，＋）5（＋，＋，－）6（－，＋，－）7（－，－，－）8（＋，－，－）Oyz三个互相垂直的平面将空间分为8个部分，每一个部分我们称他为一个“卦限”x八卦的卦德乾：健也。乾象天，不息的运转，性质刚健；坤：顺也。坤象地，顺承天而行，性质柔顺；震：动也。震为雷，雷能惊动万物，性质我动：巽：入也。巽为风，风无孔不入，性质为入：坎：陷也。坎为水，水流入底处，性质为陷;离：丽也。离为火，火付着可燃之物，性质为附丽：艮：止也。艮为山，山魏然不动，性质为停止；兑：悦也。悦为泽，泽气洋溢，性质为悦。八卦的卦象乾象：乾为天、为君、为父、为夫、为天子…坤象：坤为地、为后、为臣、为妻、为群…震象：震为雷、为帝、为长子、为主、为诸侯…巽象：巽为风、为霜、为长女、为处女、为妇…坎象：坎为水、为月、为江河、为大川、为云…离象：离为火、为日、为电、为大人、为妹…艮象：艮为山、为石、为沙、为门庭、为少男…兑象：兑为泽、为少女、为朋、为友、为巫…。《周易》中的八卦太极图中央的圆圈为太极，黑白鱼形图为两仪，围绕着太极的是八卦。太极的上、下、左、右为乾、坤、离、坎四卦，四个卦形为内层两条迭线为四象。左图为“伏曦八卦图”八卦小横图二、八卦与数学1、八卦体现出了排列组合的思想。如将阳爻与阴爻作为元素：每次取2个，共有4种不同的取法；每次取3个，共有8种不同的取法；………每次取6个，共有64种不同的取法；………两仪到64卦的排列方法相当数学中的无重复排列:6428242226321＝，，＝，＝，＝2、64卦表现出等比级数观念及无穷大与无穷小的观念：即从第二项起，每项和前一项的比值是一常数，即公比。M的发展趋势可无限大，也可无限小：,2,,2,2,2,2,2,2,2,64321684216543210nM，，，，，，，，,16413211618141211M，，，，，，，，3、伏曦八卦在数学上的对称性与稳定性若将八卦太极图的数字画一条曲线，则：1与82与73与64与5这些数字之和都是9。4、8×8＝64，数字64组成的方阵64636261605958574950515253545556484746454443424133343536373839403231302928272625171819202122232416151413121110912345678＋64＋64＋64＋64＋64＋64＋64260260260260260260260260三、八卦与二进制数人类最早发生“数”的概念是“有”与“无”。“有”与“无”在卦画上即为阳爻：，阴爻。《周易•系辞》上说八卦的形成过程，就是一种二进制记数法：阳爻：代表1；阴爻：代表0。两爻组成“四象”：（由下向上读）太阴少阴少阳太阳00011011三爻的不同排列组成“八卦”：111110101100011010001000这是二进制数记数中0、1、2、3、4、5、6、7中的八个数64卦相当于二进制数0到63这64个数。坤卦(0)000000…乾卦(63)111111列一表格对比说明：卦名坤艮坎巽震离兑乾符号二进制000001010011100101110111十进制01234567二进制发明者:德国数学家莱布尼兹（1646-1716）莱布尼兹在我国的八卦图中悟出了闻名于世的二进制数学。莱布尼兹对八卦图评价：“易图是流行于宇宙间的科学中最古老的纪念物”沈宜甲在《科学无玄的周易》一书中说：“《周易》之数学为数学、数字之最高峰，在近代数学中，亦无法与之相比，其最不可思议者即由单一课题，以求奇、偶、阴阳爻之数，而有几百种定律、周期性，包括十进、二进、排列组合、极大极小、可能率等，可云集数学之大成。而成书于三千年前，乃人类至高智慧之表现。又有不可解者，即三、四千年前之中国古人与其他各国古人，何能至此。…”。，从《周易》看中国古代数学，则全为高深、抽象，全凭理想之作，繁杂多多。世界史学家皆由《周易》开始承认中国古代数学造诣甚深。至今为止，全世界仍未见到比易经数学更为高深伟大的，令人叹为观止，其高深、周密、广阔、巧妙、繁复，可谌称绝无仅有，应列人世界数学史中之最高位置。《周易·系辞》未将“两仪生四象，四象生八卦，…”。这一数学思想继续演绎下去，却接着说：“八卦定吉凶，吉凶生大业……”将《易经》完全引向另一方面。而“易数”就成了占卜算卦的依据了。四、《周易》筮法中的数论问题《周易》是一门很难看懂的书。筮法是一种迷信活动，但若你不懂筮法，你就根本不会懂得《周易》这本书在讲什么，也就很难去洞察其中一些科学的、文化的东西。所以即便我们和普通人一样也将《周易》看作是远古传下来的一部用来占筮的书，那么我们来认识一下筮对数学的依赖性。事实上，筮是一种与数有关的活动，而筮法确实是一种计算活动。筮法有多种形式，现在我们来分析一种筮法。1、筮法：用蓍草的操作来占卜。“一变”：将49根蓍草随机的分为两堆，然后在其中一堆中取出1根不用，把两堆余下的蓍草分别4根一组地分组，去掉不够4的余数（无余数则算余4），这样加上已经取出的那根，共去掉5根或9根蓍草，余下44根或40根，这个过程叫“一变”；“二变”：用“一变”余下的蓍草再重复上述的过程，余下40、36、或32根蓍草，叫“二变”；“三变”：用“二变”余下的蓍草再重复上述过程，余下36、32、28或24根蓍草，叫“三变”；用4除“三变”余下的蓍草数，可得9、8、7、6四个数之一。如果得9或7，叫阳爻，用“——”表示；如果得8或6，叫阴爻，用“――”表示。这样“三变”决定一个爻。这一过程重复六次，得到6个爻，6爻确定一个卦。就完成了筮的操作。这时可由出的卦，利用《周易》中的卦辞预测所占卜的行为的吉凶悔吝等。6个阳爻,称为乾卦。乾卦的卦辞为：乾、元、亨、利、贞。乾：卦名；元：万事万物根本，又解做大；亨：通达无碍；利：祥和而无害；贞：洁净而清正。白话为：乾卦，具有原始的、伟大的、亨通的、祥和的、贞洁的德性。每卦有六个爻辞，爻辞通过摇卦的方法获得，并且规定只能摇一次，定初卦为主，不再进行第二、第三次摇卦。乾卦分别有初九、九二、九三、九四、九五、上九、用九（只有乾卦有）。顺序从下而上依次为序。如果你抽到签为初九，则可解释为：*初九：潜龙勿用。（乾卦第一爻）白话：乾卦第一爻，象征潜龙，以不用为佳。*九二：见龙在田，利见大人。白话：乾卦第二爻，象征出现在田地上的龙一样，可以见到高明伟大的人物了。………坤卦：从下而上分别为，初六、六二、六三、六四、六五、上六、用六。损卦：从下而上分别为，初九、九二、六三、六四、六五、上九。若得到“六三”签，则六三爻辞解释是：“三人行，则损一人；一人行，则得其友。”意思是说：三人结交，意见难一致，终会丢掉一个朋友。一人独行，感到孤独，就会寻找一个伴友。“周易筮法”（成卦法）和一次同余式的关系《周易》的成卦法和一个同余式有关。同余式理论属于“数论”的范畴，它是关于数的可除性的一种符号语言。生活中的应用举不胜举，如：今天是星期一，是本学期的第一天，第100天后是星期几？100÷7，商14余2，余2就是星期2。现在是零点，100小时后是几点？100÷24，商4余4，余4就是4点种。推而广之，若m÷7与n÷7都是星期r，(1≤r≤6)如果r=0，即除尽，则第m天与n天都是星期日。可见同样的余数代表某种相同的性质。同余定理：（孙子定理）若m为一自然数，若（a－b）为m之倍数，则称a、b对于m同余，记作a≡b（modm），意即：a－b≡mk（k为一整数）。《周易》成卦法的机巧在于将49根蓍草三变二十一演，得到下列4种可能的策数之一：4×9=36，4×8=32，4×7=21，4×6=24。这一定是《周易》作者通过精密的数学运算和反复试验才得到如此机巧之构思。这种机巧，从数学上看正是数论同余式理论的思想。《周易》成卦法的机巧在于将49根蓍草三变二十一演,得4种可能的策数之一：4×9=36，4×8=32,4×7=21，4×6=24。《周易》占筮就是不断重复以下两种运算：运算1：运算2：21rrNN).4(mod),4(mod1,221121rRrRNRR我们可以认为《周易》的成卦法是同余式的基础，孙子定理发展了这一理论。《孙子算经》中的物不知数问题引导了宋代秦九韶求解一次同余组的一般算法——“大衍求一术”。现代文献中往往把求解一次同余的定理称我“中国剩余定理”或直称“孙子定理”。国际上认可这一定理最早来自中国。它比西方国家内容相同的“高斯定理”早问世1500年左右。对于“孙子定理”，古人将这一算法神秘化，宋元时称它为“鬼谷算”、“隔墙耳”“韩信点兵”等。2、《周易》中神奇的思维方式八卦是一种思维模型。它以概念、判断、推理等思维形式组成图象、图形、图式，作为反映客观事物相互关系的理论体系。那么，这个理论体系是以什么的